第六章 自由電子費米氣體.ppt

1、第六章 自由電子費米氣體 (金屬自由電子論) Free Electron Fermi Gas,2,金屬元素有大約75種之多，在自然界大約有2/3以上的固態(tài)純元素屬于金屬。,人類社會很早就學會了使用金屬并以其作為人類進步的標志，如過去的銅器時代、鐵器時代等。 金屬具有良好的導(dǎo)電、導(dǎo)熱、易加工及特殊的金屬光澤等特點，但為什么這些元素具有如此的特點？其深層次的原因是什么？,3,許多固體具有導(dǎo)電性，這意味著在這固體內(nèi)有許多電子并沒有真正被原子所束縛住，相反的這些電子可以在固體內(nèi)遨游。 具有導(dǎo)電性的固體可被區(qū)分成兩類，那便是金屬與半導(dǎo)體。 在這章節(jié)內(nèi)我們將只針對金屬進行討論。,4,6.1 金屬自由電子論

2、 的物理模型,5,1. Drude的金屬自由電子論,Drude的經(jīng)典理論建立的歷史背景: 1870年前后，玻爾茲曼、麥克斯韋等建立了氣體分子運動論和統(tǒng)計理論；1897年，T.T.Thomson發(fā)現(xiàn)電子，使得人們輕易就可以猜測出金屬導(dǎo)電的機制。 在總結(jié) 金屬本身總是具有高電導(dǎo)率、高熱導(dǎo)率和高的反射率的實驗事實的基礎(chǔ)上，Drude于1900年建立了Drude模型，主要研究金屬的電導(dǎo)和熱導(dǎo)問題。,6,1. Drude的金屬自由電子論,Drude的經(jīng)典理論: 自由電子是經(jīng)典離子氣體，服從玻爾茲曼分布(速度分布)，與中性稀薄氣體一樣去處理，完全套用經(jīng)典氣體模型，認為電子之間無相互作用，同時也不考慮離子實

3、勢場的作用。 這樣一個簡單的物理模型處理金屬的許多動力學問題是成功的，特別是對我們理解簡單金屬的許多性質(zhì)是有幫助的。,7,1）金屬晶體中的傳導(dǎo)電子只與離子實發(fā)生碰撞（后面可以看到，電子與電子之間的碰撞幾率基本可以忽略），忽略了離子實與傳導(dǎo)電子之間的庫侖相互作用，稱為自由電子近似（free electron approximation）。 2）忽略了電子與電子之間的庫侖排斥相互作用，成為獨立電子近似（independent electron approximation）。,Drude經(jīng)典理論的基本假設(shè):,將金屬中高濃度（1022-1023/cm3)的價電子看作理想氣體，其基本假設(shè)為：,8,4）一

4、個電子與離子實兩次碰撞之間的平均時間間隔稱為弛豫時間，它與電子的速度和位置無關(guān)，稱為弛豫時間近似（relaxation approximation）。,3） 傳導(dǎo)電子簡單地隨機的和正離子實相碰撞(受正離子實的散射)且碰撞是瞬時的，每次碰撞都急劇地改變傳導(dǎo)電子的速度，但碰后電子的速度只與碰撞地點的溫度有關(guān)，而與碰前速度無關(guān)。電子只是通過碰撞與周圍環(huán)境達到熱平衡。在相繼的兩次碰撞之間，電子做直線運動，遵循牛頓第二定律，稱為碰撞近似（collision approximation）。,9,特魯?shù)履Ｐ偷膽?yīng)用,1）金屬的直流電導(dǎo)金屬晶體內(nèi)的電子運動類似理想氣體分子的運動，因此電流密度為 j = -nev

5、平,n 金屬導(dǎo)體內(nèi)的電子數(shù)密度,v平 電子運動的平均定向速度,討論： 外電場E=0時， v平=0 電子運動是隨機的凈定向電流為零，對電流密度沒有貢獻,10,me電子的質(zhì)量 t 傳導(dǎo)電子與離子實發(fā)生碰撞的平均自由時間,歐姆定律,外電場E 0時， v平 0 產(chǎn)生凈定向電流 在外場E作用下，考慮電子每一次碰撞后其運動方向是隨機的，所以電子的初速度對平均速度是沒有貢獻的。,因此，電子平均速度v平起源于在外場E作用下，電子在連續(xù)兩次碰撞的平均時間間隔內(nèi)，電子附加上的一個速度：,11,實驗測定金屬的電阻率r，來估計平均自由時間t,2）金屬的平均自由時間和平均自由程,平均自由程l (電子在連續(xù)兩次碰撞之間的

6、平均運動距離) 以下應(yīng)該不是用v平來表示速度,根據(jù)經(jīng)典的能量均分定律，有,12,free electron approximation 離子實（金屬原子間距）大約也就是這個量級，可以看出，與Drude模型的假設(shè)比較吻合。 但實驗中發(fā)現(xiàn)金屬中電子的平均自由程要比以上特 魯?shù)履Ｐ偷墓浪阒荡蟮枚?。Cu： T=4K， 也就是Drude模型當中的假設(shè)并不是適用于一切情況。,13,問 題,在固定電場中，如何推導(dǎo)電子動量隨時間的變化？ 直流電導(dǎo)率的推導(dǎo)以及可否直接用于交流電導(dǎo)率的推導(dǎo)？為什么？ 怎么用此模型來考慮焦耳熱的問題？,14, 設(shè)單位體積內(nèi)的電子數(shù)為n，則電子氣系統(tǒng)的內(nèi)能密 度為, 每個電子具有3個

7、自由度，每個自由度具有kBT/2的 平均能量,特魯?shù)履Ｐ蛯⒔饘僦械碾娮右曌鹘?jīng)典粒子。根據(jù)經(jīng)典的能量均分定律：,3）金屬的比熱,電子氣的熱容：,大多數(shù)金屬,高溫下與晶格振動的貢獻相當， 這與實驗結(jié)果不符。,15,1904年，洛倫茲發(fā)展了該模型，將麥克斯韋玻爾茲曼統(tǒng)計規(guī)律引人，認為電子速度服從麥克斯韋玻爾茲曼統(tǒng)計分布律。,4）特魯?shù)履Ｐ偷陌l(fā)展：,5）特魯?shù)履Ｐ偷某晒εc失敗,成功之處： 經(jīng)典的特魯?shù)侣鍌惼澴杂呻娮幽Ｐ蛷奈⒂^上定性的解釋了金屬的高電導(dǎo)率、高熱導(dǎo)率、霍爾效應(yīng)以及某些光學性質(zhì)。,16,獲得的平均自由程和熱容與實驗結(jié)果嚴重不符，實驗上熱容僅是理論值的1%(電子參與導(dǎo)電過程，但對熱導(dǎo)好像沒有參

8、與，為什么？）；在處理磁化率等問題上也遇到根本性的困難。,不足之處：,不足之處產(chǎn)生的原因分析 經(jīng)典理論在微觀世界的不適用,17,量子力學對金屬中電子的處理,1926年費米狄拉克統(tǒng)計理論和量子力學建立， 1928年，索末菲在自由電子模型基礎(chǔ)上，提出應(yīng)該利用量子力學原理去計算電子氣體的能量和動量，并由此考察金屬的一些特性。 索末菲提出：電子在離子產(chǎn)生的平均勢場中運動，電子氣體服從費米 狄拉克分布和泡利不相容原理。并成功地計算了電子的熱容，解決了經(jīng)典理論的困難。,18,2Sommerfeld的自由電子論,索末菲模型的基本假設(shè)： 1）free electron approximation 2）inde

9、pendent approximation 3）價電子的能量分布服從費米狄拉克統(tǒng)計，稱為自由電子費米氣體（free electron Fermi gas） 4）不考慮電子和離子實的碰撞（no collision）,Drude 經(jīng)典理想氣體 Sommerfeld 量子理想氣體,19,傳導(dǎo)電子在金屬中自由運動，電子與電子之間有很強的排斥力，電子與離子實之間有很強的吸引力。Sommerfeld自由電子理論認為把離子實的電荷抹散成一個正電荷背景(這樣周期勢場就不存在了) 好象“凝膠”一樣。這種“凝膠”的作用純粹是為了補償傳導(dǎo)電子之間的排斥作用，以至于使得這些傳導(dǎo)電子不至于因為彼此之間很強的排斥作用而從

10、金屬晶體中飛濺出去，這就相當于“凝膠”模型。,20,電子在運動中存在一定的散射機制（為什么要有散射機制？）。,索末菲自由電子模型總結(jié)：,電子在一無限深度的方勢阱中運動，電子間的相互作 用忽略不計；,電子按能量的分布遵從FermiDirac統(tǒng)計；,電子的填充滿足泡利（Pauli）不相容原理；,（即金屬中的電子可以看作是被關(guān)在一個箱體中的 自由 電子）,21,6.2 能級和軌道密度,22,一、運動方程及其解,Y(r)：表示電子運動狀態(tài)的波函數(shù)。 V0： 電子在勢阱底部所具有的勢能，取V0 0。 （或者說是晶格平均場+其他電子的平均場） E： 電子的本征能量,令,有,1. 自由電子定態(tài)薛定諤方程,2

11、3,方程的解：,A：歸一化因子，由歸一化條件確定,電子相應(yīng)于波函數(shù)Yk(r)的能量：,V: 金屬的體積,：電子平面波的波矢,具有平面波的形式,24,因為波函數(shù)Y(r)同時也是動量算符 的本征態(tài)，所以處于Y(r)態(tài)的電子有確定的動量，可以寫成,相應(yīng)的速度為,電子能量再現(xiàn)熟悉的經(jīng)典形式,：電子平面波的波矢，它的方向為平面波的傳播方向； 它的取值需要由邊界條件確定。,25,波矢的取值問題,經(jīng)典物理中平面波的波矢取值是任意的，但電子波矢的取值由邊界條件決定。 固定邊界條件（駐波邊界條件）：波函數(shù)在金屬表面上任何點的值均為零，不利于討論輸運性質(zhì)。 周期性邊界條件（波恩卡曼邊界條件）：首尾相接成環(huán)，既有有

12、限尺寸又消除了邊界的存在。,26,2. 邊界條件,取整數(shù),(1) 固定邊界條件,方程的解應(yīng)由平面波形式改寫為：,由以上邊界條件可得：,27,以一維情況為例，討論一下：,當波函數(shù)為正弦形式，并且從到的寬度是半波長的整數(shù)倍時，則以上邊界條件就能得到滿足。于是：,n 取正整數(shù),此邊界條件無法討論輸運問題，故我們通常不采用,28,(2) 周期性邊界條件,以一維情況為例，,29,若在三個方向都用周期性邊界條件：薛定鍔方程的解在三個方向都以L為周期重復(fù)，即：,波矢取一系列分立值：,此時,30,在k空間中，電子態(tài)的分布是均勻的，分布密度只與金屬的體積有關(guān),在 空間中，波矢 的分布密度為,每一個量子態(tài)在 空間

13、中所占的體積為：,每個波矢占據(jù)的體積為(2p/L)3,(2/L)3,31,這就是電子的色散關(guān)系，能量隨波矢的變化是拋物線函數(shù),3、費米面等概念（無限多的K，有限的電子如何填充的問題）,32,對于三維晶體，需要的量子數(shù)： 波矢k（三個分量kx、ky、kz） 自旋量子數(shù),給定了 就確定了能級，代表同能級上自旋相反的一對電子軌道。,在波矢空間自由電子的等能面是一個球面，不同能量的等能面是一系列同心球面。,33,電子在T=0k時所能填充到的最高等能面稱為費米面。,自由電子的等能面是球面，在T=0k時，費米面把電子填充過的軌道與電子未填充過的軌道完全分開了，即費米面內(nèi)所有的軌道都被填充，費米面外邊都是空

14、軌道。,這一點對金屬是非常重要的，因為只有費米面附近的電子才能決定金屬的動力學性質(zhì)。,34, 費米動量 Fermi momentum, 費米速度 Fermi velocity,費米能Fermi energy,費米溫度 Fermi temperature,費米球：費米面包圍的體積，代表T=0k時電子填充 的全部軌道,費米波矢：費米球的半徑（Fermi wave vector，kF）,35,三維時，每個波矢的體積為 ，每個波矢代表自旋相反的兩個軌道，費米球的體積 ，則：(軌道數(shù)等于總電子數(shù)),n：單位體積中的電子數(shù)（電子密度）費米波矢由電子氣的密度唯一地決定,36,費米參量唯一決定于電子氣密度，電

15、子氣的密度越大，各參量值越大。,37,如一些典型金屬的費米面參數(shù)：原子價 金屬 n(cm-3) kF(cm-1) VF(cm/s) EF(eV) 1 Na 2.651022 0.92108 1.07108 3.23 2 Zn 13.101022 1.57108 1.82108 10.90 3 Al 18.061022 1.75108 2.02108 11.63,38,4、能態(tài)密度,什么是能態(tài)密度？,為什么要引入是能態(tài)密度？,怎樣具體計算能態(tài)密度？,能態(tài)密度說明什么物理問題？,39,1、什么是能態(tài)密度,能量E附近，單位能量間隔內(nèi)的能態(tài)數(shù)目：,單位頻率間隔內(nèi)的簡正模式的個數(shù),定義：,聯(lián)想到什么？,

16、簡正模式密度：,40,聲子的總能量:,2、為什么引入能態(tài)密度,41,自由電子在基態(tài)的總能量：,42,42,E的球體中，能夠允許的電子能態(tài)總數(shù)為：,對三維的金屬晶體來講:,3、怎樣求解能態(tài)密度,43,電子的能態(tài)密度并不是均勻分布的， 電子能量越高，能態(tài)密度就越大。,結(jié)論:,44,同理：,45,4 、能態(tài)密度說明的物理問題：,一維情況：,二維情況：,三維情況：,46,納米線直徑小于1到2納米，也稱為超細納米 線。制備困難，保存困難。,整數(shù)量子霍爾效應(yīng)：1985年諾貝爾獎；分數(shù)霍爾效應(yīng)：1998年諾貝爾獎；現(xiàn)在的石墨烯已經(jīng)是研究熱點。,三維可以穩(wěn)定存在，研究的最為透徹。,分析：,一維不穩(wěn)定：,二維性

17、質(zhì)奇特：,三維可以穩(wěn)定存在：,47,最主要的是費米面附近的能態(tài)密度將 兩邊取對數(shù)得： +常數(shù),微商上式得：,48,費米面附近的軌道密度近似等于總電子數(shù)除以費米能：,49,6.3 電子氣體的熱容,50,費米-狄拉克(FermiDirac)統(tǒng)計,1. 量子統(tǒng)計基礎(chǔ)知識,經(jīng)典的Boltzmann統(tǒng)計：,量子統(tǒng)計： FermiDirac統(tǒng)計和BoseEinstein統(tǒng)計,電子的分布函數(shù),費米子：自旋為半整數(shù)（n1/2） 的粒子（如：電子、質(zhì) 子、中子 等），費米子遵從FermiDirac統(tǒng)計規(guī) 律，費米子的填充滿足Pauli原理。,玻色子：自旋為整數(shù)n的粒子（如：光子、聲子等）， 玻色子遵從BoseE

18、instein統(tǒng)計規(guī)律， 玻色子不遵從Pauli原理。,51,電子的費米-狄拉克分布函數(shù)：,物理意義： 理想電子氣體在溫度為T 且處于熱平衡時，能量為E的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率。,化學勢是系統(tǒng)溫度和粒子（電子）數(shù)的函數(shù)，原則上可以由下式確定 求和遍及系統(tǒng)所有可能的本征態(tài)。,：電子的化學勢，其物理意義是在體積不變的情況下，系 統(tǒng)增加一個電子時，系統(tǒng)自由能的增量。,52,2. T0K時電子的分布（根據(jù)泡利原理和能量最低原理）, 費米能,53,系統(tǒng)的自由電子總數(shù)為,在EEdE中的電子數(shù)為：,54, 自由電子密度,金屬：n：1022 1023 cm3,定義 費米 溫度：,物理意義：設(shè)想將EF0轉(zhuǎn)換成熱

19、振動能，相當于多高溫度 下的振動能。,55,金屬： EF0 幾個eV ； TF： 104 105 K （遠高于金屬熔點）,一些金屬元素費米能與費米溫度的計算值,56,T=0K 時系統(tǒng)的總能量：,T0,能態(tài)密度,57,T=0時系統(tǒng)中每個電子的平均能量：,上式表明，在絕對零度T=0時，自由電子氣系統(tǒng)中每個電子的平均能量與費米能量EF0具有相同的量級，約為幾個電子伏特。而按照經(jīng)典自由電子氣體理論（特魯?shù)履Ｐ停?，金屬電子氣的平均能量可以根?jù)能量均分原理得到，應(yīng)該是3kBT/2，在絕對零度T=0時，電子的平均能量應(yīng)為0。 之所以得到平均能量不為0的結(jié)果，是因為在索末菲自由電子模型中金屬電子氣必須服從費米

20、-狄拉克分布和滿足泡利不相容原理，即每個能級上只能容納兩個自旋方向相反的電子。因此，即使在絕對零度T=0時，所有的電子不可能都處在最低能級E=0上。,58,3. T 0K時電子的分布,一般所謂基態(tài)是指N個電子的系統(tǒng)在絕對零度時的狀態(tài)。 然而，隨著溫度的升高會發(fā)生什么情況呢？, FermiDirac分布函數(shù),當溫度升高時，電子氣的動能增加。這時，某些在絕對零度時原本空著的能級將被占據(jù)，而某些在絕對零度時被占據(jù)的能級將空出來。當理想電子氣處于熱平衡時，由費米-狄拉克統(tǒng)計分布得到的能量E的軌道被占據(jù)的概率為：,59, FermiDirac分布函數(shù),對于特定的問題，化學勢m應(yīng)該這樣選擇，使得能正確地算

21、出系統(tǒng)中的電子的總數(shù)N。在T=0時，m=EF0，因為在T0的極限下，化學勢m是占據(jù)態(tài)和非占據(jù)態(tài)的清晰分界面，如圖。,1，當E時,在一切溫度下，當E時，f()1/2 ，代表填充概率為1/2的能態(tài)。,60,以上條件下 ， f(E)迅速趨于零,當E 幾個kBT時，exp(E)/ kBT 1 ，,FermiDirac分布過渡到經(jīng)典的Boltzmann分布,61, E 幾個kBT時， exp(E)/ kBT 幾個kBT的能態(tài)基本上是滿態(tài)。,在室溫附近，kBT/ 或kBT/ EF0 0.01，分布函數(shù)和T=0K時的情形的差別，僅出現(xiàn)在與m非常接近的能級上的電子的分布： 一些電子被激發(fā)到Em能級上; 在Em

22、的能級上留下一些空態(tài)。,從以上分析中我們還可以知道，化學勢 與T=0K時自由電子氣的費米能級EF0 很接近，因此一般地，把化學勢m也稱為T0K時自由電子氣的費米能級EF ， 所以在以下的討論中，我們將認為EF=m。,62,對于金屬而言，T TF（或kBT EF ）總是成立的。雖然金屬中有大量的自由電子，但是，決定金屬許多性質(zhì)的并不是其全部的自由電子，而只是在費米面附近的那一小部分。從下面的討論中，我們將可以看到正是這一小部分電子，對金屬比熱容有貢獻。,63,只有在費米面附近厚度kBT的一層電子能夠吸收能量，因此只有這層電子對比熱有貢獻。,由于泡利不相容原理，處于費米海深處的電子在熱激發(fā)下得不到

23、足夠的能量躍遷到空態(tài)，因此不受熱激發(fā)的影響。,在T=0k時，電子氣充滿了費米球內(nèi)的所有軌道，當溫度T上升時，并不是費米球內(nèi)的電子都受到熱激發(fā)。這是因為在每個k值上只能有自旋相反的兩個電子，由于泡利原理限制，熱激發(fā)(kBT)是低能激發(fā)，遠離費米面的電子不可能被激發(fā)(因為附近無空軌道)，只有費米面以外才有空軌道，因此只有費米面附近的電子才能被激發(fā)，要激發(fā)遠離費米面的電子必須用高能激發(fā)(如光激發(fā)等)，而kBTF，所以遠離費米面的電子是凍結(jié)的。,按Sommerfeld的自由電子模型，電子氣服從費米統(tǒng)計規(guī)律及泡利原理。,65,四、結(jié)果與討論（粗略的數(shù)量級估算）,1. 電子熱容量,對于金屬，當 T 0K時

24、，只有在費米面附近幾個kBT的電子受熱激發(fā)，對電子熱容量的貢獻主要來自費米面附近厚度kBT的一層電子。,在EEF 2kBT中的電子數(shù)為,這里，考慮 T 0K時費米能級EF與T=0K時的費米能級EF0之間存在一定的差異，但從下面的討論結(jié)果我們將會看到EFEF0。,66,根據(jù)能量均分定律，每個電子熱運動的平均能量：,由于熱激發(fā)，系統(tǒng)所獲得（或增加）的能量為,67,電子熱容量為：,我們知道常溫下，CL 3NkB；由于TTF，所以Ce CL ，即常溫下可以不必考慮電子熱容量的貢獻。,68,考慮自由電子的費米分布與泡利不相容原理后，用這樣一個定性的模型解釋了熱容與經(jīng)典理論的差別與矛盾，由此可看到費米面的

25、重要性。,經(jīng)典理論中（特魯?shù)履Ｐ?,考慮量子效應(yīng)后，從結(jié)果分析：,69,下面再從定量的角度來計算電子氣的熱容，在T=0 k時： 能量 F時， f(.T)=1 F時， f(.T)=0 基態(tài)下電子氣的總能量：當溫度升高到TK時電子氣的總能量：這兩個能量之差就是電子氣溫度升高時的熱能。,70,當溫度T升高時，隨溫度變化比較大是在費米面附近，在遠離費米面的地方，隨溫度的變化很小?？傠娮訑?shù)： d=常數(shù)（不隨溫度變化）,d=常數(shù),71,即： 又再加上一項等于零的積分對Cel無影響則：,72,上式表示只在費米面附近求積分，若把D()換成D(F)，即只考慮費米面附近的軌道密度，則： 又 是溫度的函數(shù)，當TTF

26、時，近似等于F，由此引起的誤差在T/TF的二次方的數(shù)量級。,73,74,75,金屬的熱容應(yīng)是兩部分熱容之和，既自由電子費米氣與點陣對熱容的貢獻之和，低溫下電子氣的熱容Cel T，而點陣對Cv的貢獻為：,76,在室溫下電子氣對熱容的貢獻小的可以忽略，但在低溫下電子氣的熱容就顯示出來了，低溫下C=T+AT3或C/T=+AT2，由C/TT2的直線關(guān)系，由截距可求出，斜率可決定A，由實驗直線可定出這兩個常數(shù)。而由此可求出理論值，但理論值與觀測值的差別很大。,77,實驗值,78,按照近代固體理論，晶體中的電子與真空中的自由電子不同，不再是一個基本粒子，而是一個準粒子，把晶體中的電子與周圍的互作用看作一個

27、整體，晶體中的電子就好象一個穿了衣服的電子一樣。,79,電子與周圍環(huán)境的互作用主要有：電子與原子實周期點陣的互作用。 電子在周期勢場中運動，周期勢場的作用改變了電子的質(zhì)量，稱有能帶有效質(zhì)量。,電子與聲子的互作用 原子實在平衡位置作小振動，電子運動到原子實附近時，由于電子與原子實之間的庫侖作用要干擾原子實的振動，這種互作用可用一種畸變勢來描寫，電子要改變離子實的勢場而運動。,電子與電子的互作用 在稠密電子氣中，電子間有很強的庫侖排斥作用，不論電子運動到什么地方都存在這種互作用，這樣一種互作用也可考慮到電子質(zhì)量的改變中。,82,6.4 電導(dǎo)與歐姆定律,83,1.電導(dǎo)率 在基態(tài)下，自由電子填充了費米

28、球的所有軌道，即邊界條件允許的每個k值上都分布了自旋相反的兩個電子， 當溫度升高時，費米面附近的電子要被熱激發(fā)，在無外電場時，在波矢空間費米球內(nèi)的k的分布是對稱的，有一個波矢為k的電子，就有一個波矢為-k的電子，或者說有一個速度為V的電子，就有一個速度為-V的電子(有中心反演對稱性),所以整個費米球內(nèi)的電子的平均速度為零，對電流無貢獻,無外電場時就沒有電流。,84,在恒定電場作用下，費米球中的所有軌道上的電子都會受到電場力的作用，這個力會使波矢發(fā)生變化，由于費米球內(nèi)的所有電子的波矢都發(fā)生了變化，而且由于外加恒定電場，變化率都相同，因而費米球就以一定的速度在波矢空間漂移，其運動方向與電子運動方向

29、相反，球心離開了原點，在恒定電場下，費米球就以恒定速度漂移下去。,85,86,反映在真實空間中，是每個電子的動量發(fā)生了變化,但 是恒定的，電子是作勻加速運動，即單位時間內(nèi)電子的速度變化率是相同的，電子的運動速度越來越快。在恒定電場作用下就不會有恒定電流，而是電流就會越來越大，這是與事實不符合的。,87,我們必須考慮碰撞機制，電子與聲子及雜質(zhì)缺陷的碰撞。正是由于這種碰撞使得電子的附加動量有所減小，才能抑制費米球的漂移，當這種碰撞消耗的動量與費米球漂移速度增大的積累相平衡時，費米球?qū)⒉辉倨啤?88,即 （等號右邊為單位時間內(nèi)耗散的動量）-弛豫時間，-eE為定向運動動量的積累(相當于球心的位移),

30、單位時間內(nèi)耗散的動量為hk/,當兩項動量變化相等時,費米球就不動了。,89,電子的漂移速度為：電子對電流的貢獻： （n是電子氣密度） （這就是歐姆定律），相應(yīng)的電子氣的電導(dǎo)率： （此處的m*為電子的有效質(zhì)量）。,90,從這里我們可以看到在其它條件不變的情況下隨n增大而增大，這是合理的，因為濃度n增大，載流子的數(shù)目就增多。電導(dǎo)率與m*成反比也在預(yù)料之中，m*越大就是粒子的惰性越大，也就越難于加速。與成正比，是因為實際是連續(xù)兩次碰撞的時間間隔，即平均自由壽命，所以越大，電子在兩次碰撞間被電場加速的時間越長，因而漂移速度越大，也就越大。,91,電子有兩種不同性質(zhì)的速度，一種是電子在外加電場中的定向運

31、動速度，稱為漂移速度，另一個是無規(guī)運動速度，是由于電子的無規(guī)運動引起的，即使沒有外電場，電子也仍象普通氣體分子那樣作無規(guī)則運動，電子到處亂動，并不斷被散射而改變運動方向，這種運動在電場中也照樣存在，它不會對電流有所貢獻，但有外場存在時，有一個與外電場反向的凈附加速度，這個速度是疊加在無規(guī)運動速度之上的，電子無規(guī)運動的速度比漂移速度要大。,92,決定金屬中電子運動平均自由程的有三種機制：（1）樣品中雜質(zhì)缺陷對電子的散射。（2）電子與聲子的碰撞，既電子受格波的散射，嚴格的周期勢場是不散射電子的，只有周期場遭到破壞時才產(chǎn)生對電子的散射，這種碰撞依賴于溫度，隨溫度的升高，碰撞幾率增大。（3）電子與電子

32、的碰撞，由于泡利原理的限制，這種幾率較小。,93,2.弛豫時間的起源 我們曾引入作為兩次碰撞之間的弛豫時間，但未曾討論過它的起源，由周期結(jié)構(gòu)中的波動理論，當電子波通過周期性的晶格時，將沒有散射，除非周期性遭到破壞，布喇格條件被滿足，因此規(guī)則晶格內(nèi)電子波是不會被散射的，電子在晶體中的碰撞只能是同聲子與雜質(zhì)原子或缺陷之間的碰撞，正因為如此，弛豫時間也就是電子與聲子等碰撞的時間間隔。,94,3.金屬的實驗電阻率 引入電子與雜質(zhì)碰撞的弛豫時間i，電子與熱聲子的碰撞弛豫時間l, 則1/i與1/l分別表示電子與雜質(zhì)、電子與熱聲子碰撞的幾率，那么電子與雜質(zhì)碰撞、電子與熱聲子碰撞對電阻率的貢獻分別為：兩種機制

33、彼此獨立時總的散射幾率為：對電阻率的總貢獻為：= i+ l 這就是馬提生（Matthissens rule）定則。,95,根據(jù)馬提生定則，金屬的電阻率應(yīng)是溫度T的函數(shù)：(T) = i+ l 作- T曲線，外推到T=0K，此時 l=0，則可得純粹由樣品的雜質(zhì)決定的電阻率，稱為剩余電阻率，它是一個結(jié)構(gòu)敏感量，是表征著樣品純度(或完美性)的特征量。,96,通常對金屬來說由于熱聲子散射導(dǎo)致的電阻率有一個經(jīng)驗公式：當TR時，f1，l T，即l與溫度成正比，溫度升高時，聲子密度增加，碰撞幾率增加，增加。 但當TR時， ，熱聲子的電阻率l T5。,97,6.5 電子在電磁場中的運動,98,1.漂移速度方程

34、由于外力 ，使電子獲得定向運動的動量， ，電子與聲子及雜質(zhì)原子間的碰撞可考慮成摩擦阻力，由于摩擦阻力而使單位時間內(nèi)定向運動動量的改變(摩擦力為f=p/)：而在外加電磁場作用下： 這就是外加電磁場作用下電子的漂移速度方程。,99,若設(shè)磁場B的方向沿Z軸方向，漂移速度方程的三個分量的方程式為：,100,若外電場是一個靜電場E，外磁場是一個靜磁場B，E、B不隨時間而變化，則dv/dt=0，既過程達到穩(wěn)定時，電子的速度也不隨時間變化，則： 其中 稱為回旋頻率。,101,2.霍耳效應(yīng) 由上面的漂移速度方程我們能討論霍耳效應(yīng)，如下圖：若一晶體上沿x方向有一電流，此時在z方向加一磁場電子受洛侖磁力作用而向-y方向偏移，偏移的結(jié)果使樣品邊界上有電荷積累，產(chǎn)生了一個y方向的電場，這種現(xiàn)象稱為霍耳效應(yīng)，產(chǎn)生的這個電場稱為霍耳電場，它阻止電子向-y方向偏移，若霍耳電場力與洛侖磁力達到平衡時，電子就不再偏移，達到平衡時Vy=0(在金屬中不形成電流),此時：,102,103,由此可得： 定義 稱為霍耳角 霍耳系數(shù)： 定義為： 單位電流、單位磁場產(chǎn)生的霍耳電場,104,則