高中數(shù)學 圓的方程 典例精講精練

1、8.4.1圓 的 方 程,【知識精講】,1圓的定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡 2一個圓以C(a，b)為圓心，r為半徑，點P(x，y)在圓上，則根據(jù)兩點間距離公式得出圓的標準方程為(xa)2(yb)2r2. 3圓的一般方程：將方程x2y2DxEyF0用配方法化為 (1)當D2E24F0時，方程表示圓心為 半徑為r 的圓； (2)當D2E24F0時，方程表示一個點,【知識精講】,(3)當D2E24F0.,【典例剖析】,【例1】求圓x2y22x6y80的圓心坐標和半徑,【分析】已知圓的一般方程，求圓心坐標和半徑，一般通過配方將方程化為標準方程的方法，也可利用圓的一般方程的結(jié)論,【答案】解

2、法一：將方程左邊配方，整理得(x1)2(y3)22，,圓心坐標為(1，3)，半徑為,解法二：,圓心坐標為(1，3)，半徑r,【典例剖析】,【變式訓練1】 過點P(12，0)且與y軸切于原點的圓的方程為_,【提示】 圓心坐標為(6，0),(x6)2y236,【典例剖析】,【例2】若方程x2y2(m1)x2mym0表示的圖形是圓，求實數(shù)m的取值范圍,【分析】滿足圓的充要條件即可求得,【答案】由題意得Dm1，E2m，F(xiàn)m. 若方程表示圓，則D2E24F0，即(m1)2(2m)24m0，,即5m26m10，(5m1)(m1)0，解得m1，,故實數(shù)m的取值范圍是 (1，),【典例剖析】,【變式訓練2】

3、求過點A(2，3)，B(2，5)，且圓心在直線xy10上的圓的方程,解：由已知設(shè)圓的方程為(xa)2(yb)2r2， 將已知條件代入可解得a1，b2，r210. 圓的方程為(x1)2(y2)210.,【回顧反思】,1確定圓的方程需要三個條件同時滿足 2一般只有已知圓上三點時設(shè)圓的一般方程，而其他題設(shè)條件一般可求出圓心和半徑，從而得到標準方程,【同步訓練】,一、選擇題 1以點C(2，4)為圓心，且圓的一條直徑的兩個端點分別在x軸與y軸上的圓的標準方程是() A(x2)2(y4)210 B(x2)2(y4)220 C(x2)2(y4)210 D(x2)2(y4)220,【提示】 原點在圓上,B,【

4、同步訓練】,2過點A(1，1)，B(0，2)，且圓心在x軸上的圓的標準方程是() A(x1)2y25 B(x1)2y25 Cx2(y1)25 Dx2(y1)25 3已知圓x2y2axby40的圓心坐標是(2，1)，則該圓的半徑為() A9 B3 C5 D.,A,B,【提示】 設(shè)圓心坐標為(a，0)，由兩點之間距離公式得a1，r,【提示】 由 2， 1，得a4，b2，r3.,【同步訓練】,4若方程x2y22xyk0表示的圖形是一個圓，則實數(shù)k的取值范圍是() A. B. C. D. 5點(1，1)在圓(xa)2(ya)24的內(nèi)部，則a的取值范圍是() A11 Da1或a1,A,A,【提示】 由D

5、2E24F414k0可得,【提示】 由兩點間距離公式d 2可得,【同步訓練】,6過點A(1，2)，且與兩坐標軸同時相切的圓的方程為() A(x1)2(y1)21或(x5)2(y5)225 B(x1)2(y3)22 C(x5)2(y5)225 D(x1)2(y1)21,A,【提示】 設(shè)圓心為(a，a)，則半徑ra，圓的方程為(xa)2(ya)2a2，將點(1，2)代入得a1或a5.,【同步訓練】,二、填空題 7兩直線yx2a和y2xa1的交點在圓x2y24的內(nèi)部，則實 數(shù)a的取值范圍是_ 8過點A(3，5)和B(4，2)，且圓心在y軸上的圓的標準方程是_,x2(y1)225,【提示】 由方程組可

6、得交點為(a1，3a1)，(a1)2(3a1)24.,【提示】 設(shè)圓心坐標為(0，b)，由兩點間距離公式可得b1，r5.,【同步訓練】,9圓(x1)2(y2)24外一點P(2，2)與該圓上一點之間的最短距離是_ 10圓心為(2，3)，且過直線x2y10與x2y20的交點的圓的標準方程為_,3,【提示】 由圓心(1，2)到點P(2，2)的距離與半徑之差可得,【提示】 先求兩直線的交點坐標，再用兩點間的距離公式求出半徑即可,(x2)2(y3)2,【同步訓練】,三、解答題 11(2019年湖北省技能高考真題)設(shè)直線5x2y60與y軸的交點為P，求以P為圓心，以點(3，2)到直線3x4y90的距離為半

7、徑的圓的一般方程,解：令x0，代入5x2y60，得圓心P(0，3)， 由點到直線的距離公式，得圓的半徑為 因此所求圓的標準方程為x2(y3)24， 故所求圓的一般方程為x2y26y50.,r 2，,【同步訓練】,12已知圓x2y2ax2ay 0的圓心在直線2xy50上，求圓心坐標和半徑,解：圓心坐標,代入直線方程中可得a,圓心坐標為,同時求出r,8.4.2直線與圓的位置關(guān)系,【知識精講】,1點與圓的位置關(guān)系：點在圓內(nèi)、點在圓上和點在圓外 判斷方法：設(shè)點到圓心的距離為d，當dr時，點在圓外 2直線與圓的位置關(guān)系：相離、相切和相交 (1)判定方法： 直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組，所得一元二次方程的

8、判別式，0直線與圓相交，0直線與圓相切，0直線與圓相離；,【知識精講】,把圓心到直線的距離d與半徑r比較，dr直線與圓相離 (2)過圓x2y2r2上一點M(x0，y0)的切線方程為x0 xy0yr2(也可先求得斜率，斜率為過已知點和圓心連線斜率的負倒數(shù)，再用點斜式求得切線方程)；求過圓外一點的切線方程，可先設(shè)直線方程的點斜式，再利用dr求得k，切線有兩條，應(yīng)注意斜率不存在的情況已知直線的斜率求切線方程，可先設(shè)直線為點斜式y(tǒng)kxb，再利用dr，求得待定系數(shù)b.,【知識精講】,(3)直線與圓相交，弦長公式為l 3判斷直線與圓的位置關(guān)系及求切線方程時常用到的公式 (1)點到直線的距離公式d (2)兩點間距離公式|P1P2|,【回顧反思】,1掌握直線與圓的位置關(guān)系的判斷方程 2會求直線被圓截得的弦長和切線長，靈活動用弦長和切線長公式 3會求給定條件下的圓的方程,【同步訓練】,1直線l將圓x2y22x4y0平分，且l不通過第四象限，則l的斜率的取值范圍是_ 2經(jīng)過點(3，5)和(3，7)，且圓心在x軸上的圓的方程為_,【提示】 l通過圓心(1，2),0，2,【提示】 這兩點的垂直平分線與x軸的交點即為圓心,(x2)2y250,【同步訓練】,3若直線2xym0被圓(x1)2(y2)225截得的弦長為8，求實數(shù)m的值,解：由數(shù)形結(jié)合知圓心到直線的距離為3，