MATLABch07MATLAB符號計算與工具箱.ppt

1、,第7講 MATLAB符號計算,張建瓴,本章將介紹符號運算的概念、基本用法和MAPLE資源的調(diào)用，同時將詳細介紹MATLAB的符號函數(shù)計算器。,內(nèi)容提要,7.1 概述,除數(shù)值計算外，像公式推導(dǎo)，因式分解等這一類含有x、y、z、等符號變量的符號表達式的抽象運算，以及求解代數(shù)方程或微分方程的精確解等，在工程領(lǐng)域和科學(xué)研究中也占有很大比例。,MATLAB的符號數(shù)學(xué)工具箱包括基本符號數(shù)學(xué)工具箱和擴展符號數(shù)學(xué)工具箱兩個子工具箱。,其中基本符號數(shù)學(xué)工具箱是MATLAB語言的自然擴展，它集中了大約100多個MATLAB函數(shù),在擴展符號數(shù)學(xué)工具箱內(nèi)可以調(diào)用所有非圖形類的屬于MAPLE的工具包，并且運用MAPL

2、E的編程特征完成自設(shè)的運算。,符號數(shù)學(xué)工具箱一共有三個通道與MAPLE交換信息：,1、通過基本符號數(shù)學(xué)工具箱。即在用MATLAB語言編寫的多個函數(shù)中，通過若干個專用函數(shù)進行符號運算。用于符號運算的專用函數(shù)按照內(nèi)容可分為：,（1）函數(shù)體(Funcfion Body)符號表達式和符號矩陣的操作； （2）線性代數(shù)； （3）微積分； （4）符號方程的求解； （5）多項式的化簡、展開和代入； （6）特殊的數(shù)學(xué)函數(shù)。,2、通過maple.m、mpa.m兩個專門設(shè)計的M文件進行符號運算。這種符號運算的運算方式要求掌握一些MAPLE的基本語句。,3、通過MATLAB中的函數(shù)計算器(Function Cacul

3、ator)也可以進行較為簡單的符號運算，這是MATLAB最方便、最直觀的符號運算方法。,在數(shù)值計算參與輸入、輸出和中間計算的過程中，所有運作的變量都是被賦了值的數(shù)值變量；而在符號計算的過程中，參與運作的變量都是符號變量(Symbolic Variable)(包括符號表達式中出現(xiàn)的數(shù)字也當作符號處理)。使用字符串進行符號分析而不是基于數(shù)組的數(shù)值分析，是符號數(shù)學(xué)工具箱區(qū)別于其他工具箱的重要特征。,7.2 符號變量,在進行符號計算時，首先要定義基本的符號對象(可以是常數(shù)、變量以及表達式等)，然后利用這些基本符號對象去構(gòu)成新的表達式，從而進行所需的符號運算。在運算中，凡是由包含符號對象的表達式所生成的

4、新對象也都是符號對象。,可以使用sym和syms這兩個函數(shù)命令來創(chuàng)建和定義基本的符號對象。,sym函數(shù)的調(diào)用格式：,1、S=sym(arg),從表達式arg創(chuàng)建一個sym對象S，如果arg是一個字符串(string)，則S是符號變量或符號數(shù)；如arg是數(shù)值標量或矩陣，則S是這些給定數(shù)值的符號形式。以下是sym函數(shù)調(diào)用形式的具體實現(xiàn)方式：,一、用sym函數(shù)定義符號變量,（1）x=sym(x) 建立符號變量x，變量的值為單引號內(nèi)的字符或字符串，這里是和變量名相同的字符x；,（2）x=sym(x,real) 設(shè)定符號變量為實型變量(Real)，此時conj(x)和x相等；,1、S=sym(arg)（

5、續(xù)）,（3）x=sym(x, unreal) 使x為純粹的形式變量，沒有附加屬性。一般用來清除x的實型屬性；,（4）類似pi=sym(pi)和delta=sym(l/10) 建立符號數(shù)，這種方式避免了浮點數(shù)本身的近似，建立的符號數(shù)是數(shù)值的精確表示。這種方式建立的符號數(shù)pi可以臨時代替內(nèi)置的同名數(shù)值函數(shù)pi。,2、S=sym(A, flag),可以將數(shù)值或矩陣轉(zhuǎn)化為符號形式，其中flag選項有四項參數(shù)，即f，r，e和d，它們對應(yīng)于不同的符號形式，r為缺省項。各項的含義如下：,（1）選項f 代表十六進制浮點形式。格式為：1.F*2(e)or-1.F*2(e)，其中F是由13位十六進制數(shù)組成的字符串

6、，e是整數(shù)(但F前面的“1”是十進制數(shù))。例如： sym(1/10,f) ans= 1.999999999999a*2(-4) 因為1/10不能用浮點精確地表示。,2、S=sym(A, flag)（續(xù)1）,（2）選項r 代表有理數(shù)形式。像p/q、p*pi/q，sqrt(p)、2q和l0q之類的有理數(shù)形式，有效地補償了舍入誤差，但是也有可能表示的浮點值和原值不相等。如果找不到簡單的有理數(shù)形式近似，則可采用形式p*2q產(chǎn)生正確的浮點數(shù)，其中p是很大的整數(shù)。例如：,sym(4/3, r) ans= 4/3 而 sym(1+sqrt(5), r) ans= 7286977268806824*2(-51

7、),2、S=sym(A, flag)（續(xù)2）,（3）選項e 估計誤差。根據(jù)eps(浮點運算的相對精度)給出理論表達式和實際計算的誤差。例如： sym(3*pi/4, e) ans= 3*pi/4-103*eps/249,（4）選項d 表示十進制小數(shù)。其有效數(shù)字位數(shù)由digits函數(shù)定義，缺省的有效位數(shù)是32位。如果有效位數(shù)小于16位，則會損失一些精度。例如： digits(10), sym(4/3, d) ans= 1.333333333,digits(20), sym(4/3, d) ans= 1.3333333333333332593,在符號變量和變量值相同時，可以用sym的簡捷方式來建立

8、符號變量，即用函數(shù)sym來表達。該函數(shù)的用法及其與sym函數(shù)的關(guān)系如下：。,（1）syms argl arg2 等價于argl=sym(argl); arg2=sym(arg2); ,（2）syms argl arg2 real等價于argl=sym(argl,real); arg2=sym(arg2, real);,二、用syms函數(shù)定義符號變量,（3）syms argl arg2 positive等價于argl=sym(arg1, positive); arg2=sym(arg2, positive);,（4）syms argl arg2 unreal等價于argl=sym(argl, u

9、nreal); arg2=sym(arg2, unreal);,例7-1example7_1.m,創(chuàng)建一個字符型數(shù)據(jù)變量和一個符號型數(shù)據(jù)變量，并比較它們的不同。,f=sym(a) 創(chuàng)建一個符號變量f f= a f1=a 創(chuàng)建一個字符變量f1 f1= a size(f) 求符號變量f的大小 ans= 1 結(jié)果為一個ll的矩陣 size(f1) 求字符變量f1的大小 ans= 1 結(jié)果同樣為一個ll的矩陣,例7-1example7_1.m（續(xù)）,f=fl 對變量f和f1進行邏輯運算，看兩變量是否相等 ans= 1 返回結(jié)果為1，表示“真”，二者內(nèi)容是相等的 abs(f1) 求字符型變量f1的ASI

10、IC碼值 ans= 97 abs(f) 求符號型變量f的ASIIC碼值 ans= abs(a) 可見f和f1的ASCII碼值是不相同的，因此兩個變量是不同的,7.3 符號表達式和符號方程,一、符號表達式和符號方程的概念,符號表達式(Symbolic Expression)和符號方程(Symbolic Equation)是將表達式和方程賦給一個符號變量，通過引用該符號變量來引用相應(yīng)的表達式或方程。它們是兩個不同的符號對象。符號表達式是代表數(shù)字、函數(shù)、算子和變量的字符串和字符串數(shù)組，不要求變量有預(yù)先確定的值，而符號方程是含有等號的表達式。它們的區(qū)別在于表達式不含等號，而方程必須帶等號。如：,f=s

11、ym(a*x2+b*x2+c) %表達式 f=sym(a*x2+b*x2+c=0) %方程,f=sym(arg),采用sym命令來創(chuàng)建符號表達式和符號方程的調(diào)用格式為,1、采用sym命令,二、符號表達式和符號方程的建立,arg代表一個表達式或方程，注意，不要遺忘單引號。,（1）創(chuàng)建一個表達式 f=sym(a*x2+b*x+c) f= a*x2+b*x+c,（2）創(chuàng)建一個方程 f=sym(a*x2+b*x+c=0) f= a*x2+b*x+c=0,2、直接建立法,符號表達式和符號方程也可以直接采用與MATLAB中字符串變量的創(chuàng)建方法一樣來建立。如：,（1）建立一個表達式 f=a*x2+b*x+c

12、 f= a*x2+b*x+c,（2）創(chuàng)建一個方程 f=a*x2+b*x+c=0 f= a*x2+b*x+c=0,【注意】：,符號表達式和符號方程對空格很敏感。因此，在創(chuàng)建符號表達式或符號方程時，不要在字符間任意加空格符；在符號計算中出現(xiàn)的數(shù)字也是當作符號處理的；符號矩陣是數(shù)組，其元素是符號表達式。,7.4 符號矩陣,一、符號矩陣的建立,符號矩陣的創(chuàng)建有兩種方法，即由sym命令創(chuàng)建和由字符串直接輸入創(chuàng)建。,1、由sym命令建立符號矩陣,矩陣元素是不帶等號的符號表達式，各矩陣元素的長度可以不同，矩陣行之間用分號隔開，各元素間用逗號或空格隔開。例如：,A=sym(4+x x2 x;x3 5x-3 x

13、*a) A= 4+x, x2, x x3,5*x-3, x*a,或利用簡捷方式，命令如下： syms x a A=4+x x2 x;x3 5*x-3 x*a,2、由字符串直接輸入創(chuàng)建矩陣,此種輸入法與MATLAB字符串矩陣的輸入相似。它不需要調(diào)用sym函數(shù)，但要保證在同一列中各元素字符串有同樣的長度，在較短的字符串前后用空格符填充。,A=4+x x2 x ; x3 5*x-3 x*a A= 4+x x2 x x3 5x-3 x*a,【注意】：,此種方法在建立時要求符號矩陣每一行的兩端都有方括號，而MATLAB字符串矩陣僅在首尾有方括號。,數(shù)字矩陣轉(zhuǎn)換成符號矩陣是通過sym函數(shù)命令來實現(xiàn)的，起調(diào)

14、用格式是：,由于MATLAB的數(shù)值型和符號型是兩種不同的數(shù)據(jù)類型，因此在MATLAB中，這兩個數(shù)據(jù)類型的變量之間不能直接進行符號運算，必須在MATLAB的工作空間內(nèi)將數(shù)值型轉(zhuǎn)換為符號型后才能進行符號運算。不管數(shù)值矩陣的元素是以分數(shù)或是浮點數(shù)表示，轉(zhuǎn)換后的符號矩陣都將以最接近有理式的形式給出。,二、數(shù)字矩陣和符號矩陣的轉(zhuǎn)換,1、數(shù)字矩陣轉(zhuǎn)換為符號矩陣,sym(A),例7-3example7_3.m,數(shù)值矩陣轉(zhuǎn)化為符號矩陣,A=2/5 4/0.78 sqrt(23)/3; 0.33 0.3333 log(4) 輸入數(shù)值矩陣A A= 0.4000 5.1282 1.5986 0.3300 0.333

15、3 1.3863 FA=sym(A) 將數(shù)值矩陣A轉(zhuǎn)化為符號矩陣FA FA= 2/5 200/39 sqrt(23/9) 33/100 3333/10000 6243314768165359*2(-52),在數(shù)值計算中，可以用一個指令來實現(xiàn)對矩陣中的任何一個子矩陣進行引用和修改，但在符號計算中，引用(Quote)和修改(Modify)只能對符號矩陣中具體的元素一個一個地進行。,三、符號矩陣的引用和修改,例7-5example7_5.m,用函數(shù)sym和syms建立符號變量、表達式和矩陣。,（1）用命令建立符號變量x和beta，并設(shè)置附加屬性為實型變量，命令為：,x=sym(x, real); x

16、= x beta=sym(beta, real); %采用簡捷方式：syms x beta real beta= beta,例7-5example7_5.m（續(xù)1）,（2）建立復(fù)數(shù)變量z,z=x+beta*i; conj(x) %用下面的命令計算相應(yīng)變量的共軛復(fù)數(shù)： ans= x conj(z) ans= x-i*beta expand(z*conj(z) ans= x2+beta2,例7-5example7_5.m（續(xù)2）,（3）建立三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d的符號表達式，其命令為：,y=sym(a*x3+b*x2+c*x+d) y= a*x3+b*x2+c*x+d,這個命令將符號

17、表達式ax3+bx2+cx+d賦值給變量y，由于沒有建立對應(yīng)于表達式中d、b、c、d和x的變量，y中的內(nèi)容只是一個簡單的字符串。為了使y成為一個真正的符號表達式，可以執(zhí)行符號數(shù)學(xué)運算(微積分等)，必須顯式地建立這些變量。其命令如下：,a=sym(a), b=sym(b), c=sym(c), d=sym(d) x=sym(x) %用簡捷方式： syms a b c d x,例7-5example7_5.m（續(xù)3）,如果用上述兩個命令建立符號矩陣，命令為：,syms a b c d A=a a+c d+b;c d a+c;a+c+d c c+d*a A= a a+c d+b c d a+c a+

18、c+d c c+d*a,例7-5example7_5.m（續(xù)4）,syms eee ddd A(1,3)=eee; %用“eee”代替矩陣A中的A(1,3)位置的元素 A(3,2)=ddd; %用“ddd代替矩陣A中的A(3,2)位置上的元素 A,結(jié)果為： A= a a+c eee c d a+c a+c+d ddd c+d*a,7.5 符號數(shù)學(xué)函數(shù),一、一般數(shù)學(xué)函數(shù),MATLAB的符號數(shù)學(xué)工具箱具有創(chuàng)建數(shù)學(xué)函數(shù)的功能，既可以建立一般的數(shù)學(xué)函數(shù)，如y=ax2+bx+c，又可以建立抽象的數(shù)學(xué)函數(shù)，如y=f(x)等。,1、利用符號表達式,先定義符號變量，再建立符號表達式，例如：,MATLAB的符號

19、數(shù)學(xué)工具箱有兩種方式建立一般的數(shù)學(xué)函數(shù)，即利用符號表達式和利用建立M文件的方法。,syms x y z f=sin(x+y)/(x-y) g=sqrt(x2+y2+z2),2、建立M文件,M文件可以更方便地使用函數(shù)。MATLAB的許多內(nèi)置式和函數(shù)便是用M文件建立的。例如，要建立一個名為sinx的函數(shù)用于求sin(x)/x的值，只要建立一個求sin(x)/x值的M文件，然后放入設(shè)置的當前工作目錄中即可(本文以MATLAB的缺省設(shè)置d:matlabRl2work為當前工作路徑)。,function y=sinx(x) SINX the symbolic sinc function to compu

20、t sin(x)/x if isequal(x, sym(0) y=l; else y=sin(x)/x; end,syms varl var2 var3 varn f=sym(f(varl var2 var3 varn),在實際工程應(yīng)用和科學(xué)計算中，經(jīng)常用f(x)、g(x,y,z)或f、g之類的符號來代表個己知或未知的抽象函數(shù)進行運算，此類運算同樣可用MATLAB的sym命令完成。,二、抽象數(shù)學(xué)函數(shù)（隱函數(shù)）,用sym命令創(chuàng)建一個變量為varl、var2，var3、varn的f函數(shù)，格式為：,例7-7example7_7.m,建立一階差分函數(shù)f=f(dx+h)-f(x)/h,syms x h

21、 建立符號變量 f=sym(f(x) 建立抽象函數(shù)f f= f(x) df=(subs(f,x,x+h)-f)/f 建立一階差分公式 df= (f(x+h)-f(x)/h,（1）x=double(S),MATLAB中的數(shù)值型、字符型和符號型三種數(shù)據(jù)類型的等級不同，其中數(shù)值變量級別最低，字符變量級別居中，符號變量級別撮高。如果有這三種變量參與的混合運算，系統(tǒng)將會把所有參與運算的變量自動統(tǒng)一轉(zhuǎn)換為變量等級最高的類型，然后進行計算，也可以通過命令來完成對不同數(shù)據(jù)類型之間的轉(zhuǎn)換，大致可以分為三種情況：,三、數(shù)據(jù)類型之間的相互轉(zhuǎn)換,1、轉(zhuǎn)化為數(shù)值變量,S為符號變量時，將S轉(zhuǎn)化為數(shù)值變量x，若S中有非數(shù)字

22、的符號，則系統(tǒng)給出出錯提示；,S為字符變量時，將S轉(zhuǎn)化為數(shù)值矩陣，矩陣中的元素為S中相應(yīng)字符的ASCII碼值。,（2）x=str2num(S),專門用于將字符型變量轉(zhuǎn)換為數(shù)值變量。當S中含有非字符型變量時，該命令返回一個空矩陣。,（3）x=numeric(S),將S轉(zhuǎn)換為數(shù)值型，不管S是字符變量還是符號變量。但S不能是矩陣，否則給出錯誤信息。,2、轉(zhuǎn)化為符號變量,S=sym(f) %對變量f沒有任何限制，只要不是非法的表達式或字符矩陣即可。,3、轉(zhuǎn)化為字符變量,（1）S=int2str(x) 將整數(shù)x轉(zhuǎn)化為字符變量S，當x為昔通有理數(shù)時，將對x四舍五入之后進行轉(zhuǎn)化；當x為虛數(shù)時，sym(f)僅

23、對實部進行轉(zhuǎn)化。,（2）S=num2str(x) 將普通數(shù)值變量轉(zhuǎn)化為字符變量S。此命令對x的限制全部取消。,7.6 符號矩陣的運算,1、使用運算符號,一、四則運算,符號矩陣的四則運算可以使用數(shù)學(xué)運算符號+、-、*、.*、/、./、.即可代表通常的加、減、乘、點乘、左除、左點除、右除以及右點除四則運算。同時也可以通過單個運算符號的復(fù)合使用來完成較為復(fù)雜的符號矩陣運算。,例7-9example7_9.m,對兩個符號矩陣作基本四則運算,syms a b c d A=sym(a b;c d) 創(chuàng)建符號矩陣A A= a , b c , d,B=sym(a+b, a-b; c+d, c-d) 創(chuàng)建符號矩

24、陣B A+B ans= 2*a+b a 2*c+d c,例7-9example7_9.m（續(xù)1）,A-B ans= -b 2*b-a -d 2*d-c,A*B ans= a*(a+b)+b*(c+d) a*(a-b)+b*(c-d) c*(a+b)+d*(c+d) c*(a-b)+d*(c-d),A.B ans= a*(a+b) b*(a-b) c*(c+d) d*(c-d),A/B ans= 1/2*(-a*c+a*d+b*d+b*c)/(a*d-b*c) l/2*(-b2-2*a*b+a2)/(a*d-b*c) 1/2*(-c2+d2+2*c*d)/(a*d-b*c) 1/2*(-a*c+

25、a*d+b*d+b*c)/(a*d-b*c),例7-9example7_9.m（續(xù)2）,A./B ans= a/(a+b) b/(a-b) c/(c+d) d/(c-d),A.B ans= (a+b)/a (a-b)/b (c+d)/c (c-d)/d,A2 對矩陣A進行乘方運算 ans= a2+b*c a*b+b*d a*c+c*d b*c+d2,A.2 對符號矩陣A中的每個符號元素進行乘方運算 ans= a2 b2 c2 d2,A+B+A2 ans= 2*a+b+a2+b*c a+a*b+b*d 2*c+d+a*c+c*d c+b*c+d2,2、使用符號運算函數(shù),（1）兩個符號矩陣的和：s

26、ymadd(A,B) C=symadd(A,B),（2）兩個符號矩陣的差：symsub(A,B) C=symsub(A,B),（3）兩個符號矩陣的積：symmul(A,B) C=symmul(A,B),（4）兩個符號矩陣的除：symdiv(A,B) C=symdiv(A,B),（5）符號矩陣的求逆：inverse(A) C=inverse(A),【說明】,（1）符號對象的加法和減法需要滿足：兩個符號矩陣的大小相等方可進行加減運算；符號矩陣可以和符號標量進行加減運算，運算按照數(shù)組運算規(guī)則進行；,（2）兩個符號矩陣只有在內(nèi)積相等時才可以進行乘法運算；,（3）符號的乘方運算Sp，若S為符號表達式，p

27、可以為符號表達式或數(shù)值表達式；若S為符號矩陣，則p必須是整數(shù)。,和數(shù)值矩陣一樣，符號矩陣也可以進行矩陣的線性代數(shù)運算，例如，求一個符號矩陣行列式的值、求逆、求方陣的特征值和特征向量等。,二、線性代數(shù)運算,例7-10example7_10.m,對一個符號矩陣作線性代數(shù)運算,format short H=hilb(2) 采用短格式輸出方式，創(chuàng)建一個22的hilbert矩陣 H= 1.0000 0.5000 0.5000 0.3333,H=sym(H) 將數(shù)值矩陣H轉(zhuǎn)化為符號矩陣 H= 1 1/2 l/2 1/3,例7-9example7_9.m（續(xù)）,inv(H) 求符號矩陣H的逆矩陣 ans=

28、4 -6 -6 12 det(H) 求符號矩陣H的行列式值 ans= 1/12,7.7 可視化的符號函數(shù)分析界面,一、單變量函數(shù)分析界面,單變量函數(shù)分析界面用于考察兩個一元函數(shù)各自性質(zhì)及其相關(guān)關(guān)系。該函數(shù)計算器由funtool.m文件生成。在MATLAB命令窗口中鍵入下面命令即可：,圖形化的函數(shù)計算器是MATLAB符號數(shù)學(xué)sym(arg2,unreal);工具箱所提供的第三種符號計算方法，為符號函數(shù)可視化提供更為簡便易用的命令。本節(jié)著重介紹兩個進行數(shù)學(xué)分析的可視化界面：單變量函數(shù)分析界面和泰勒級數(shù)逼近分析界面。,funtool,泰勒級數(shù)逼近分析界面，用于觀察函數(shù)f(x)在給定區(qū)間位置上的被N階

29、泰勒多項式TN(x)逼近的情況。在MATLAB工作窗口中輸入命令：,二、泰勒級數(shù)逼近分析界面,taylortool,即可產(chǎn)生如圖7-2所示泰勒級數(shù)分析窗口。,7.9 使用MAPLE的符號資源,一、MAPLE與MATLAB的連接,MATLAB的符號數(shù)學(xué)工具箱(Symbolic Math Toolbox)就是以MAPLE的內(nèi)核為“引擎”，依靠MAPLE已有的庫函數(shù)(Library)開發(fā)的。由于MAPLE資源是以庫的形式而不是以M文件的形式提供給MATLAB，因此無法在MATLAB中直接使用。為了能夠在MATLAB的工作環(huán)境中進一步利用MAPLE的符號計算能力，MATLAB提供有專門的指令用于MAT

30、LAB和MAPLE的連接。,1、mfun,對MAPLE中的若干重要的特殊函數(shù)實施數(shù)值計算。對于MAPLE中的“完全橢圓積分”、“正弦積分”及“誤差函數(shù)”等一些重要的特殊函數(shù)，由于在許多的工程應(yīng)用中經(jīng)常需要計算此類函數(shù)的值，并且在符號求積和微分方程符號解中也常常要計算此類函數(shù)的值，MATLAB便將這些重要的特殊函數(shù)引入符號數(shù)學(xué)工具箱，用命令mfun實現(xiàn)。,mfun(function, part1, part2, part3, part4),該函數(shù)以數(shù)值方式計算MAPLE中特殊函數(shù)function的值，函數(shù)的參數(shù)由parl、par2、par3和par4指定，最多可以指定四個參數(shù)。,2、mfunli

31、st,采用MATLAB注釋語句列出能被mfun計算的一些重要MAPLE函數(shù)列表；,3、mhelp,查閱MAPLE庫函數(shù)的聯(lián)機幫助文件，以獲取MAPLE庫函數(shù)及其調(diào)用方法；,4、maple,進入MAPLE的工作空間，直接對訪問MAPLE的任意函數(shù)進行計算，并將結(jié)果返回至MATLAB工作空間。它有三種調(diào)用格式，分別為：,（1）R=maple(MapleStatement) 直接運行MAPLE格式的語句MapleStatement，輸出R為字符串類型；,（2）R=maple(fun,arg1,arg2,) 運行以argl等為輸入的MAPLE的fun函數(shù)；,（3）R,S=maple() 將MAPLE運行結(jié)果由輸出總量返回。,5、procread,把按照MAPLE格式寫的源程序讀入MAPLE工作空間。對于需要運行由多個MAPLE指令構(gòu)成的程序時，必須由proclead和maple相結(jié)合方可解決。先用maple格式寫好源程序，再用procread命令將此程序讀入MAPLE工作空間。,為了方便用戶查閱函數(shù)，MATLAB編制了一個純說明文件mfuni