雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)

1、雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程富源縣第一中學(xué)牛自營(yíng)一、教學(xué)目標(biāo)：1、通過(guò)雙曲線軌跡的探索過(guò)程，體驗(yàn)雙曲線的特征，探求總結(jié)雙曲線的定義；2、通過(guò)類(lèi)比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，推導(dǎo)并掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；3、通過(guò)對(duì)雙曲線概念和標(biāo)準(zhǔn)方程的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析抽象的能力，體驗(yàn)解析思想，激發(fā)學(xué)生探究事物運(yùn)動(dòng)規(guī)律，進(jìn)一步認(rèn)清事物的本質(zhì)特征的興趣；二、學(xué)情分析：學(xué)生先前已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓，基本掌握了橢圓的有關(guān)問(wèn)題及研究方法，而雙曲線問(wèn)題，它與橢圓問(wèn)題有類(lèi)似性，知識(shí)的正遷移作用可在本節(jié)課中充分顯示也就是說(shuō)，學(xué)生在經(jīng)過(guò)前期解析幾何的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，已初步掌握了解析法思想和解析研究的能力，學(xué)習(xí)本課已具備一定的基礎(chǔ)在學(xué)習(xí)過(guò)程，較橢圓而言，從直觀

2、圖形軌跡到抽象概念的形成，中間一些細(xì)節(jié)問(wèn)題的處理要求學(xué)生有更細(xì)致入微的分析和更強(qiáng)的領(lǐng)悟性，因此學(xué)生概括起來(lái)有更高的難度特別是對(duì)于為什么需要加絕對(duì)值，c 與 a 的有怎么樣大小關(guān)系，為什么是這樣的等等另外，與橢圓除了本身內(nèi)容的區(qū)別之外，初中所學(xué)的“反比例函數(shù)圖象”在學(xué)生的頭腦里有一個(gè)原有認(rèn)知，而這個(gè)認(rèn)知對(duì)于現(xiàn)在的學(xué)習(xí)會(huì)產(chǎn)生一定幫助的同時(shí)，其方程形式的不同也會(huì)帶來(lái)一定的認(rèn)知沖突三、重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)：雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程；難點(diǎn)：準(zhǔn)確理解表述雙曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)四、教學(xué)過(guò)程（一） 回顧橢圓，尋求引領(lǐng)方法問(wèn)題 1：橢圓的第一定義是什么？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎么樣的？怎么推導(dǎo)而來(lái)？問(wèn)題 2：如何作橢

3、圓？（邊回顧知識(shí)，邊播放flash 課件，動(dòng)畫(huà)展示橢圓的形成過(guò)程，注重于研究問(wèn)題的方法）（二）動(dòng)手演示，感受雙曲線形成在橢圓定義中，到兩定點(diǎn)的距離之“和”改為到兩定點(diǎn)的距離之“差”為定值，則曲線的1軌跡又會(huì)如何？能否利用手頭的工具來(lái)演示得到滿足這樣條件的曲線呢？（師生共同研究探索作圖方案，主要解決如何來(lái)實(shí)現(xiàn)距離之差為定值）總結(jié)方法： 取拉鏈，拉開(kāi)一部分，在拉開(kāi)的一邊上取其m端點(diǎn)，在另一邊的中部位置取一點(diǎn)分別固定在紙上的兩f1f2個(gè)定點(diǎn) f 和 f 處，（注意 f f的距離要比拉鏈兩點(diǎn)的1212差要大），把筆尖搭在拉鏈頭m 處，隨著拉鏈的拉開(kāi)或閉合，筆尖就畫(huà)出一條曲線（學(xué)生動(dòng)手，老師指導(dǎo)，然后在

4、講臺(tái)上演示）m（三）剖析特征，提煉雙曲線定義f1f23.1分析演示結(jié)果展示學(xué)生畫(huà)圖結(jié)果一 ：拉鏈在拉開(kāi)閉攏的過(guò)程中，拉開(kāi)的兩邊長(zhǎng)始終相等，即|mf1|=|mf2|+|f1f2|動(dòng)點(diǎn) m 變化時(shí)， |mf1|與|mf2|在不斷變化，但總有 |mf1|-|mf2|=|f1f2|，而 |f1f2|為定長(zhǎng)，所以點(diǎn) m 到兩定點(diǎn) f1 和 f2 的距離之差為常數(shù)，記為 2a，即 |mf1|-|mf2|=2a展示學(xué)生畫(huà)圖結(jié)果二：m畫(huà)出來(lái)的曲線開(kāi)口向左邊（把學(xué)生的圖在實(shí)物投影下展示，發(fā)現(xiàn)存在的差異，f1f2討論點(diǎn) m 到 f1 與 f2 兩點(diǎn)的距離的差確切怎樣表示？）展示學(xué)生畫(huà)圖結(jié)果三：拉鏈頭拉不到f2 點(diǎn)

5、，圖畫(huà)不出來(lái)m（引發(fā)學(xué)生思考為什么會(huì)畫(huà)不出來(lái)？|mf1|-|mf2|.f1f2與 |f1f2|有何關(guān)系？）3.2 雙曲線定義：（引導(dǎo)學(xué)生概括出雙曲線的定義）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1、f2 的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于|f1f2|）的點(diǎn)軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距2數(shù)學(xué)簡(jiǎn)記：| mf 1 | | mf 2 | 2a （ 0 2a 2c | f1 f 2 | ）（直觀感覺(jué)雙曲線有“兩條” （兩支），每一支“有點(diǎn)象”拋物線曾經(jīng)學(xué)過(guò)的反比例函數(shù)圖象是雙曲線那么雙曲線就是反比例函數(shù)圖象？答，不是的，反比例函數(shù)圖象是雙曲線，但雙曲線所對(duì)應(yīng)的表達(dá)式不一定是反比例函

6、數(shù)的形式，下面我們就研究雙曲線的方程）（四）類(lèi)比橢圓，推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程4.1推導(dǎo)回憶橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟，來(lái)推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（教師提示步驟，叫一學(xué)生上臺(tái)板演，其余學(xué)生自己推導(dǎo)，教師個(gè)別指導(dǎo)）整理修改板演學(xué)生的結(jié)果：設(shè) m ( x, y) ， f1( c,0) ， f2 (c,0) ，由 | mf1 | mf 2 |2a ，得 ( xc)2y2(xc) 2y22a(xc)22(x c)222ayy( x c) 2y2( x c)2y24a ( x c)2y 24a 2cxa 2a(xc) 2y 2(cx a2 )2a 2( xc)2y 2 (c2a 2 ) x2a2 y2a 2 (c2a 2

7、 ) ，令 c2a2b2（ b0），得 b2x2a2y22b2，即x2y2a22 1 ab（討論：推導(dǎo)的過(guò)程是一個(gè)等價(jià)變形的過(guò)程嗎？）4.2標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上，中心在原點(diǎn)時(shí)，方程形式：當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上，中心在原點(diǎn)時(shí)，方程形式：參數(shù) a,b,c 的關(guān)系22xy1a 2b 2y2x2a21b 2c2a 2b 2 （ a, b, c0 ）| mf1 | mf2 |2a （實(shí)軸長(zhǎng)）| f1f2 |2c （焦距）與橢圓的對(duì)比(從定義闡述，方程結(jié)構(gòu)特征，a,b,c 之間的關(guān)系，焦點(diǎn)坐標(biāo)的判斷著手分析相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，3并用課件表格的形式呈現(xiàn))（五）應(yīng)用解題，鞏固知識(shí)要點(diǎn)例 1 寫(xiě)出

8、一個(gè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并讓同桌寫(xiě)出相應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)及a,b,c 的值（學(xué)生自己出題，自己解答，鞏固標(biāo)準(zhǔn)方程及其中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，并找出具有代表性的例子用實(shí)物投影共同分析解答的結(jié)果）例 2 已知方程x 2y2m 2m1表示焦點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線，則 m 的取值范圍是3變式：（1）改為表示焦點(diǎn)在y 軸上的雙曲線呢？（2）改為表示雙曲線呢？（3）若表示橢圓呢？（通過(guò)變式進(jìn)一步鞏固方程的結(jié)構(gòu)特征，并與橢圓加以區(qū)別）例 3 在給出的四個(gè)選項(xiàng)中選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)填入空格，再解題：已知雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為f1 ( 5,0) , f2 (5,0) ,雙曲線上點(diǎn) p 到 f1，f2 的差的絕對(duì)值等于 _，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.a. 16b. 6c.10d.0（分析每個(gè)選項(xiàng)的特征， 進(jìn)一步理解定義中 02a2c | f1 f 2 |的條件，通過(guò)求解，總結(jié)求解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法和策略）（六）對(duì)比總結(jié)，整合新學(xué)知識(shí)1應(yīng)用雙曲線和橢圓的對(duì)比圖表，總結(jié)整理雙曲線定義的要點(diǎn)，標(biāo)準(zhǔn)方程的形式2課本練習(xí)p60 1，2，33思考（ 1）當(dāng) 0時(shí)，方程 x 2 siny 2 cos1表示什么曲線？（ 2）反比例函數(shù)