扇形面積公式

1、扇形面積公式、圓柱、圓錐側(cè)面展開圖學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 掌握基本概念：正多邊形，正多邊形的中心角、半徑、邊心距以及平面鑲嵌等。 2. 扇形面積公式： n是圓心角度數(shù)，R是扇形半徑，l是扇形中弧長。 3. 圓柱是由矩形繞一邊旋轉(zhuǎn)360形成的幾何體，側(cè)面展開是矩形，長為底面圓周長，寬為圓柱的高 r底面半徑 h圓柱高 4. 圓錐側(cè)面積 圓錐是由直角三角形繞一直角邊旋轉(zhuǎn)360形成的幾何體。 側(cè)面展開是扇形，扇形半徑是圓錐的母線，弧長是底面圓周長。 5. 了解圓柱由兩平行圓面和一曲面圍成，明確圓柱的高和母線，它們相等。 6. 了解圓錐由一個(gè)曲面和一個(gè)底面圓圍成，明確圓錐的高和母線，知道可以通過解高、母線、底面

2、半徑所圍直角三角形，解決圓錐的有關(guān)問題。 7. 圓柱 圓柱的側(cè)面展開圖是兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面周長的矩形。圓柱的側(cè)面積等于底面周長乘以圓柱的高。如圖所示，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則：，。 8. 圓錐 圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面組成的。圓錐的底面是一個(gè)圓，側(cè)面是一個(gè)曲面，這個(gè)曲面在一個(gè)平面上展開后是一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的半徑是圓錐的母線，扇形的弧長是圓錐底面的周長。因此，圓錐的側(cè)面積是圓錐的母線與底面周長積的一半。如圖所示，若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則 。重點(diǎn)、難點(diǎn) 扇形面積公式及圓柱、圓錐側(cè)面積公式的理解和靈活應(yīng)用。【典型例題】 例1. 已知如圖1，矩形ABCD中，AB1c

3、m，BC2cm，以B為圓心，BC為半徑作圓弧交AD于F，交BA延長線于E，求扇形BCE被矩形所截剩余部分的面積。圖1 解：AB1，BC2，F(xiàn)點(diǎn)在以B為圓心， BC為半徑的圓上， BF2，在RtABF中，AFB30，ABF60 例2. 已知扇形的圓心角150，弧長為，則扇形的面積為_。 解：設(shè)扇形的面積為S，弧長為l，所在圓的半徑為R， 由弧長公式，得： 由扇形面積公式，故填。 點(diǎn)撥：本題主要考查弧長公式和扇形面積公式。 例3. 已知弓形的弦長等于半徑R，則此弓形的面積為_。（弓形的弧為劣?。?。 解：弓形弦長等于半徑R 弓形的弧所對(duì)的圓心角為60 扇形的面積為。 三角形的面積為。 弓形的面積為。

4、 即。故應(yīng)填。 點(diǎn)撥：注意弓形面積的計(jì)算方法，即弓形的面積等于扇形面積與三角形面積的和或差。本題若沒有括號(hào)里的條件，則有兩種情況。 例4. 若圓錐的母線與底面直徑都等于a，這個(gè)圓錐的側(cè)面積為_。 解：圓錐的底面直徑等于a。 底面半徑為， 底面圓的周長為。 又圓錐的母線長為a， 圓錐的側(cè)面積為。 故應(yīng)填 點(diǎn)撥：圓錐的側(cè)面積即展開圖的扇形面積，可利用扇形的面積公式求得。 例5. 如圖2所示，OA和OO1是O中互相垂直的半徑，B在上，弧的圓心是O1，半徑是OO1，O2與O、O1、OA都相切，OO16，求圖中陰影部分的面積。圖2 解：設(shè)O2與O、O1、OA分別切于點(diǎn)D、C、E，設(shè)O2的半徑為r，連結(jié)O

5、1O2，O2E，過點(diǎn)O2作O2FO1O于F，連結(jié)O1B、OB、OO2。 O1O6，l 又 ， ， ， ， （舍去） 又是等邊三角形 ， 扇形和扇形的面積相等且都等于。 所組成的圖形面積為扇形O1BO和扇形OO1B的面積之和減去三角形O1OB的面積，即： 又扇形OAO1的面積為： 陰影部分的面積為： 點(diǎn)撥：本題比較復(fù)雜，考查的知識(shí)面比較多，要正確作輔助線，找出解題的思路。 例6. 在半徑為2的圓內(nèi)，引兩條平行弦，它們所對(duì)的弧分別為120和60，求兩弦間所夾圖形的面積及周長。 解：分兩條弦在圓心的同側(cè)或兩側(cè)這兩種情況： 如圖3所示，由題意，圖3 則AOB120，COD60 又ABCD， ， AOC

6、BOD 又AOCBOD180 AOCBOD90 又 故所求面積為 又AOC90， ， 同理 又OCD是等邊三角形， CDOCOD2 又 所求的周長 如圖4所示，由第一種情況，得所求面積：圖4 所求周長 點(diǎn)撥：要注意本題的兩種情況，另外，弧長公式和扇形以及弓形的面積求法要求正確掌握，熟練運(yùn)用。 例7. 如圖5所示，已知正方形的邊長是4cm，求它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積。（答案保留）（1999年廣州）圖5 解：設(shè)正方形外接圓、內(nèi)切圓的半徑為R、r，面積為 。 。 常見錯(cuò)誤：此題最容易產(chǎn)生的問題是找不出正方形邊長的一半與兩圓的半徑之間的勾股關(guān)系。即不會(huì)運(yùn)用圓內(nèi)接正方形與圓外切正方形的性質(zhì)來解

7、題。這一點(diǎn)讀者應(yīng)認(rèn)真體會(huì)。 例8. 如圖6所示，已知ABC內(nèi)接于O，且ABBCCA6cm圖6 （1）求證：OBC30； （2）求OB的長（結(jié)果保留根號(hào)）； （3）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）。 解：（1）ABBCCA，A60 BOC120，又OBOC， OBC （2）過O作ODBC于D， OBOC，BC6cm， ， （3） 即陰影部分面積是。 常見錯(cuò)誤：此題常見的問題是不會(huì)運(yùn)用正三角形這一條件，從而無法證明OBC30；當(dāng)然，解直角三角形失誤，求扇形面積時(shí)公式記錯(cuò)產(chǎn)生的錯(cuò)誤，也是考試中的常見錯(cuò)誤，應(yīng)引起警惕。 例9. 一個(gè)圓錐的高是10cm，側(cè)面展開圖是半圓，求圓錐的側(cè)面積。 點(diǎn)悟：如圖7所

8、示，欲求圓錐的側(cè)面積，即求母線長l，底面半徑r。由圓錐的形成過程可知，圓錐的高、母線和底面半徑構(gòu)成直角三角形即RtSOA，且SO10，SAl，OAr，關(guān)鍵找出l與r的關(guān)系，又其側(cè)面展開圖是半圓，可得關(guān)系，即。圖7 解：設(shè)圓錐底面半徑為r，扇形弧長為C，母線長為l， 由題意得 在RtSOA中， 由、得：。 所求圓錐的側(cè)面積為 。 例10. 圓錐的軸截面是等腰PAB，且PAPB3，AB2，M是AB上一點(diǎn)，且PM2，那么在錐面上A、M兩點(diǎn)間的最短距離是多少？ 點(diǎn)悟：設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形PBB，A點(diǎn)落在A點(diǎn)，則所求A、M之間的最短距離就是側(cè)面展形圖中線段AM的長度。 解：如圖8所示，扇形的圓心角3

9、60圖8 APB60，在APM中，過A作ANPM于N， 則 ， 【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）一、填表 （1）已知：正n邊形邊長為a正n邊形中心角半徑邊心距周長面積n3n4n6 （2）已知：正n邊形半徑R正n邊形中心角半徑邊心距周長面積n3n4n6二、填空題： 1. 如果扇形半徑長3cm，圓心角120，則它的面積是_cm2。 2. 若圓錐母線長5cm，高3cm，則其側(cè)面展開圖的圓心角是_度。 3. 若圓錐底面半徑為3cm，母線長5cm，則它的側(cè)面展開圖面積是_cm2。 4. 有一圓柱狀玻璃杯，底面半徑3cm，高為8cm，今有一長12cm的吸管斜放入杯中，若不考慮吸管粗細(xì)，則吸管最少露出杯口

10、處的長度是_cm。 5. 用一個(gè)半徑為30cm，圓心角為120的扇形紙片做成一圓錐側(cè)面，那么圓錐底面半徑是_cm。 6. 如圖1，正方形ABCD邊長為2，分別以AB、BC為直徑在正方形內(nèi)作半圓，則圖中陰影部分面積為_平方單位。圖1 7. 如圖2，AB2cm，AOB90，AOBO，以O(shè)為圓心，OA為半徑作弧AB，以AB為直徑做半圓AmB，則半圓和弧AB所圍陰影部分面積是_cm2。圖2 8. 若圓錐側(cè)面積為，母線長5cm，則圓錐的高為_cm。 9. 圓柱表面積為，它的高為2cm，則底面半徑為_cm。 10. 矩形ABCD中，AC4cm，ACB30，以直線AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到圓柱表面積為_cm2。

11、三、解答題： 11. 已知扇形的半徑為，它的面積恰好等于一個(gè)半徑為的圓面積，那么這個(gè)扇形的圓心角為多少度？ 12. 如圖3，已知半圓O，以AD為直徑，AD2cm，B、C是半圓弧的三等分點(diǎn)，求圖中陰影部分面積。圖3 13. 已知如圖，割線PCD過圓心O，且PD3PC，PA、PB切O于點(diǎn)A、B，PAB60，PA，AB與PD相交于E，求弓形ACB的面積。扇形計(jì)算公式編輯本段扇形周長公式因?yàn)樯刃蝺蓷l半徑弧長若半徑為R，扇形所對(duì)的圓心角為n，那么扇形周長：C2RnR180編輯本段扇形面積公式在半徑為R的圓中，因?yàn)?60的圓心角所對(duì)的扇形的面積就是圓面積SR，所以圓心角為n的扇形面積：SnR360比如：半

12、徑為1cm的圓，那么所對(duì)圓心角為135的扇形的周長：C2RnR180211353.14118022.3554.355(cm)43.55(mm)扇形的面積：SnR3601353.1413601.1775(cm)=117.75(mm)扇形還有另一個(gè)面積公式S=1/2lR其中l(wèi)為弧長，R為半徑本來SnR360按弧度制.2=360度.因?yàn)閚的單位為度.所以l為角度為n時(shí)所對(duì)應(yīng)的弧長.即.l=nR所以. s=nRR/2=1/2lR.編輯本段扇形的弧長公式l=(n/180)*pi*r,l是弧長，n是扇形圓心角，pi是圓周率，r是扇形半徑【試題答案】一、填表： （1）正n邊形中心角半徑邊心距周長面積n31203an4904an660a6a （2）正n邊形中心角半徑邊心距周長面積n3120n490n660R6R二、填空題： 1. 2. 28