電路理論基礎(chǔ)課件

1、第12章 復(fù)頻域分析,12-1 拉普拉斯變化及基本性質(zhì) 12-2 拉普拉斯反變換的部分 分式展開 12-3 電路元件和電路定律的 復(fù)頻域形式 12-4 應(yīng)用拉普拉斯變換法 分析線性電路 12-5 網(wǎng)絡(luò)函數(shù),第12章 復(fù)頻域分析,重點(diǎn)內(nèi)容 1.拉普拉斯變換定義 2.運(yùn)算阻抗，運(yùn)算導(dǎo)納及運(yùn)算電路。,拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時(shí)間函數(shù)f(t)與復(fù)變函數(shù)F(s)聯(lián)系起來，把時(shí)域問題通過數(shù)學(xué)變換為復(fù)頻域問題，把時(shí)域的高階微分方程變換為頻域的代數(shù)方程以便求解。應(yīng)用拉氏變換進(jìn)行電路分析稱為電路的復(fù)頻域分析法，又稱運(yùn)算法。,12.1 拉普拉斯變換及基本性質(zhì),1. 拉氏變換法,A、 拉普拉斯變換,

2、例,一些常用的變換,對(duì)數(shù)變換,乘法運(yùn)算變換為加法運(yùn)算,相量法,時(shí)域的正弦運(yùn)算變換為復(fù)數(shù)運(yùn)算,拉氏變換,2. 拉氏變換的定義,定義 0 , )區(qū)間函數(shù) f(t)的拉普拉斯變換式：,正變換,反變換,F(s)稱為f (t)的象函數(shù), f (t)成為F(s)的原函數(shù).,積分域,注意,今后討論的均為0 拉氏變換。,0 ,0區(qū)間 f(t) =(t)時(shí)此項(xiàng) 0,象函數(shù)F(s) 存在的條件：,這兩個(gè)拉氏變換是有區(qū)別的。,如果存在有限常數(shù)M和 c 使函數(shù) f(t) 滿足：,則f(t)的拉氏變換式F(s)總存在，因?yàn)榭偪梢哉业揭粋€(gè)合適的s 值使上式積分為有限值。,象函數(shù)F(s) 用大寫字母表示,如I(s)，U(s

3、),原函數(shù)f(t) 用小寫字母表示，如 i(t), u(t),3.典型函數(shù)的拉氏變換,(1)單位階躍函數(shù)的象函數(shù),(3)指數(shù)函數(shù)的象函數(shù),(2)單位沖激函數(shù)的象函數(shù),B. 拉普拉斯變換的基本性質(zhì),1.線性性質(zhì),證,例1,解,例2,解,根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)，求函數(shù)與常數(shù)相乘及幾個(gè)函數(shù)相加減的象函數(shù)時(shí)，可以先求各函數(shù)的象函數(shù)再進(jìn)行相乘及加減計(jì)算。,結(jié)論,2. 微分性質(zhì),證,若足夠大,例,解,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù),Sin的象函數(shù),推廣：,解,3.積分性質(zhì),證,應(yīng)用微分性質(zhì),例,解,解:,注意：記住 常用函數(shù)的拉氏變換表12-1,自學(xué),延遲性質(zhì)的證明,證,自學(xué),求周期函數(shù)的拉氏變換,設(shè)f1

4、(t)為一個(gè)周期的函數(shù),例,解,自學(xué),對(duì)于本題脈沖序列,自學(xué),12.2 拉普拉斯反變換的部分分式展開,用拉氏變換求解線性電路的時(shí)域響應(yīng)時(shí)，需要把求得的響應(yīng)的拉氏變換式反變換為時(shí)間函數(shù)。 由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：,(1)利用公式,(2)對(duì)簡(jiǎn)單形式的F(s)可以查拉氏變換表得原函數(shù),(3)把F(s)分解為簡(jiǎn)單項(xiàng)的組合,部分分式展開法,象函數(shù)的一般形式,討論,式中: m,n均為正整數(shù),一. nm-F(s)為真分式,1. 設(shè)D(s)有n個(gè)單根(即各根不相等),2. 設(shè)D(s)=0有一對(duì)共軛復(fù)根,3. 設(shè)D(s)=0具有重根的情況,1. 設(shè)D(s)有n個(gè)單根(即各根不相等),按部分分式展開有,求系數(shù),方

5、法一:,根據(jù)羅必達(dá)法則,有,例: 求,解:,= -3,=7,2. 設(shè)D(s)=0有一對(duì)共軛復(fù)根,例,解,3. D(s)=0具有重根的情況,設(shè)含有三重根的情形.,對(duì)上式兩邊求導(dǎo)一次,令s=p1,得,對(duì)上式兩邊 再求導(dǎo)一次,若含有m重根的情形.,例: 求,解:,例: 求,解:,其他“湊”的方法，例如配方法：, n m 時(shí)將F(s)化成真分式和多項(xiàng)式之和,由F(s)求f(t) 的步驟：,求真分式分母的根，將真分式展開成部分分式,求各部分分式的系數(shù),對(duì)每個(gè)部分分式和多項(xiàng)式逐項(xiàng)求拉氏反變換,小結(jié),例,解,12.3 運(yùn)算電路,類似地,基爾霍夫定律的時(shí)域表示：,1.基爾霍夫定律的運(yùn)算形式,根據(jù)拉氏變換的線性

6、性質(zhì)得KCL、KVL的運(yùn)算形式,對(duì)任一結(jié)點(diǎn),對(duì)任一回路,u=Ri,2.電路元件的運(yùn)算形式,電阻R的運(yùn)算形式,取拉氏變換,電阻的運(yùn)算電路,時(shí)域形式：,電感L的運(yùn)算形式,取拉氏變換,由微分性質(zhì)得,L的運(yùn)算電路,時(shí)域形式：,電容C的運(yùn)算形式,C的運(yùn)算電路,時(shí)域形式：,取拉氏變換,由積分性質(zhì)得,耦合電感的運(yùn)算形式,時(shí)域形式：,取拉氏變換,由微分性質(zhì)得,互感運(yùn)算阻抗,耦合電感 的運(yùn)算電路,受控源的運(yùn)算形式,受控源的運(yùn)算電路,時(shí)域形式：,取拉氏變換,3. RLC串聯(lián)電路的運(yùn)算形式,時(shí)域電路,拉氏變換,運(yùn)算電路,運(yùn)算阻抗,運(yùn)算形式的歐姆定律,S域中的零狀態(tài)響應(yīng),三. 運(yùn)算電路模型,1. 電壓、電流用象函數(shù)形

7、式,2. 元件用運(yùn)算阻抗或運(yùn)算導(dǎo)納,3.電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示,注意附加電壓源參考方向：電容一致，電感相反,12-4 應(yīng)用拉氏變換分析線性電路,步驟:,由原電路確定電路0-的初始狀態(tài) (電感短路,電容開路);,(2) 畫運(yùn)算電路圖(注意運(yùn)算阻抗和附加電源);,(3) 選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ箜憫?yīng)的象函數(shù);,(4) 將象函數(shù)按部分分式展開,取拉氏反 變換,求解響應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式.,例1,(2) 畫運(yùn)算電路,解,(1) 計(jì)算初值,電路原處于穩(wěn)態(tài)，t =0 時(shí)開關(guān)閉合，試用運(yùn)算法求電流 i(t)。,(3) 應(yīng)用回路電流法,(4)反變換求原函數(shù),作業(yè)題4,解,計(jì)算初值,電路原處于穩(wěn)態(tài)，t =0

8、時(shí)開關(guān)閉合，試用運(yùn)算法求電流 i(t)。,串聯(lián)時(shí)，電容電壓與其電容大小成反比。,(2) 畫運(yùn)算電路,(3) 結(jié)點(diǎn) 電壓法,解:,方法一：回路電流法,1,2,1,0,方法二：結(jié)點(diǎn)電壓法,t = 0時(shí)打開S , 求電流 i1, i2。,解：（1）,（2）畫0+后運(yùn)算電路,（3）求象函數(shù),極性,L1和L2中的電流在t=0+時(shí)都被強(qiáng)制為同一電流，產(chǎn)生了躍變，電感電壓中出現(xiàn)沖激函數(shù)。,注意,由于拉氏變換中用0- 初始條件，躍變情況自動(dòng)包含在響應(yīng)中，故不需先求 t =0+時(shí)的躍變值。,兩個(gè)電感電壓中的沖擊部分大小相同而方向相反，相互抵消，故整個(gè)回路中無沖擊電壓，仍滿足KVL。,滿足磁鏈?zhǔn)睾恪?積分下限，對(duì)

9、于電容電壓和電感 電流有躍變的電路里，關(guān)系到附 加電源的取值問題。,例4 求沖激響應(yīng),簡(jiǎn)單！求階躍響應(yīng)也一樣,小結(jié)：,1、運(yùn)算法直接求得全響應(yīng),2、用0-初始條件，跳變情況自動(dòng)包含在響應(yīng)中,運(yùn)算法將電路中的非零獨(dú)立初始條件考慮成附加 電源后，電路方程的運(yùn)算形式與相量法類似，可 應(yīng)用各種分析方法和定理。對(duì)動(dòng)態(tài)電路而言，能 直接求出符合初始條件的微分方程的全解，而無 需根據(jù)初始條件去確定積分常數(shù)。,求解正弦穩(wěn)態(tài)電路時(shí)，運(yùn)算法與相量法思想相似,12-5 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)(Network Function）,1. 定義,線性時(shí)不變網(wǎng)絡(luò)在零初態(tài)條件下, 只有一個(gè)獨(dú)立源作用時(shí),網(wǎng)絡(luò)函數(shù):,2. 分類,按激勵(lì)與響應(yīng)

10、是否屬于同一支路（驅(qū)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)和轉(zhuǎn)移函數(shù)）.,一、 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義及性質(zhì),2. 分類 (激勵(lì)可以是電壓源或電流源,響應(yīng)可以是電壓或電流),1) 驅(qū)動(dòng)點(diǎn)函數(shù),3. 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與沖激響應(yīng)的關(guān)系,H(s)的原函數(shù)h(t)就是單位沖激響應(yīng).,證明:,若E(s)=1，響應(yīng)R(s)=H(s)，即網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是該響應(yīng)的像函數(shù)。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的原函數(shù)是電路的沖激響應(yīng) h(t)。,網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與沖激響應(yīng)的關(guān)系,沖激響應(yīng),H(s) 和沖激響應(yīng)構(gòu)成一對(duì)拉氏變換對(duì)。,結(jié)論,例,解,畫運(yùn)算電路,4.應(yīng)用：由網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可求取任意激勵(lì)的零狀態(tài)響應(yīng),并聯(lián)分流，與Y成正比,網(wǎng)絡(luò)函數(shù)乘以任意激勵(lì),例：求,網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是由網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，與激勵(lì)無關(guān)

11、,二、 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn),復(fù)頻率平面,極點(diǎn)用“”表示 ，零點(diǎn)用“?！北硎尽?。,圖中應(yīng)該將H0的值標(biāo)出（若為1，可以不標(biāo)出）,例：,繪出其極零點(diǎn)圖,H0=-10,例,已知網(wǎng)絡(luò)函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)為s =0、s =-1，一個(gè)單零點(diǎn)為s=1，且有 ，求H(s) 和 h(t),解,由已知的零、極點(diǎn)得：,網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與單位沖激響應(yīng)構(gòu)成拉氏變換對(duì)，單位沖激響應(yīng)的 性質(zhì)取決于網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)位置。極點(diǎn)位置不同，沖激響應(yīng) 性質(zhì)不同。,E（S）=1,2. 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)極點(diǎn)分布與沖激響應(yīng), , , ,討論,當(dāng)pi為負(fù)實(shí)根時(shí)，h(t)為衰減的指數(shù)函數(shù)，當(dāng)pi為正實(shí)根時(shí)，h(t)為增長(zhǎng)的指數(shù)函數(shù)；,極點(diǎn)位置不同，響應(yīng)性質(zhì)不同，

12、極點(diǎn)反映網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)動(dòng)態(tài)過程中自由分量的變化規(guī)律。,注意,當(dāng)pi為共軛復(fù)數(shù)時(shí)，h(t)為衰減或增長(zhǎng)的正弦函數(shù)；,當(dāng)pi為虛根時(shí)，h(t)為純正弦函數(shù)，當(dāng)Pi為零時(shí)，h(t)為實(shí)數(shù)；,1、極點(diǎn)的位置決定沖激響應(yīng)的波形,2、極點(diǎn)和零點(diǎn)共同決定沖激響應(yīng)的的幅值,3、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)極點(diǎn)的位置決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性,全部極點(diǎn)在左半平面系統(tǒng)是穩(wěn)定的，只要有一個(gè)極點(diǎn)在右半平面系統(tǒng)不穩(wěn)定，極點(diǎn)在虛軸上是臨界穩(wěn)定。,4、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)極點(diǎn)是該網(wǎng)絡(luò)變量的固有頻率,歸納：,1. 由網(wǎng)絡(luò)函數(shù)能求同一網(wǎng)絡(luò)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng),響應(yīng)相量,激勵(lì)相量,四、 極點(diǎn)、零點(diǎn)與頻率響應(yīng),令 s=j,基于相量法的正弦穩(wěn)態(tài)的計(jì)算結(jié)果是網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的一種特定情況。,在圖示 RC 電路中，若以電容電壓為響應(yīng)， 以輸入電壓為激勵(lì)，其網(wǎng)絡(luò)