補(bǔ)充：拉氏變換.ppt

1、,s為復(fù)頻率,拉氏變換是一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時(shí)間函數(shù)f(t)與復(fù)變函數(shù)F(s)聯(lián)系起來(lái)，把時(shí)域問題通過(guò)數(shù)學(xué)變換為復(fù)頻域問題，把時(shí)間域的高階微分方程變換為復(fù)頻域的代數(shù)方程以便求解。,拉普拉斯變換,對(duì)應(yīng),時(shí)域函數(shù)f(t)(原函數(shù)),復(fù)頻域函數(shù)F(s)(象函數(shù)),對(duì)應(yīng),時(shí)域函數(shù)f(t)(原函數(shù)),復(fù)頻域函數(shù)F(s)(象函數(shù)),對(duì)應(yīng),時(shí)域函數(shù)f(t)(原函數(shù)),復(fù)頻域函數(shù)F(s)(象函數(shù)),形如 的數(shù)，叫做復(fù)數(shù),1.復(fù)數(shù)與復(fù)平面,2 復(fù)平面 一個(gè)復(fù)數(shù) 本質(zhì)上由一對(duì)有序?qū)崝?shù) 唯一確定。可對(duì)應(yīng)于平面上的點(diǎn) ，這樣表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面或 平面。其中 軸稱為實(shí)軸， 軸稱為虛軸。,復(fù)數(shù)的表示,代數(shù)形

2、式： 三角形式： 指數(shù)形式：,2. 拉氏變換的定義,正變換,反變換,t 0 , f(t)=0,今后討論的拉氏變換均為 0 拉氏變換,計(jì)及t=0時(shí)f(t)包含的沖擊。,注,在t0 至t0 f(t)=(t)時(shí)此項(xiàng) 0,1,指數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 單位脈沖函數(shù) 單位階躍函數(shù) 單位速度函數(shù) 單位加速度函數(shù) 冪函數(shù),3.信號(hào)典型函數(shù) 拉氏變換的計(jì)算,階躍信號(hào)（Step Function）,階躍信號(hào)含寬頻帶諧波分量，產(chǎn)生容易，是最常用系統(tǒng) 性能測(cè)試信號(hào)。,時(shí)間,r（t）,R,-單位階躍 函 數(shù),斜坡信號(hào)（Ramp Function）,斜坡信號(hào)為勻速信號(hào)，適于測(cè)試勻速系統(tǒng)。,時(shí)間 t,r（t）,R t,t g（

3、）=R,-單位階躍函數(shù),拋物線信號(hào)（Parabolic Function）,u（t）-單位階躍函數(shù) 拋物線信號(hào)為勻加速信號(hào)，適于測(cè)試勻加速系統(tǒng)。,時(shí)間 t,r（t）,0.5 R t 2,脈沖信號(hào)（Pulse Function）, (t) -單位脈沖函數(shù) t = 0 理想情況: r（t）= ( t ) = 0 t 0 A / h 0 h 可用于測(cè)試系統(tǒng)抗沖擊能力,定義1.,d -函數(shù)的圖示:,4.典型函數(shù)的拉氏變換,(1)單位階躍函數(shù)的象函數(shù),(3)指數(shù)函數(shù)的象函數(shù),(2)單位沖激函數(shù)的象函數(shù),5 拉普拉斯變換的基本性質(zhì),1）.線性性質(zhì),例1,解,根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)，求函數(shù)與常數(shù)相乘及幾個(gè)函

4、數(shù)相加減的象函數(shù)時(shí)，可以先求各函數(shù)的象函數(shù)再進(jìn)行計(jì)算。,注：歐拉公式,2）. 微分性質(zhì),例1,解,推廣：,例2,解,3）.積分性質(zhì),應(yīng)用微分性質(zhì),例,解,4）.延遲性質(zhì),注,5).頻移性,解:,例:求拉氏變換,時(shí)移性,頻移性,例1,求矩形脈沖的象函數(shù),解,根據(jù)延遲性質(zhì),6).初值定理和終值定理,初值定理：,f(t)在t = 0處無(wú)沖激則,終值定理：,令S上式兩邊取極限,證：,即：,證：利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì),6 拉普拉斯反變換的部分分式展開,用拉氏變換求解線性電路的時(shí)域響應(yīng)時(shí)，需要把求得的響應(yīng)的拉氏變換式反變換為時(shí)間函數(shù)。 由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：,(1)利用公式,(2)對(duì)簡(jiǎn)單形式的F(S)可以查拉氏變

5、換表得原函數(shù),(3)把F(S)分解為簡(jiǎn)單項(xiàng)的組合,部分分式展開法,利用部分分式可將F(s)分解為：,象函數(shù)的一般形式：,待定常數(shù),1,待定常數(shù)的確定：,方法1,方法2,求極限的方法,例,解法1,解法2,一對(duì)共軛復(fù)根為一分解單元設(shè)：,原函數(shù)的一般形式：,2,K1,K2也是一對(duì)共軛復(fù)根,例,解,方法二：配方法，根據(jù),3,例,解,小結(jié),1. n =m 時(shí)將F(s)化成真分式和多項(xiàng)式之和,由F(s)求f(t) 的步驟：,2. 求真分式分母的根，確定分解單元,3. 將真分式展開成部分分式，求各部分分式的系數(shù),4. 對(duì)每個(gè)部分分式和多項(xiàng)式逐項(xiàng)求拉氏反變換 。,例,解,將微分方程通過(guò)拉氏變換變?yōu)?s 的代數(shù)方程；,解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表達(dá)式；,應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時(shí)域解。,7.拉氏變換求解線性微分方程,應(yīng)用拉氏變換法求解微分方程時(shí)，由于初始條件已自動(dòng)地包含在微分方程的拉氏變換式中，因此，不需要根據(jù)初始條件求積分常數(shù)的值就可得到微分方程的全解。,如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏變換可以簡(jiǎn)單 地用sn代替dn/dtn得到。,拉氏變換的性質(zhì),是常數(shù)）,求函數(shù)的拉氏變換,1,2,3,4,求函數(shù)的拉氏變換,