系統(tǒng)穩(wěn)定性判別方法PPT

1、系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別方法,系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念： 如果一個(gè)系統(tǒng)受到擾動(dòng)，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動(dòng)取消后，經(jīng)過充分長的時(shí)間，這個(gè)系統(tǒng)又能以一定的精度逐漸恢復(fù)到原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，稱這個(gè)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,穩(wěn)定性判別方法： 1、勞斯穩(wěn)定性判據(jù) 2、赫爾維茲穩(wěn)定性判據(jù) 3、乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù) 4、由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 5、根軌跡法 6、李雅普諾夫穩(wěn)定性方法,勞斯穩(wěn)定性判據(jù) 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù) 赫爾維茲穩(wěn)定性判據(jù) 勞斯穩(wěn)定性判據(jù)是一種代數(shù)判據(jù)方法。它是根據(jù)系統(tǒng)特征方程式來判斷特征根在S平面的位置，從而決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 判斷依據(jù)：1、特征方程的各項(xiàng)系數(shù)都不等于0； 2、特征方程各項(xiàng)系數(shù)

2、符號(hào)相同； 3、勞斯表的第一列是否均大于零。,sn a0 a2 a4 a6 . sn-1 a1 a3 a5 a7 . sn-2 b1 b2 b4 b6 . sn-3 c0 c2 c4 c6 . s2 u1 u2 s1 v1 若某行第一個(gè)元素為0，則用一個(gè)趨于0的數(shù)代替 s0 w1 若第一列系數(shù)有負(fù)數(shù)，則第一列系數(shù)符號(hào)的改變次數(shù)等于在右半平面上根的個(gè)數(shù)。 優(yōu)點(diǎn)：不必求解方程，方便系統(tǒng)的穩(wěn)定性的判斷。不但可以判別絕對穩(wěn)定性還可以判別相對穩(wěn)定性。 應(yīng)用領(lǐng)域：分析系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響。,.,.,.,.,.,.,.,赫爾維茲穩(wěn)定性判據(jù) 先依據(jù)特征方程寫出 a1 a3 a5 . 0 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條

3、件： a0 a2 a4 . 0 主行列式n及其對角線上各子行列 0 a1 a3 . 0 式1，2，3，4.n-1均具有正 = 0 a0 a2 . 0 值 0 0 0 0 . . . 0 . . an-1 0 0 . . an-2 an,.,.,.,優(yōu)點(diǎn)：規(guī)律簡單明確，使用方便 缺點(diǎn)：對高階系統(tǒng)，計(jì)算行列式較復(fù)雜 此外，勞斯穩(wěn)定性判據(jù)和赫爾維茲穩(wěn)定性判據(jù)還有一個(gè)共同的缺點(diǎn)就是：無法解決帶延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定。,乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù) 乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)是根據(jù)閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應(yīng)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，本質(zhì)上是一種圖解分析方法。 閉環(huán)傳遞函數(shù)： 開環(huán)傳遞函數(shù)：,特征方程： 若 則,作圖方法： 1

4、、寫出幅頻特性|G（j）|和相頻特性 G（j）表達(dá)式。 2、求出=0和時(shí)的G（j）。 3、求乃氏圖與實(shí)軸虛軸的交點(diǎn)。 4、必要時(shí)畫幾點(diǎn)中間的，并勾勒大致曲線,1、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的基本形式表明，如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)在s復(fù)數(shù)平面的虛軸j上既無極點(diǎn)又無零點(diǎn)，那么有 Z=P-N P是開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)。 N是當(dāng)角頻率由=0變化到=+時(shí) G（j）的軌跡沿逆時(shí)針方向圍繞實(shí)軸上點(diǎn)(-1，j0)的次數(shù)。如果Z=0，則閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定；Z0，則閉環(huán)控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。,2、當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù) G(s)在s復(fù)數(shù)平面的虛軸上存在極點(diǎn)或零點(diǎn)時(shí) 當(dāng)遇到位于虛軸上G(s)的極點(diǎn)（圖中用表示）時(shí)，要用半徑

5、很小的半圓從右側(cè)繞過。Z=P-2N,帶有延遲環(huán)節(jié)時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)定。 幅頻特性 相頻特性,優(yōu)點(diǎn)：1、開環(huán)頻率響應(yīng)容易通過計(jì)算或?qū)嶒?yàn)途徑定出，所以它在應(yīng)用上非常方便和直觀。 2、能解決代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)不能解決的比如含延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。 3、能定量指出系統(tǒng)的穩(wěn)定儲(chǔ)備，即系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性定量指標(biāo)，進(jìn)一步提高和改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能。,由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 與乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)類似，該方法是利用開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同樣也是能夠用實(shí)驗(yàn)來獲得，因此也得到廣泛的應(yīng)用。 伯德圖是系統(tǒng)頻率響應(yīng)的一種圖示方法，由幅值圖和相角圖組成，兩者都按頻率的對數(shù)分度繪制 判斷方法：在開環(huán)狀態(tài)下，特征方程有P個(gè)根在

6、右半平面內(nèi)。此時(shí)，在L（）0的范圍內(nèi)，相頻特性曲線（）在-線上正、負(fù)穿越次數(shù)只差為P/2次，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 分別用N+和N-表示正穿越次數(shù)和負(fù)穿越次數(shù),則N=N+-N-。判據(jù)的結(jié)論是Z=P2N，且Z=0時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，Z0時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。由于頻率響應(yīng)的幅值對數(shù)圖和相角圖易于繪制，因此對數(shù)頻率響應(yīng)穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用更廣。,優(yōu)點(diǎn)：1、可以將幅值相乘轉(zhuǎn)化為幅值相加，便于繪制由多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性圖。 2、可采用漸近線近似作圖方法繪制對數(shù)幅頻圖，簡單方便。 3、有效擴(kuò)展了頻率范圍，尤其是低頻段。（指數(shù)增長）,控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由其閉環(huán)極點(diǎn)唯一確定，系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的基本特性與系

7、統(tǒng)的閉環(huán)零、極點(diǎn)在平面上分布的位置有關(guān)。 決定系統(tǒng)基本特性的是系統(tǒng)特征方程的根，如果搞清楚這些根在平面上的分布與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系，那就掌握了系統(tǒng)的基本特性。 為此目的，伊文思在年提出了根軌跡法，令開環(huán)函數(shù)的一個(gè)參數(shù)開環(huán)增益（或另一個(gè)感興趣的參數(shù)）從變化到，與此對應(yīng)，特征方程的根，便在平面上描出一條軌跡，稱這條軌跡為根軌跡。 根軌跡法是研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的一種有效方法，它已發(fā)展成為經(jīng)典控制理論中最基本的方法之一。,根軌跡法,根軌跡的基本概念,一舉例說明根軌跡的概念 特征方程的根為 ，,令開環(huán)增益從變化到，用解析方法求不同所對應(yīng)的特征根的值，將這些值標(biāo)在平面上，并連成光滑的粗實(shí)線，這就是該系統(tǒng)的根

8、軌跡。箭頭表示隨著值的增加，根軌跡的變化趨勢。,從系統(tǒng)的根軌跡圖，可以獲得下述信息: .穩(wěn)定性：因?yàn)楦壽E全部位于左半平面，故閉環(huán)系統(tǒng)對所有的值都是穩(wěn)定的。 .穩(wěn)態(tài)性能：因?yàn)殚_環(huán)傳函有一個(gè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)，所以是I型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0。,-1,j,當(dāng)K=0時(shí)，S1=0，S2=-1,繪制根軌跡的基本規(guī)則,繪制根軌跡的基本規(guī)則實(shí)際上是系統(tǒng)根軌跡的一些基本性質(zhì)，掌握了這些基本規(guī)則，將能幫助我們更準(zhǔn)確、更迅速的繪制根軌跡。,一根軌跡的對稱性,實(shí)際系統(tǒng)的特征方程的系數(shù)是實(shí)數(shù)，其特征根為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，因此，根軌跡對稱于實(shí)軸。,二根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn),根軌跡的起點(diǎn)對應(yīng)于時(shí)特征根在平面上的分布位

9、置，而根軌跡的終點(diǎn)則對應(yīng)于時(shí)，特征根在平面上的分布位置。,幅值條件改寫,當(dāng)，必有，即起點(diǎn)是開環(huán)極點(diǎn)。 當(dāng)，必有，即終點(diǎn)是開環(huán)零點(diǎn)。,但在控制系統(tǒng)中，總有nm，所以根軌跡從n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)處起始，到m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)處終止，剩下的nm條根軌跡將趨于無窮遠(yuǎn)處。 舉例如題，起點(diǎn)：，無零點(diǎn)，n=，m=0，nm=2，有兩條根軌跡,三根軌跡的分支數(shù),根軌跡由若干分支構(gòu)成，分支數(shù)與開環(huán)極點(diǎn)數(shù)相同。,四實(shí)軸上的根軌跡,在實(shí)軸上存在根軌跡的條件是，其右邊開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)。,五根軌跡的漸近線,根軌跡中（nm）條趨向無窮遠(yuǎn)處的分支的漸近線的傾角為,，（n-m-1),當(dāng)時(shí)，求得的漸近線傾角最小，,增大，傾角值將

10、重復(fù)出現(xiàn)，而獨(dú)立的漸近線只有（nm）條,.漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn),漸近線的交點(diǎn)總在實(shí)軸上，即 必為實(shí)數(shù)在計(jì)算時(shí)，考慮到共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)的虛部總是相互抵消，只須把開環(huán)零、極點(diǎn)的實(shí)部代入即可,例：,求根軌跡,解：在平面中確定開環(huán)零、極點(diǎn)的位置。,j,確定實(shí)軸上的根軌跡。,n=3,m=0,應(yīng)有三個(gè)分支，并且都趨向無窮遠(yuǎn)處。,確定漸近線的位置,李雅普諾夫第一法 李雅普諾夫穩(wěn)定性方法 李雅普諾夫第二法 李雅普諾夫第一法是通過求解系統(tǒng)微分方程，然后根據(jù)解的性質(zhì)來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其基本思路與經(jīng)典控制理論一致。 對于線性定常系統(tǒng)來說 平衡狀態(tài) 漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件就是矩陣A所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，這里所說的是系

11、統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性，而對于輸出穩(wěn)定性來說，其穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù) 的極點(diǎn)全部位于s的左半平面。,該方法能解決線性定常和非線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，但不能延伸至?xí)r變系統(tǒng)的分析。 且只能解決非線性不是很嚴(yán)重的系統(tǒng)，將其線性化處理，取其近似的線性方程來判斷穩(wěn)定性。,例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為： 試分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性與輸出穩(wěn)定性。 故系統(tǒng)不是漸進(jìn)穩(wěn)定的。 再由其傳遞函數(shù) 可見傳函的極點(diǎn)在-1處位于左半平面，故系統(tǒng)輸出穩(wěn)定。,李雅普諾夫第二法 李雅普諾夫第二法是從能量觀點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)被激勵(lì)后，其儲(chǔ)存的能量隨著時(shí)間的推移逐漸衰弱，到達(dá)平衡狀態(tài)時(shí)，能量將得到最小值，那么這個(gè)平衡狀態(tài)是漸進(jìn)

12、穩(wěn)定的。反之，如果系統(tǒng)不斷從外界吸收能量，儲(chǔ)能越來越大，那么這個(gè)平衡狀態(tài)就是不穩(wěn)定的，如果系統(tǒng)的儲(chǔ)能既不增長也不消耗，那么這個(gè)平衡狀態(tài)就是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。 對于給定的一個(gè)系統(tǒng)，如果能找到一個(gè)正定的標(biāo)量函數(shù)V(x)，根據(jù)該函數(shù)導(dǎo)數(shù)來確定能量隨時(shí)間的變化。 標(biāo)量函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)：設(shè)V(x)是向量x的標(biāo)量函數(shù)，且在x=0處，恒有 V(0)=0，那么在所有定義域中的任何非零向量x， 若V(x)0，則V(x)正定；若V(x)0，則V(x)半正定。若V(x)0或V(x)0，則V(x)不定,對于二次型標(biāo)量函數(shù)； 二次型標(biāo)量函數(shù)可寫為 其中，P為實(shí)對稱矩陣。 此時(shí)，必然存在正交矩陣T，通過變換 ，使之化

13、為：,此稱為二次型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型，i為P的特征值，則V(x)正定的充要條件是P的特征值i均大于0。 若V(x)正定，則 P 為正定矩陣，記為 P0;若V(x)負(fù)定，則 P 負(fù)定矩陣，記為 P0;若V(x)半正定，則 P 半正定矩陣，記為 P0;若V(x)半負(fù)定，則 P 半負(fù)定矩陣，記為 P0;,希爾維斯特判據(jù) 設(shè)實(shí)對稱陣 為其各階順序主子式，即 矩陣P是否正定的充要條件是：,若 ， 則 P 正定； 若 ，則 P 負(fù)定； 若 ，則 P 半正定； 若 ，則 P 半負(fù)定；,李雅普諾夫第二方法可用于任意階的系統(tǒng)，運(yùn)用這一方法可以不必求解系統(tǒng)狀態(tài)方程而直接判定穩(wěn)定性。但由于使用此方法時(shí)要尋找一個(gè)正定的函數(shù)

14、V（x），并且此時(shí)V（x）的導(dǎo)數(shù)是負(fù)定的，那么才能說明系統(tǒng)穩(wěn)定。 所以，使用該方法的局限性就是很難找完所有的V（x）。因此，只能用該方法證明系統(tǒng)穩(wěn)定，而不能證明系統(tǒng)不穩(wěn)定。,例 設(shè)非線性系統(tǒng)為 試分析穩(wěn)定性. 由 , 得 是其唯一的平衡點(diǎn). 構(gòu)造 是正定的. 對 關(guān)于t求導(dǎo), 得,代入狀態(tài)方程得 負(fù)定 為一李雅普諾夫函數(shù), 且當(dāng) 時(shí), 有 為全局漸近穩(wěn)定(而且是一致的).,總結(jié) 1、勞斯判據(jù)：不必求解方程，方便系統(tǒng)的穩(wěn)定性的判斷；可以判斷系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，但無法解決含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)。 2、赫爾維茲穩(wěn)定性判據(jù)：規(guī)律簡單明確，使用方便；對于高階系統(tǒng)計(jì)算過于復(fù)雜，無法解決含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)。 3、奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)：開環(huán)頻率響應(yīng)容易通過計(jì)算或?qū)嶒?yàn)途徑定出，所以它在應(yīng)用上非常方便和直觀；能解決代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)不能解決的比如含延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，但仍然無法解決非線性穩(wěn)定問題；能定量指出系統(tǒng)的穩(wěn)定儲(chǔ)備，即系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性定量指標(biāo)，進(jìn)一步提高和改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能。,4、由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性：可以將幅值相乘轉(zhuǎn)化為幅值相加，便于繪制由多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性圖；可采用漸近線近似作圖方法繪制對數(shù)幅頻圖，簡單方便；有效擴(kuò)展了頻率范圍，尤其是低頻段。（指數(shù)增長