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1、第五章 大數(shù)定律與中心極限定理,5.1 大數(shù)定律 5.2 中心極限定理,第一節(jié) 大數(shù)定律,一、問題的引入,二、基本定理,三、典型例題,四、小結(jié),第一章引入概率概念時(shí),曾經(jīng)指出,事件發(fā) 生的頻率在一、二次或少數(shù)次試驗(yàn)中具有隨機(jī)性 的,但隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大,頻率將會(huì)逐漸穩(wěn) 定且趨近于概率。特別,當(dāng)n很大時(shí),頻率與概 率會(huì)非?!敖咏钡?。這個(gè)非?!敖咏笔鞘裁匆馑?? 這與高等數(shù)學(xué)中的極限概念有否聯(lián)系?本章將從 理論上討論這一問題。,一、問題的引入,定理1 設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望EX= ,方差DX= 2,則對(duì)任意的正數(shù),不等式 (1) 成立。這個(gè)不等式稱為契貝雪夫(Cheby shev)不等式。,證
2、我們僅就連續(xù)型隨機(jī)變量情形加以證明。,設(shè)X的概率密度為 f(x),于是,式(1)表明當(dāng)DX很小時(shí),概率P|X-EX| 更小。 這就是說在上述條件下,隨機(jī)變量X落入EX的鄰域 之外的可能性很小,也即落入EX的鄰域內(nèi)可能性 很大。由此說明X的取值比較集中,也即離散程度較 小,這正是方差的意義所在。 契貝雪夫不等式在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中都有很重要的價(jià)值。,(1),例1 已知正常男性成人血液中,每一毫升血液中白細(xì)胞的平均數(shù)是7300,均方差是700。試估計(jì)每毫升血液中白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率。,解 設(shè)每一毫升血液中白細(xì)胞數(shù)為X ,則由上式有,契貝雪夫不等式也可以寫成如下等價(jià)形式,定理2 (
3、伯努利(Bernoulli)大數(shù)定律)設(shè) 是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率,則對(duì)任意正數(shù) 0,有,或,證 令,則X1,X2,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且,易知,于是,,由契貝雪夫不等式得,又由X1,X2,Xn的獨(dú)立性可知,從而有,上述伯努利大數(shù)定律從理論上給出了頻率“接近”概率這種“現(xiàn)象”的更加確切的含意,它反映了大數(shù)次重復(fù)試驗(yàn)下隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。,設(shè)Y1,Y2,Yn,是一個(gè)隨機(jī)變量序列,a是一個(gè)常數(shù),若對(duì)任意的正數(shù) ,有,則稱隨機(jī)變量序列Yn依概率收斂于a,記作,定理2 是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率
4、,則,定理3(契貝雪夫大數(shù)定律)設(shè)X1,X2,Xn,是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,又設(shè)它們的方差有界,即存在常數(shù)c0,使得,則對(duì)任意的 0,有,證明(略),或,伯努利大數(shù)定律是契貝雪夫大數(shù)定律的特例, 在它們的證明中, 都是以契貝雪夫不等式為基礎(chǔ)的, 所以要求隨機(jī)變量具有方差。但進(jìn)一步的研究表明,方差存在這個(gè)條件并不是必要的。即有下面的獨(dú)立同分布的辛欽大數(shù)定律。,定理4 (辛欽()大數(shù)定律)設(shè)X1,X2,Xn,是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,且數(shù)學(xué)期望存在:,則對(duì)任意的 0,有,證明(略),這就為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑。,伯努利大數(shù)定律說明了當(dāng)n很大時(shí),事件發(fā)生的頻率會(huì)非?!敖咏?/p>
5、概率,而這里的辛欽大數(shù)定律則表明,當(dāng)n很大時(shí),隨機(jī)變量X在n次觀察中的算術(shù)平均值 也會(huì)“接近”它的期望值,即,三、典型例題,解,獨(dú)立性依題意可知,檢驗(yàn)是否具有數(shù)學(xué)期望?,例2,說明每一個(gè)隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望,檢驗(yàn)是否具有有限方差?,說明離散型隨機(jī)變量有有限方差,故滿足契比雪夫定理的條件.,解,由辛欽定理知,例3,四、小結(jié),三個(gè)大數(shù)定理,契比雪夫定理的特殊情況,伯努利大數(shù)定理,辛欽定理,頻率的穩(wěn)定性是概率定義的客觀基礎(chǔ), 而伯努利大數(shù)定理以嚴(yán)密的數(shù)學(xué)形式論證了頻率的穩(wěn)定性.,第二節(jié) 中心極限定理,一、問題的引入,二、基本定理,三、小結(jié),一、問題的引入,在第二章介紹正態(tài)分布時(shí)曾經(jīng)特別強(qiáng)調(diào)了它在概率
6、論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的地位與作用,為什么會(huì)有許多隨機(jī)變量遵循正態(tài)分布??jī)H僅是經(jīng)驗(yàn)猜測(cè)還是確有理論根據(jù)?這當(dāng)然是一個(gè)需要弄清的問題。 實(shí)踐表明,客觀實(shí)際中有很多隨機(jī)變量,它們往往是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合作用所形成的。而其中每一個(gè)別因素在總的影響中所起的作用是微小的。 下面將要介紹的中心極限定理從理論上闡明了這樣的隨機(jī)變量總是近似地服從正態(tài)分布的。,定理5(獨(dú)立同分布的林德貝爾格-勒維(LindebergLevy)中心極限定理)設(shè)X1,X2,Xn,是相互獨(dú)立,且服從同一分布的隨機(jī)變量序列,并具有數(shù)學(xué)期望和方差:,則對(duì)任意的x有,證明(略),二、基本定理,兩點(diǎn)說明:,1無論隨機(jī)變量X1,X2,X
7、n,服從同一分布的情況如何,只要Xi滿足定理的條件,則隨機(jī)變量序列:,當(dāng)n無限增大時(shí),總以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為其極限分布。或者說,當(dāng)n充分大時(shí),Yn近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。根據(jù)這一點(diǎn),在實(shí)際應(yīng)用中,只要n充分大,我們便可把n個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的和當(dāng)作正態(tài)隨機(jī)變量。,2因?yàn)閷?duì),中每一被加項(xiàng),有,故有,即 Yn中每一被加項(xiàng)對(duì)總和的影響都很微小,但它們迭加的和卻以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布作為極限。,例1 設(shè)有100個(gè)電子器件,它們的使用壽命 X1,X2,X100均服從參數(shù)為=0.05(h-1)的指數(shù)分布,其使用情況為:第一個(gè)損壞第二個(gè)立即使用,第二個(gè)損壞第三個(gè)立即使用等等。令表示這100個(gè)電子器件使用的總時(shí)間,試求
8、X超過1800h小時(shí)的概率。,解 由于Xi 服從參數(shù)為 = 0.05的指數(shù)分布。因此,又由題設(shè)知 ,因此由定理5得:,作為定理5的推論有,定理6(德莫佛拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理)在n重貝努里試驗(yàn)中,事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p,Yn為n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù),則對(duì)任意的x,有,證 由5.1的定理2的證明可知,Yn可以看成是n個(gè)相互獨(dú)立,且服從同一(0-1)分布的隨機(jī)變量X1,X2,Xn之和,即,由定理5得:,定理表明,二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布。因此,當(dāng)n充分大時(shí),我們可以利用上式來計(jì)算二項(xiàng)分布的概率。,下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的逼近.,定理7(李雅
9、普諾夫Liapunov定理)設(shè)隨機(jī)變量 X1,X2,Xn ,相互獨(dú)立,且,若存在 0,使得,則對(duì)任意的x,有,證略。,對(duì)于相互獨(dú)立但不同分布的隨機(jī)變量和的分布的極限問題, 有李雅普諾夫中心極限定理。,不難看出,當(dāng)n很大時(shí),,近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),也即,近似服從正態(tài)分布:,一船舶在某海區(qū)航行, 已知每遭受一次海浪的沖擊, 縱搖角大于 3 的概率為1/3, 若船舶遭受了90 000次波浪沖擊, 問其中有29 50030 500次縱搖角大于 3 的概率是多少?,解,將船舶每遭受一次海浪的沖擊看作一次試驗(yàn),并假設(shè)各次試驗(yàn)是獨(dú)立的,在90 000次波浪沖擊中縱搖角大于 3 的次數(shù)為 X,則
10、X 是一個(gè)隨機(jī)變量,例2,所求概率為,分布律為,直接計(jì)算很麻煩,利用德莫佛拉普拉斯定理,某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有1萬人參加,每人每年交200元. 若老人在該年內(nèi)死亡,公司付給家屬1萬元. 設(shè)老年人死亡率為0.017,試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率.,解,設(shè) X 為一年中投保老人的死亡數(shù),由德莫佛拉普拉斯定理知,例3,保險(xiǎn)公司虧本的概率,證,例4,根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理,,例5 隨機(jī)變量X 表示對(duì)概率為p的事件A做n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)時(shí),A出現(xiàn)的次數(shù)。試分別用契貝雪夫不等式及中心極限定理估計(jì)滿足下式的n:,解:記,由于Y B(n,p),故EX=np,EY=p,,(1)根據(jù)契貝雪夫
11、不等式,有,(2)以Xi 表示每次試驗(yàn)時(shí)A出現(xiàn)的次數(shù),則Xi 服從參數(shù)為p的0-1分布,且EXi =p,DXi =p(1-p) ,而,是n個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和,故由中心極限定理知,因此有,例6 某藥廠斷言,該廠生產(chǎn)的某種藥品對(duì)于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為0.8。醫(yī)院檢驗(yàn)員任意抽查100個(gè)服用此藥品的人,如果其中多于75人治愈,就接受這一斷言,否則就拒絕這一斷言。 (1)若實(shí)際上此藥品對(duì)這種疾病的治愈率是0.8,問接受這一斷言的概率是多少? (2)若實(shí)際上此藥品對(duì)這種疾病的治愈率為0.7,問接受這一斷言的概率是多少?,解:(1)以X表示100人中治愈人數(shù),則X B(100,0.8),所求概率為,(2)依題X B(100,0.7),所求概率為,三、小結(jié),三個(gè)中心極限定理,獨(dú)立同分布的中心極限定理,李雅普諾夫定理,德莫佛拉普拉斯定理,中心極限定理表明, 在相當(dāng)一般的條件下, 當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)增加時(shí), 其和的分布趨于正態(tài)分布.,第五章 大數(shù)定律及中心極限定理習(xí) 題 課,二、主要內(nèi)容,三、典型例題,一、重點(diǎn)與難點(diǎn),一、重點(diǎn)與難點(diǎn),1.重點(diǎn),中心極限定理及其運(yùn)用.,2.難點(diǎn),證明隨機(jī)變量服從大數(shù)定律.,大數(shù)定律,二、主要內(nèi)容,中心極限定理,定 理 2,定理3,定
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