線性系統(tǒng)的運動分析.ppt

1、1,第二章 線性系統(tǒng)的運動分析,建立起系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述之后，可以利用這些描述來分析系統(tǒng)的運動行為，其分析方法主要包括定量分析和定性分析兩種。 在定量分析中，主要分析系統(tǒng)對給定輸入的精確響應及其性質，其數(shù)學上的體現(xiàn)為狀態(tài)方程解析形式的解。 在定性分析中，則著重對決定系統(tǒng)行為和綜合系統(tǒng)結構具有重要意義的幾個關鍵性質，如可控性、可觀測性和穩(wěn)定性等，進行定性研究。 本章以線性系統(tǒng)為對象，討論系統(tǒng)的定量分析問題，指出系統(tǒng)的運動規(guī)律，闡明系統(tǒng)的運動性質，介紹系統(tǒng)的分析方法。,2,2.1 引言,2.2 線性定常系統(tǒng)的運動分析（）,2.3 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣（）,2.4 線性時變系統(tǒng)的運動分析（補充

2、）,第二章 線性系統(tǒng)的運動分析,3,2.1 引 言,一運動分析的數(shù)學實質,線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：,運動分析的目的：從系統(tǒng)數(shù)學模型出發(fā)，定量地和精確地定出系統(tǒng)運動的變化規(guī)律，以便為系統(tǒng)的實際運動過程做出估計。,或,數(shù)學實質：相對于給定的初始狀態(tài)x0和外輸入作用u，求解出狀態(tài)方程的解x(t)，即由初始狀態(tài)和外輸入作用所引起的狀態(tài)響應。,4,二零輸入響應和零狀態(tài)響應,線性系統(tǒng)滿足疊加原理，利用該屬性可把系統(tǒng)在初始狀態(tài)和輸入向量作用下的運動分解為兩個單獨的分運動，即由初始狀態(tài)引起的自由運動和由輸入作用引起的強迫運動。,1. 零輸入響應,零輸入響應：指系統(tǒng)輸入u為零時，由初始狀態(tài)x0單獨作用所引起的運動

3、。即狀態(tài)方程 的解，用 表示。,5,零狀態(tài)響應：指系統(tǒng)初始狀態(tài)x0為零時，由系統(tǒng)輸入u單獨作用所引起的運動。即狀態(tài)方程 的解，用 表示。,2. 零狀態(tài)響應,系統(tǒng)總的運動響應 是零輸入響應和零狀態(tài)響應的疊加，即,6,2.2 線性定常系統(tǒng)的運動分析,一零輸入響應,輸入u = 0時，線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程：,稱為齊次狀態(tài)方程。求線性定常系統(tǒng)的零輸入響應，其實就是求該齊次狀態(tài)方程的解。,1. 矩陣指數(shù)函數(shù),定義nn的矩陣函數(shù) 為矩陣指數(shù)函數(shù) 。,7,2. 零輸入響應,由狀態(tài)方程 描述的線性定常系統(tǒng)的零輸入響應的表達式為,當 時（即 ），線性定常系統(tǒng)的零輸入響應為：,8,證：設齊次狀態(tài)方程 的解為：,其

4、必滿足狀態(tài)方程，可得出,由比較上列等式 tk 兩邊的系數(shù)向量，可定出待定向量為：,解的表達式進而表為：,令上式中t=0，則x(0)=b0，已知初始條件x(0)=x0，故b0 =x0,9,3 矩陣指數(shù)函數(shù)性質,(1),(2),(3) 令t和為兩個自變量，則必成立,(4),10,設有nn常陣A和F,如果A和F是可交換的， 則必成立,(6),(7) 對給定方陣A，必成立,11,方法一：冪級數(shù)求和法,直接利用矩陣指數(shù)函數(shù)的定義式計算，即,其中：N可根據(jù)實際系統(tǒng)精度要求確定。,4 矩陣指數(shù)函數(shù)的計算方法（）,說明：該方法只能得到eAt的數(shù)值結果，一般不能寫成閉合形式。實際計算時，可取前有限項給出近似結果

5、。,12,(1)當A為對角線矩陣，即 時,13,(2)當A具有如下形式,則A是零冪矩陣，即自乘若干次后化成零矩陣。,應用矩陣指數(shù)函數(shù)定義，可得,14,推廣可得,(3) 當A具有如下形式,由矩陣指數(shù)函數(shù)定義，有,15,例2-1（例9-6）： 求下列系統(tǒng)狀態(tài)方程的解,解：,由于： ， 所以：,得狀態(tài)轉移矩陣：,狀態(tài)方程的解為：,16,方法二：特征值特征向量法,利用對角形變換求解 當A的n個特征值 兩兩互異時， 確定矩陣P,化A為對角線標準形,則有：,17,方法三：拉氏反變換法（）,對給定的nn常陣A，,（）,證明：,狀態(tài)方程,取拉氏變換有：,（sI-A）是系統(tǒng)特征矩陣，它是非奇異的，故有,進行拉氏

6、反變換有：,由系統(tǒng)狀態(tài)方程的解(零輸入響應)可知：,18,例2-2（）（例9-7）：求下列狀態(tài)方程的解,解：系統(tǒng)的特征矩陣為:,19,因為：,故：,狀態(tài)方程的解為：,20,二零狀態(tài)響應,由狀態(tài)方程 所描述的線性定常系統(tǒng)的零狀態(tài)響應的表達式為,當 時（即 ），線性定常系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為：,21,證：,對上式從0至t進行積分,，上式兩邊左乘eAt,22,三線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)運動規(guī)律,初始狀態(tài)x0和外輸入作用u共同作用下的狀態(tài)方程,或,的解，可由零輸入響應和零狀態(tài)響應疊加而得出，即線性定常系統(tǒng)在初始狀態(tài)和外輸入同時作用下的狀態(tài)運動的表達式為：,或,23,2.3 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣,一線性定常

7、系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣,1狀態(tài)轉移矩陣的定義,對于給定的線性定常系統(tǒng),其中x為n維狀態(tài)向量，稱滿足如下矩陣方程,的nn解陣 為系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣。,24,2. 基本解陣的定義,由方程 的任意n個線性無關解所構成的nn矩陣函數(shù) ，稱為方程 的一個基本解陣。,基本解陣 具有如下性質：,其中：H為非奇異實常值矩陣。,線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣和系統(tǒng)的基本解陣間的一個基本關系式：,25,矩陣指數(shù)函數(shù)eAt有如下性質： ，對任意t0，eAt為非奇異實值常陣，因此， eAt是 的基本解陣，即有：,將其代入 ，則有線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣為：,當t0 = 0時，可將其表為,即對于線性定常系統(tǒng)來說，它的狀態(tài)轉移

8、矩陣就是矩陣指數(shù)函數(shù)eAt。,26,3用狀態(tài)轉移矩陣表示的系統(tǒng)運動規(guī)律表達式,或,變量替換,該形式更便于計算,27,二線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣的性質（）,1,證明：由狀態(tài)轉移矩陣的基本關系式知：,28,2,證明：,由于,因此： ，,所以有：,29,3,證明：由于 分別表示由狀態(tài) 轉移至狀態(tài) 的狀態(tài)轉移矩陣。而,故：,30,4,證明： 據(jù)性質3）,（該性質可推廣為 ）,根據(jù) 的這一性質，對于線性定常系統(tǒng)有,根據(jù)移矩陣的定義可得：,這說明狀態(tài)轉移具有可逆性，x(t)可由x0轉移而來，x(0)也可由x(t)轉移而來。,31,5,證明：,圖2-1 狀態(tài)轉移矩陣性質5）,6,證明：,32,7 由A唯一

9、地確定，當利用 計算時， 與所選擇的 無關。,證明：設 和 是 的兩個不同的基本解陣，且兩者之間成立,其中：P為非奇異實值常陣，則,這表明 是滿足唯一性的。,33,例2-3（）（例9-8）：已知狀態(tài)轉移矩陣為,試求：,解：1）,2）根據(jù)狀態(tài)轉移矩陣的運算性質有：,所以：,34,三線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程解x(t)的計算（） (即求線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)響應),已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：,求該狀態(tài)方程的解x(t)，其實就是求系統(tǒng)的狀態(tài)響應。主要方法有如下兩種：,積分法,拉氏變換法,35,1積分法：,在求出系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣 的基礎上，直接利用公式計算：,變量替換,該形式更便于計算,36,2拉氏變換法：,對系統(tǒng) 的兩邊進行拉式變換，有,對上式進行拉式反變換有：,37,四 系統(tǒng)的輸出響應,線性定常系統(tǒng)在初始狀態(tài)和外輸入同時作用下的狀態(tài)響應為：,則此時，系統(tǒng)的輸出響應為：,38,例2-4（）：已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述和初始條件如下：,求系統(tǒng)在單位階躍輸入u(t) = 1(t)作用下的狀態(tài)響應和輸出響應。,解：,39,1）積分法：,40,由于