高等數(shù)學第五周講義.ppt

1、3、掌握無窮小的概念及性質，理解無窮小階的概念并能比較兩個無窮小。,注意無窮小、無窮大、無界的關系,如判斷：函數(shù),是否無界，是否為無窮大量。,P33:B(1),4、掌握函數(shù)連續(xù)性的定義及判斷，會判斷間斷點的類型,函數(shù)常見的間斷點來源：函數(shù)無定義的點、分段函數(shù)的分界點。,討論函數(shù),的連續(xù)性，若有間斷點，判別其類型。,P543（4）,掌握初等函數(shù)的連續(xù)性、并會用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質（最值定理、介值定理)進行簡單的證明。,如：P62（B（2）、P64(7),第一章總復習題選講,如：當,又如：,時，,求a,b,P64(5),圓內接正 n 邊形面積為,例：求半徑為R的圓的面積,例9（連續(xù)復利問題）,連

2、續(xù)復利公式：,課后作業(yè),P48(A) 3 P54(A) 3(1,2) P59(A) 奇數(shù)題,第二章,導數(shù)與微分,第一節(jié),導數(shù)的概念,引例,1. 變速直線運動的瞬時速度,設描述質點位移與時間的函數(shù)為,則 到 的平均速度為,而在 時刻的瞬時速度為,2. 曲線在某點的切線,割線 M N 的斜率,上述屬同類數(shù)學問題。,瞬時速度,切線斜率,二、函數(shù)在一點處可導,定義 . 設函數(shù),在點,存在,并稱此極限為,記作:,則稱函數(shù),若,的某鄰域內有定義 ,若上述極限不存在 ,在點 不可導.,就說函數(shù),函數(shù)在x0處可導的增量形式,在 時刻的瞬時速度：位移關于時間的導數(shù)。,曲線在 M 點處的切線斜率：曲線在M處的導數(shù)

3、,引例問題的解：,導數(shù)就是一種特殊類型的極限。,例1：求函數(shù)y=x2+1在x=2處的導數(shù)。,解：,函數(shù)的增量：,若函數(shù)在開區(qū)間 I 內每點都可導,此時導數(shù)與自變量之間構成的函數(shù)稱為導函數(shù).,記作:,就稱函數(shù)在 I 內可導.,函數(shù)在區(qū)間上的導數(shù)（導函數(shù)）,求基本初等函數(shù)的導數(shù),例6. 求函數(shù),的導數(shù).,解:,則,即,類似可證得,在點,的某個右 鄰域內,四、 單側導數(shù),若極限,則稱此極限值為,在 處的右 導數(shù),記作,即,(左),(左),定義 . 設函數(shù),有定義,存在,定理. 函數(shù),在點,且,存在,簡寫為,可導的充分必要條件,是,例. 證明函數(shù),在 x = 0 不可導.,證:,不存在 ,五、 函數(shù)的

4、可導性與連續(xù)性的關系,定理.,證:,設,在點 x 處可導,存在 ,因此必有,其中,故,所以函數(shù),在點 x 連續(xù) .,注意: 函數(shù)在點 x 連續(xù)未必可導.,反例:,在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導.,即,定理3. 函數(shù),(左),(左),若函數(shù),與,都存在 ,則稱,顯然:,在閉區(qū)間 a , b 上可導,在開區(qū)間 內可導,在閉區(qū)間 上可導.,且,第二節(jié),函數(shù)的求導法則,第二章,一、四則運算求導法則,定理1.,的和、,差、,積、,商 (除分母,為 0的點外) 都在點 x 可導,且,此法則可推廣到任意有限項的情形.,證:,設, 則,故結論成立.,例如,(2),證: 設,故結論成立.,推論:,( C為

5、常數(shù) ),求下列函數(shù)的導數(shù)：,(3),證: 設,則有,故結論成立.,推論:,( C為常數(shù) ),例2. 求證,證:,類似可證:,二、反函數(shù)的求導法則,定理4.,y 的某鄰域內嚴格單調可導,證:,在 x 處給增量,由反函數(shù)的單調性知,且由反函數(shù)的連續(xù)性知,因此,證明的另外一種寫法：,例. 求反三角函數(shù)的導數(shù).,解: 1) 設,則,類似可求得, 則,在點 x 可導,三、復合函數(shù)求導法則,定理5.,在點,可導,復合函數(shù),且,在點 x 可導,證:,在點 u 可導,故,（當 時 ),故有,例：求下列函數(shù)的導數(shù)。,例如,關鍵: 搞清復合函數(shù)結構, 由外向內逐層求導.,推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.

6、,復合函數(shù)求導的鏈式法則,例. 設,求,例6. 設,基本初等函數(shù)的導數(shù) (P78),定義.,若函數(shù),的導數(shù),可導,或,即,或,類似地 , 二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù) ,階導數(shù)的導數(shù)稱為 n 階導數(shù) ,或,的二階導數(shù) ,記作,的導數(shù)為,依次類推 ,分別記作,則稱,五、高階導數(shù),求冪函數(shù),的各階導數(shù)。,求,例，設,例.,求,課后作業(yè),P73（A）（1） P83（A）（2、3）,第三節(jié),隱函數(shù)和參變量函數(shù)求導法則,第二章,一、隱函數(shù)的導數(shù),若由方程,可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由,表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù) .,例如,可確定顯函數(shù),可確定 y 是 x 的函數(shù) ,函數(shù)為隱函數(shù) .,則稱此,（1）隱函

7、數(shù)與顯函數(shù)的概念。,（2）隱函數(shù)求導方法：方程兩邊同時求導。,兩邊對 x 求導,(解含導數(shù) 的方程),例. 求由方程,的導數(shù)，并求在 x = 0處的導數(shù)值。,解: 方程兩邊對 x 求導,得,因 x = 0 時 y = 0 , 故,確定的隱函數(shù),求由方程,確定的函數(shù)y=y(x)、函數(shù)x=x(y)的導數(shù),例. 求,的導數(shù) .,解: 兩邊取對數(shù) ,兩邊對 x 求導,兩邊求導法在顯函數(shù)上的應用：取對數(shù)求導法。,用對數(shù)求導法求導 :,冪指函數(shù) 的導數(shù)的求法。,例如,兩邊取對數(shù),兩邊對 x 求導,二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù),參數(shù)方程：,可以確定一個 y 與 x 之間的函數(shù)關系,由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導

8、數(shù),若參數(shù)方程,可確定一個 y 與 x 之間的函數(shù),可導, 且,則,時, 有,時, 有,(此時看成 x 是 y 的函數(shù) ),關系,例8：設函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程：,所確定，求此函數(shù)的導數(shù)。,例7：設函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程：,所確定，求此函數(shù)的導數(shù)。,二階可導,且,則由它確定的函數(shù),可求二階導數(shù) .,若參數(shù)方程中,例9. 設由方程,確定函數(shù),求,課堂作業(yè),第四節(jié),微分,第二章,一、微分的概念,引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少?,變到,邊長由,其,主要部分,可忽略部分,故,的微分,定義: 若函數(shù),在點 的增量可表示為,( A 為不依賴于x 的常數(shù)),則稱函

9、數(shù),而 稱為,記作,即,在點,可微,微分就是函數(shù)增量的線性主要部分,例：若x=1，對于x=0.1,0.05時，對于y=x3，dy分別是多少？,定理 : 函數(shù),證: “必要性”,已知,在點 可微 ,則,故,在點 可導,且,在點 可微的充要條件是,在點 處可導,且,即,微分的求法,“充分性”,已知,即,在點 可導,則,求函數(shù)y=x在任意一點處的微分,從而,導數(shù)也叫作微商,微分的幾何意義,切線縱坐標的增量,例如,又如,二、 微分運算法則,設 u(x) , v(x) 均可微 , 則,(C 為常數(shù)),基本初等函數(shù)的微分公式 (見 P91),微分運算法則：復合函數(shù)的微分。,分別可微 ,的微分為,一階微分形

10、式的不變性,則復合函數(shù),例.,求,解:,課堂練習,例. 設,求,隱函數(shù)的微分：兩邊求微分,三、 微分的應用：近似計算,當,很小時,得近似等式:,的近似值 .,例5. 計算,近似計算使用原則:,特別當,常用近似公式:,很小),證明:,令,得,（x要接近0）,第二章 復習及習題課,1、導數(shù) （1）會判斷導數(shù)的存在與不存在； （2）會求導數(shù)（含掌握基本初等函數(shù)求導公式，掌握導數(shù)四則運算法則和復合函數(shù)求導法則，掌握隱函數(shù)求導法和取對數(shù)求導法。 掌握初等函數(shù)一階、二階導數(shù)的求法高階導數(shù)、隱函數(shù)的導數(shù)及參變量導數(shù)）,（3）理解導數(shù)幾何意義,（1）理解微分的概念，會求函數(shù)的微分。 （2）微分的簡單應用,會求微分,習 題 選 講,判斷下列函數(shù)在0點的連續(xù)性和可導性,當為何值時，下列函數(shù)在0處連續(xù)、在0處可導。,可導的偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù),證明：,可導的奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù),若函數(shù)在x=a處可導，求下列極限。,若下列極限存在，問函數(shù)在a處是否可導。,設,求,求下列函數(shù)的導數(shù),的n