核電子學(xué)基礎(chǔ)信號(hào)與系統(tǒng)基礎(chǔ)---拉普拉斯變換

1、核電子學(xué)與核輻射儀器,覃國秀 Tel:核工系 2011/02/28,上次課關(guān)鍵點(diǎn),時(shí)域分析與頻域分析,本堂課主要內(nèi)容：,信號(hào)與系統(tǒng)基礎(chǔ)-拉普拉斯變換 1、概述 2、拉普拉斯變換 3、常用函數(shù)的拉普拉斯變換 4、拉普拉斯反變換 5、拉普拉斯變換性質(zhì),1、概述,拉普拉斯方法在電學(xué)、力學(xué)等許多科學(xué)領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用。尤其在電路理論的研究中，在相當(dāng)長時(shí)間內(nèi)，電路理論和工程方面，幾乎無例外的使用拉普拉斯變換方法。從數(shù)學(xué)的角度看，拉氏變換方法是求解線性微分方程的工具，它的優(yōu)點(diǎn)有： 1、使求解步驟簡化，可同時(shí)得到特解和齊次解； 2、拉氏變換將“微積分”運(yùn)算轉(zhuǎn)化為“乘除法”運(yùn)算；

2、3、有些不能用傅里葉變換的函數(shù)，可用拉氏變換； 4、拉氏變換可以把時(shí)域中的“卷積”運(yùn)算變換為轉(zhuǎn)換域中的乘法運(yùn)算。,2、拉普拉斯變換,有些函數(shù)f(t)不滿足絕對(duì)可積的條件，那是由于在時(shí)間t趨于無窮的時(shí)候，f(t)衰減的太慢。為了滿足絕對(duì)可積的條件，可以用指數(shù)函數(shù)e-t去乘f(t)。如果取足夠大的正值，則當(dāng)t時(shí)，f(t)e-t將衰減較快，但這時(shí)若t-，e-t將起增幅的作用。因此，有必要在t=0的兩側(cè)取不同的衰減因子e-1t和e-2t，以使f(t)e-1t 和f(t)e-2t分別在t和t-的過程中都減幅。其一般表達(dá)式為,傅里葉變換,乘衰減因子,例：,1,2、拉普拉斯變換,上式如果令s=+j，則可得到

3、,其反變換為,以上就是拉普拉斯變換及其逆變換。,2、拉普拉斯變換,在電子技術(shù)中，所遇到的信號(hào)大多為有始函數(shù)，在t0的范圍內(nèi)其函數(shù)值為0，此時(shí)拉普拉斯變換及其逆變換為,單邊拉普拉斯變換,2、拉普拉斯變換,拉普拉斯變換的收斂域 對(duì)某一函數(shù)，并不是所有的值，都能使f(t)e-t為有限值。即并不是在所有的值上，函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換都存在，而是只有在值的一定范圍內(nèi)，f(t)e-t是收斂的。通常把使f(t)e-t滿足絕對(duì)可積條件的值的范圍稱為拉氏變換的收斂域。,例：,求下列脈沖信號(hào)的收斂域。,0,s平面,（1）單位階躍信號(hào),（2）指數(shù)函數(shù),答案：,3、常用拉普拉斯變換,階躍函數(shù),3、常用拉普拉斯變換

4、,指數(shù)函數(shù),3、常用拉普拉斯變換,冪函數(shù),使用分部積分法，得,則,3、常用拉普拉斯變換,正弦函數(shù),同理，可求得余弦函數(shù)的拉氏變換為,3、常用拉普拉斯變換,沖激函數(shù),4、拉普拉斯反變換,部分分式展開法 設(shè)F(s)為有理函數(shù)，由兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示，即,當(dāng)F(s)為有理函數(shù)時(shí)，其逆變換的條件是mn。 當(dāng)mn時(shí)，先要將上式化為真分式，然后再求其逆變換。,例：,4、拉普拉斯反變換,部分分式展開法 D(s)=0的根為實(shí)根且無重根 對(duì)D(s)進(jìn)行因式分解得,將上式展開為n個(gè)簡單分式之和，即,Ki為待定系數(shù)，為了確定它，上式兩邊乘以(s-pi)，再令s=pi，則,（1）,（2）,將上式代入（1）式，得,（3）

5、,求以下函數(shù)的原函數(shù)。,4、拉普拉斯反變換,部分分式展開法 D(s)=0的根包含共軛復(fù)根 設(shè)f(s)有一對(duì)共軛復(fù)根-j，則,其拉氏逆變換為,求以下函數(shù)的原函數(shù)。,4、拉普拉斯反變換,部分分式展開法 D(s)=0的根包含有重根 設(shè)D(s)=0有一個(gè)r次重根，則,為了確定K1r，將上式兩邊同乘以(s-p1)r，則,（4）,（5）,令s=p1，得,為了確定K1(r-1)，將（5）式兩邊對(duì)s求導(dǎo)，再令s=p1 ，得,依次類推，可分別求得系數(shù)K1r，K1(r-1) ，其一般公式為,求以下函數(shù)的原函數(shù)。,4、拉普拉斯反變換,圍線積分法 像函數(shù)F(s)的拉氏反變換為,根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論中的留數(shù)定理可知，若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)奇點(diǎn)外處處解析，C為D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線，則,（6）,（7）,將（7）式中的f(z)換成像函數(shù)F(s)，則,式中，Respi是被積函數(shù)在s=pi處的留數(shù)。如果s=pi為單極點(diǎn)，則,如果s=pi為重極點(diǎn)，則,5、拉普拉斯變換性質(zhì),線性 時(shí)間平移,5、拉普拉斯變換性質(zhì),s域平移 尺度變換,如已知Lf(t)=F(s)，求下列函數(shù)的拉氏變換。,5、拉普拉斯變換性質(zhì),時(shí)域微分 時(shí)域積分,5、拉普拉斯變換性質(zhì),s域微分 s域積分,已知函數(shù) ，試求 的像函數(shù)。,解法1：根據(jù)定義,解法2：根據(jù)微分性質(zhì),5、拉普拉斯變換性質(zhì),卷積定理,