概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)JA(48,33-34).ppt

1、4.協(xié)方差及相關(guān)系數(shù),第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,協(xié)方差的定義 協(xié)方差的性質(zhì) 相關(guān)系數(shù)的定義 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),4 協(xié)方差,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,一、協(xié)方差,稱 COV( X, Y ) = E( X EX )( Y-EY ) = E XY EX EY 為隨機(jī)變量 X,Y 的協(xié)方差.,COV( X, X )=DX.,稱為隨機(jī)變量 X,Y 的相關(guān)系數(shù)。,是一個(gè)無(wú)量綱的量；,1）協(xié)方差的定義,2）相關(guān)系數(shù)的定義,4 協(xié)方差,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,證明：,E XY = EX EY,所以,COV( X,Y ) = 0.,由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì):,定理：若X，Y 獨(dú)立，則 X , Y 不相關(guān)。 (反之

2、，不然）,稱 X,Y 不相關(guān)，,此時(shí) COV( X，Y ) = 0 .,若X，Y 獨(dú)立，,注意：若 E( X EX )(Y - EY ),則X，Y一定相關(guān)，且 X，Y 一定不獨(dú)立。,即 EXY-EXEY,二、協(xié)方差的性質(zhì),第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,4 協(xié)方差,1) COV( X,Y )=COV( Y, X ),2) COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)；,3) COV(X+Y , Z)=COV(X , Z)+COV(Y, Z);,5) X，Y不相關(guān),COV( X, Y ) = E( X EX )( Y-EY ),三、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),證明：,令：,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,4 協(xié)方差,

3、求a，b 使 e 達(dá)到最小。,令：,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,4 協(xié)方差,得：,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,返回主目錄,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,返回主目錄,即,由上式得:,4 協(xié)方差,現(xiàn)在證明：,由上面知此時(shí),第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,4 協(xié)方差,從而,所以,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,4 協(xié)方差,反之，若存在 使，,這時(shí),故,則,故,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,4 協(xié)方差,說(shuō) 明,X與Y之間沒有線性關(guān)系并不表示它們之間沒有關(guān)系。,X 與 Y 不相關(guān)，但不一定相互獨(dú)立。,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,4 協(xié)方差,返回主目錄,例1,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,4 協(xié)方差,返回主目錄,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,4 協(xié)方差,返回主目錄,由上述知：,則：,例2,設(shè)(X，Y)服從二維正態(tài)分布，求：,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,4 協(xié)方差,令：,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,4 協(xié)方差,返回主目錄,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,返回主目錄,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,返回主目錄,故,4 協(xié)方差,例3,證明：,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,4 協(xié)方差,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,4 協(xié)方差,2）,則根據(jù)切比雪夫不等式有,3）,思考題：,1),第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,4 協(xié)方差,小結(jié)：,1）協(xié)方差的定義和性質(zhì)； 2）相