第2章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述.ppt

1、Ch.2 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型,本章簡(jiǎn)介(1/2),本 章 簡(jiǎn) 介 本章討論動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。 主要介紹狀態(tài)空間分析中 狀態(tài)空間模型的建立、 狀態(tài)空間模型的線性變換、 MIMO的傳遞函數(shù)陣、 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型,以及 離散時(shí)間動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 本章最后介紹基于Matlab的控制模型的建立與變換問(wèn)題的程序設(shè)計(jì)與計(jì)算。,本章簡(jiǎn)介(2/2),本章將力圖讓讀者建立起狀態(tài)、狀態(tài)空間與狀態(tài)空間變換的概念,掌握狀態(tài)空間模型的建立方法,打下?tīng)顟B(tài)空間分析的基礎(chǔ)。,目錄(1/1),目 錄 概述 2.1 狀態(tài)和狀態(tài)空間模型 2.2 根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型 2.3 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立

2、狀態(tài)空間模型 2.4 狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范型 2.5 傳遞函數(shù)陣 2.6 線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2.7 Matlab問(wèn)題 本章小結(jié),概述(1/12),概 述 控制理論主要是研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的系統(tǒng)分析、優(yōu)化和綜合等問(wèn)題。 所謂動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(又稱為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)),抽象來(lái)說(shuō)是指能儲(chǔ)存輸入信息(或能量)的系統(tǒng)。例如, 含有電感和電容等儲(chǔ)存電能量的元件的電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng), 含有彈簧和質(zhì)量體等通過(guò)位移運(yùn)動(dòng)來(lái)儲(chǔ)存機(jī)械能量的剛體力學(xué)系統(tǒng), 存在熱量和物料信息平衡關(guān)系的化工熱力學(xué)系統(tǒng)等。,概述(2/12),這類系統(tǒng)與靜態(tài)系統(tǒng)(靜力學(xué)系統(tǒng))的區(qū)別在于: 靜態(tài)系統(tǒng)的輸出取決于當(dāng)前系統(tǒng)的瞬時(shí)輸入,而動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸出取

3、決于系統(tǒng)當(dāng)前及過(guò)去的輸入信息的影響的疊加。 如,電阻的電流直接等于當(dāng)前的電壓輸入與電阻值之比,而電容兩端的電壓則是通過(guò)電容的當(dāng)前及過(guò)去的電流的積分值與電容值之比。,概述(3/12),在進(jìn)行動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的分析和綜合時(shí),首先應(yīng)建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,它是我們進(jìn)行系統(tǒng)分析、預(yù)報(bào)、優(yōu)化及控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。 在系統(tǒng)和控制科學(xué)領(lǐng)域內(nèi),數(shù)學(xué)模型是指能描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式,它包含 數(shù)值型的和邏輯型的, 線性的和非線性的, 時(shí)變的和定常的, 連續(xù)時(shí)間型的和離散時(shí)間型的, 集中參數(shù)的和分布參數(shù)的等等。 這種描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式亦稱為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。,概述(4/12),建立數(shù)學(xué)模型的主要方法有:

4、機(jī)理分析建模。 按照系統(tǒng)的實(shí)際結(jié)構(gòu),工作原理,并通過(guò)某些決定系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的物理定律、化學(xué)反應(yīng)定律、社會(huì)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展規(guī)律,以及 各種物料和能量的平衡關(guān)系等來(lái)建立系統(tǒng)模型。 實(shí)驗(yàn)建模(系統(tǒng)辨識(shí))。 通過(guò)對(duì)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)或?qū)嶋H運(yùn)行過(guò)程中取得能反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為的信息與數(shù)據(jù),用數(shù)學(xué)歸納處理的方法來(lái)建立系統(tǒng)模型。,概述(5/12),值得指出的是,不同建模目的,采用不同數(shù)學(xué)工具和描述方式,以及對(duì)模型精度的不同要求,都會(huì)導(dǎo)致不同的數(shù)學(xué)模型。 因此,一個(gè)實(shí)際的系統(tǒng)也可以用不同的數(shù)學(xué)模型去描述。 例如,嚴(yán)格說(shuō)來(lái),大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型都具有非線性特性,而且系統(tǒng)是以分布參數(shù)的形式存在。 若在建立數(shù)學(xué)模型中考慮這些復(fù)

5、雜因素,必然將使所建立的模型中含有復(fù)雜的非線性微分方程或偏微分方程,這樣就給模型在系統(tǒng)分析、控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)上帶來(lái)相當(dāng)大的困難性。 在給定的容許誤差范圍內(nèi),如果將這些復(fù)雜因素用線性特性、集中參數(shù)的形式去近似描述系統(tǒng),將大大簡(jiǎn)化系統(tǒng)模型的復(fù)雜程度,從而使所建立的模型能有效地運(yùn)用到系統(tǒng)分析和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)等方面。,概述(6/12),當(dāng)然過(guò)多考慮系統(tǒng)的各種復(fù)雜因素的簡(jiǎn)化和近似,也必然影響數(shù)學(xué)模型的精度,以及模型在分析、綜合和控制中的應(yīng)用效果。 因此,一個(gè)合理的數(shù)學(xué)模型應(yīng)是對(duì)其準(zhǔn)確性和簡(jiǎn)化程度作折中考慮,它是在忽略次要因素,在現(xiàn)實(shí)條件和可能下,在一定精度范圍內(nèi)的,盡可能抓住主要因素,并最終落腳于實(shí)際

6、應(yīng)用的目標(biāo)、條件(工具)與環(huán)境的結(jié)果。 模型并不是越精確越好、越復(fù)雜越好。,概述(7/12),傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的主要數(shù)學(xué)模型,它適用于SISO線性定常系統(tǒng),能便利地處理這一類系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)分析或頻率法的分析和設(shè)計(jì)。 但是,對(duì)于MIMO系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng),這種數(shù)學(xué)模型就無(wú)能為力。 傳遞函數(shù)僅能反映系統(tǒng)輸入與輸出之間傳遞的線性動(dòng)態(tài)特性,不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的動(dòng)態(tài)變化特性。 因而是一種對(duì)系統(tǒng)的外部動(dòng)態(tài)特性的描述,這就使得它在實(shí)際應(yīng)用中受到很大的限制。,概述(8/12),現(xiàn)代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。 在用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)時(shí),系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是用

7、由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來(lái)描述的。 它能反映系統(tǒng)的全部獨(dú)立變量的變化,從而能同時(shí)確定系統(tǒng)的全部?jī)?nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài),而且還可以方便地處理初始條件。 因而,狀態(tài)空間模型反映了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的全部信息,是對(duì)系統(tǒng)行為的一種完全描述。,概述(9/12),狀態(tài)空間分析法不僅適用于SISO線性定常系統(tǒng),也適用于非線性系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)、MIMO系統(tǒng)以及隨機(jī)系統(tǒng)等。 因而,狀態(tài)空間分析法適用范圍廣,對(duì)各種不同的系統(tǒng),其數(shù)學(xué)表達(dá)形式簡(jiǎn)單而且統(tǒng)一。 更突出的優(yōu)點(diǎn)是,它能夠方便地利用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算和求解,甚至直接用計(jì)算機(jī)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制,從而顯示了它的極大優(yōu)越性。,概述(10/12),本章主要介紹 機(jī)理建模、 各種數(shù)學(xué)模

8、型間的變換和 狀態(tài)空間(即狀態(tài)空間模型)變換。,概述(11/12),本章需解決的問(wèn)題與難點(diǎn): 基本概念: 狀態(tài)、狀態(tài)空間 狀態(tài)空間模型-狀態(tài)空間模型及其意義 如何建立狀態(tài)空間模型 由機(jī)理出發(fā) 由微分方程出發(fā) 由傳遞函數(shù)出發(fā) 由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖出發(fā) 狀態(tài)空間變換 特征值、特征向量與特征空間 狀態(tài)空間變換,本章重點(diǎn)與難點(diǎn),本章重點(diǎn),本章重點(diǎn),概述(12/12),傳遞函數(shù)陣 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 離散時(shí)間動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,狀態(tài)和狀態(tài)空間模型(1/2),2.1 狀態(tài)和狀態(tài)空間模型 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是建立在狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上的,因此,對(duì)這些基本概念進(jìn)行嚴(yán)格的定義和相應(yīng)的討論,必須準(zhǔn)確掌握和深

9、入理解。 狀態(tài) 狀態(tài)變量 狀態(tài)空間 狀態(tài)空間模型,狀態(tài)和狀態(tài)空間模型(2/2),本節(jié)主要內(nèi)容為: 狀態(tài)空間的基本概念 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖,狀態(tài)空間的基本概念(1/1),2.1.1 狀態(tài)空間的基本概念 下面將給出動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)空間的概念,主要講授內(nèi)容為： 系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量 系統(tǒng)的狀態(tài)空間,系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量(1/5),1. 系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量 動(dòng)態(tài)(亦稱動(dòng)力學(xué))系統(tǒng)的“狀態(tài)”這個(gè)詞的字面意思就是指系統(tǒng)過(guò)去、現(xiàn)在將來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀況。 正確理解“狀態(tài)”的定義與涵義,對(duì)掌握狀態(tài)空間分析方法十分重要。 “狀態(tài)”的定義如下。 定義2-1 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài),是指能夠完全

10、描述系統(tǒng)時(shí)間域動(dòng)態(tài)行為的一個(gè)最小變量組。 該變量組的每個(gè)變量稱為狀態(tài)變量。 該最小變量組中狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)稱為系統(tǒng)的階數(shù)。,系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量(2/5),“狀態(tài)”定義的三要素 完全描述。即給定描述狀態(tài)的變量組在初始時(shí)刻(t=t0)的值和初始時(shí)刻后(tt0)的輸入,則系統(tǒng)在任何瞬時(shí)(tt0)的行為,即系統(tǒng)的狀態(tài),就可完全且唯一的確定。 動(dòng)態(tài)時(shí)域行為。 最小變量組。即描述系統(tǒng)狀態(tài)的變量組的各分量是相互獨(dú)立的。 減少變量,描述不全。 增加則一定存在線性相關(guān)的變量,冗余的變量,毫無(wú)必要。,要掌握喔!,系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量(3/5),若要完全描述n階系統(tǒng),則其最小變量組必須由n個(gè)變量(即狀態(tài)變量)所組成

11、,一般記這n個(gè)狀態(tài)變量為x1(t),x2(t), ,xn(t). 若以這n個(gè)狀態(tài)變量為分量,構(gòu)成一個(gè)n維變量向量,則稱這個(gè)向量為狀態(tài)變量向量,簡(jiǎn)稱為狀態(tài)向量,并可表示如下:,圖2-1 多輸入多輸出系統(tǒng)示意圖,系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量(4/5),狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性行為的變量。 它可以是能直接測(cè)量或觀測(cè)的量,也可以是不能直接測(cè)量或觀測(cè)的量； 可以是物理的,甚至可以是非物理的,沒(méi)有實(shí)際物理量與之直接相對(duì)應(yīng)的抽象的數(shù)學(xué)變量。,狀態(tài)空間,系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量(5/5),狀態(tài)變量與輸出變量的關(guān)系 狀態(tài)變量是能夠完全描述系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性行為的變量。 而輸出變量是僅僅描述在系統(tǒng)分析和綜合(濾波、優(yōu)化與

12、控制等)時(shí)所關(guān)心的系統(tǒng)外在表現(xiàn)的動(dòng)態(tài)特性,并非系統(tǒng)的全部動(dòng)態(tài)特性。 因此,狀態(tài)變量比輸出變量更能全面反映系統(tǒng)的內(nèi)在變化規(guī)律。 可以說(shuō)輸出變量?jī)H僅是狀態(tài)變量的外部表現(xiàn),是狀態(tài)變量的輸出空間的投影,一個(gè)子集。,輸出 空間,空間映射,x,y,系統(tǒng)的狀態(tài)空間(1/1),2. 系統(tǒng)的狀態(tài)空間 若以n個(gè)狀態(tài)變量x1(t),x2(t),xn(t)為坐標(biāo)軸,就可構(gòu)成一個(gè)n維歐氏空間,并稱為n維狀態(tài)空間,記為Rn. 狀態(tài)向量的端點(diǎn)在狀態(tài)空間中的位置,代表系統(tǒng)在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。,隨著時(shí)間的推移,狀態(tài)不斷地變化,tt0各瞬時(shí)的狀態(tài)在狀態(tài)空間構(gòu)成一條軌跡,它稱為狀態(tài)軌線。 狀態(tài)軌線如圖2-2所示。,圖2-2 二維

13、空間的狀態(tài)軌線,系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(1/11),2.1.2 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 狀態(tài)空間模型是應(yīng)用狀態(tài)空間分析法對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)所建立的一種數(shù)學(xué)模型,它是應(yīng)用現(xiàn)代控制理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基礎(chǔ)。 狀態(tài)空間模型由 描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性行為的狀態(tài)方程和 描述系統(tǒng)輸出變量與狀態(tài)變量間的變換關(guān)系的輸出方程 所組成。 下面以一個(gè)由電容、電感等儲(chǔ)能元件組成的二階RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為例,說(shuō)明狀態(tài)空間模型的建立和形式,然后再進(jìn)行一般的討論。,系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(2/11),例 某電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的模型如圖2-3所示。 試建立以電壓ui為系統(tǒng)輸入,電容器兩端的電壓uC為輸出的狀態(tài)空間模型。,解 1. 根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部機(jī)理列出

14、各物理量所滿足的關(guān)系式。 對(duì)本例,針對(duì)RLC網(wǎng)絡(luò)的回路電壓和節(jié)點(diǎn)電流關(guān)系,列出各電壓和電流所滿足的方程,圖2-3 例2-3的RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(3/11),2. 選擇狀態(tài)變量。 狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)應(yīng)為獨(dú)立一階儲(chǔ)能元件(如電感和電容)的個(gè)數(shù)。 對(duì)本例 x1(t)=iL, x2(t)=uC 3. 將狀態(tài)變量代入各物理量所滿足的方程,整理得一規(guī)范形式的一階矩陣微分方程組-狀態(tài)方程。 每個(gè)狀態(tài)變量對(duì)應(yīng)一個(gè)一階微分方程,導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為1,非導(dǎo)數(shù)項(xiàng)列寫(xiě)在方程的右邊。,系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(4/11),對(duì)本例,經(jīng)整理可得如下?tīng)顟B(tài)方程,寫(xiě)成向量與矩陣形式為：,4. 列寫(xiě)描述輸出變量與狀態(tài)變量之間關(guān)

15、系的輸出方程。 對(duì)本例,系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(5/11),其中,5. 將上述狀態(tài)方程和輸出方程列寫(xiě)在一起,即為描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的狀態(tài)空間模型,系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(6/11),由上述例子,可總結(jié)出狀態(tài)空間模型的形式為,其中x為n維的狀態(tài)向量; u為r維的輸入向量; y為m維的輸出向量; A為nn維的系統(tǒng)矩陣; B為nr維的輸入矩陣; C為mn維的輸出矩陣; D為mr維的直聯(lián)矩陣(前饋矩陣,直接轉(zhuǎn)移矩陣)。,描述線性系統(tǒng)的主要狀態(tài)空間模型,切記!,系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(7/11),對(duì)前面引入的狀態(tài)空間模型的意義,有如下討論: 狀態(tài)方程描述的是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性, 其決定系統(tǒng)狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)變化。 輸出方

16、程描述的是輸出與系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量的關(guān)系。 系統(tǒng)矩陣A表示系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)變量之間的關(guān)聯(lián)情況, 它主要決定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。 輸入矩陣B又稱為控制矩陣, 它表示輸入對(duì)狀態(tài)變量變化的影響。 輸出矩陣C反映狀態(tài)變量與輸出間的作用關(guān)系。 直聯(lián)矩陣D則表示了輸入對(duì)輸出的直接影響,許多系統(tǒng)不存在這種直聯(lián)關(guān)系,即直聯(lián)矩陣D=0。,系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(8/11),上述線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可推廣至 非線性系統(tǒng)、 時(shí)變系統(tǒng)。 1. 非線性時(shí)變系統(tǒng),其中f(x,u,t)和g(x,u,t)分別為如下n維和m維關(guān)于狀態(tài)向量x、輸入向量u和時(shí)間t的非線性向量函數(shù) f(x,u,t)=f1(x,u,t) f2(x,u

17、,t) fn(x,u,t) g(x,u,t)=g1(x,u,t) g2(x,u,t) gm(x,u,t),系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(9/11),2. 非線性系統(tǒng),其中f(x,u)和g(x,u)分別為n維和m維狀態(tài)x和輸入u的非線性向量函數(shù)。 這些非線性函數(shù)中不顯含時(shí)間t,即系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不隨時(shí)間變化而變化。 3. 線性時(shí)變系統(tǒng),其中各矩陣為時(shí)間t的函數(shù),隨時(shí)間變化而變化。,系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(10/11),4. 線性定常系統(tǒng),為簡(jiǎn)便,常將線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型簡(jiǎn)記為 (A(t),B(t),C(t),D(t). 類似地,線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型亦可簡(jiǎn)記為 (A,B,C,D). 幾種簡(jiǎn)記符的意義

18、:,系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(11/11),線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖(1/5),2.1.3 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以用結(jié)構(gòu)圖的方式表達(dá)出來(lái),以形象說(shuō)明系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)之間的信息傳遞關(guān)系。 在采用模擬或數(shù)字計(jì)算機(jī)仿真時(shí),它是一個(gè)強(qiáng)有力的工具。 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖主要有三種基本元件: 積分器, 加法器, 比例器, 其表示符如圖2-4所示。,線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖(2/5),圖2-4 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中的三種基本元件,線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖(3/5),例 線性時(shí)變系統(tǒng),的結(jié)構(gòu)圖如圖2-5所示。,圖2-5 多輸入多輸出線性時(shí)變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖(

19、4/5),若需要用結(jié)構(gòu)圖表示出各狀態(tài)變量、各輸入變量和各輸出變量間的信息傳遞關(guān)系,則必須根據(jù)實(shí)際的狀態(tài)空間模型,畫(huà)出各變量間的結(jié)構(gòu)圖。 圖2-6表示的是狀態(tài)空間模型如下所示的雙輸入-雙輸出線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。,線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖(5/5),圖2-6 雙輸入雙輸出線性定常系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型(1/5),2.2 根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型 建立被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行系統(tǒng)分析和綜合的第一步,是控制理論和工程的基礎(chǔ). 上一節(jié)討論了由電容和電感兩類儲(chǔ)能元件以及電阻所構(gòu)成的電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立，其依據(jù)為各電氣元件的物理機(jī)理及電網(wǎng)絡(luò)分析方法. 這種根據(jù)系統(tǒng)的物理

20、機(jī)理建立對(duì)象的數(shù)學(xué)模型的方法稱為機(jī)理建模. 機(jī)理建模主要根據(jù)系統(tǒng)的物料和能量(電壓、電流、力和熱量等)在儲(chǔ)存和傳遞中的動(dòng)態(tài)平衡關(guān)系,以及各環(huán)節(jié)、元件的各物理量之間的關(guān)系,如電感的電壓和電流滿足的動(dòng)態(tài)關(guān)系.,根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型(2/5),在實(shí)際工程系統(tǒng)中,許多過(guò)程和元件都具有儲(chǔ)存和傳遞能量 (或信息)的能力。例如, 機(jī)械動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的彈簧和運(yùn)動(dòng)中的質(zhì)量體都儲(chǔ)存有能量并能通過(guò)某種形式傳遞; 化工熱力學(xué)系統(tǒng)中的物質(zhì)中的熱量的儲(chǔ)存與傳遞; 化工反應(yīng)系統(tǒng)中的反應(yīng)物質(zhì)的物料傳遞和平衡的信息. 對(duì)這些系統(tǒng),根據(jù)其物理和化學(xué)變化的機(jī)理,由相應(yīng)描述這些變化的物理和化學(xué)的定理、定律和規(guī)律等,可得系統(tǒng)各物

21、理量之間所滿足的動(dòng)靜態(tài)關(guān)系式.因此,在選擇適宜的狀態(tài)變量后,可建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型.,根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型(3/5),建立動(dòng)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的主要機(jī)理/依據(jù)有: 電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中回路和節(jié)點(diǎn)的電壓和電流平衡關(guān)系,電感和電容等儲(chǔ)能元件的電壓和電流之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系. 機(jī)械動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的牛頓第二定律,彈性體和阻尼體的力與位移、速度間的關(guān)系. 對(duì)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),則相應(yīng)的為轉(zhuǎn)矩、角位移和角速度. 化工熱力學(xué)系統(tǒng)中的熱量的傳遞與儲(chǔ)存,化工反應(yīng)工程系統(tǒng)中參加反應(yīng)的物料的傳遞和平衡關(guān)系. 經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的投入產(chǎn)出方程。,根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型(4/5),建立狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵在于狀態(tài)變量的選取，它是建立狀態(tài)空間模

22、型的前提 狀態(tài)變量的主要選取辦法 系統(tǒng)儲(chǔ)能元件的輸出 系統(tǒng)輸出及其輸出變量的各階導(dǎo)數(shù) 上述狀態(tài)變量的數(shù)學(xué)投影（使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標(biāo)準(zhǔn)形式的變量）,根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型(5/5),下面通過(guò)常見(jiàn)的 剛體力學(xué)系統(tǒng)、 流體力學(xué)系統(tǒng)、 典型化工(熱工)過(guò)程 機(jī)電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng) 討論如何建立狀態(tài)空間模型.,剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(1/4),1. 剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 圖2-7表示由彈簧、質(zhì)量體、阻尼器組成的剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的物理模型. 試建立以外力u(t)為系統(tǒng)輸入,質(zhì)量體位移y(t)為輸出的狀態(tài)空間模型.,剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(2/4),解 對(duì)許多實(shí)際系統(tǒng),由于對(duì)系統(tǒng)的各種物理量的初始值或絕對(duì)值難于了

23、解,一般將對(duì)物理量?jī)H考慮在其相對(duì)于初始狀況之后的相對(duì)值。 對(duì)本例的剛體力學(xué)系統(tǒng),一般先假設(shè)在外力u(t)作用于小車之前,小車已處于平衡態(tài)。 下面僅考慮外力加入后,對(duì)小車運(yùn)動(dòng)的影響. 系統(tǒng)的受力情況如下圖所示.,2. 選擇狀態(tài)變量. 對(duì)機(jī)械動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),常常將位移、速度等選作狀態(tài)變量. 對(duì)本例,有,剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(3/4),1. 應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部機(jī)理列出各物理量(如本例的力、位置和速度)所滿足的關(guān)系式. 由牛頓第二定律有,剛體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(4/4),4. 建立輸出方程 y=x1 5. 經(jīng)整理,可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型,3. 將狀態(tài)變量代入運(yùn)動(dòng)方程,流體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(1/5),2. 流體力學(xué)系統(tǒng)的

24、狀態(tài)空間描述 圖2-8為串聯(lián)的兩個(gè)水槽,其截面積分別為A1和A2,當(dāng)閥門的開(kāi)度不變,在平衡工作點(diǎn)附近閥門阻力系數(shù)分別可視為常量R1和R2. 圖中Qi,Q1和Qo為流量; h1和h2為水槽的水面高度. 試求輸入為Qi,輸出為h2時(shí)的狀態(tài)空間模型.,流體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(2/5),下面在討論本例的解之前,先簡(jiǎn)單總結(jié)一下如下流量與壓力(壓強(qiáng))的關(guān)系.,解 對(duì)本例的流體力學(xué)系統(tǒng),假設(shè)對(duì)兩個(gè)水槽的流入和流出的水流體已處于平衡. 下面僅考慮流量Qi的變化量Qi引起的水槽水位的變化.,壓力,流量,電路,電壓,電流,流體,壓力(液位差),液體流量,氣體,氣壓差(壓強(qiáng)),氣流量(風(fēng)量),壓力/流量,電阻,閥門阻力系數(shù)

25、,風(fēng)阻力系數(shù),流體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(3/5),1. 機(jī)理分析. 根據(jù)水槽中所盛的水量的平衡關(guān)系和流量與壓力(水面高度,液位差)的關(guān)系,有,其中代表平衡工作點(diǎn)附近的變化量. 將上述方程的中間變量Q1和Qo消去,則有,流體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(4/5),2. 選擇狀態(tài)變量. 由于只有兩個(gè)獨(dú)立的微分方程,故可選擇兩個(gè)狀態(tài)變量. 對(duì)本例的流體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),可選水面高度的變化量h1和h2為狀態(tài)變量,即 x1(t)=h1(t), x2(t)=h2(t) 3. 將狀態(tài)變量代入上述水面高度變化量的動(dòng)態(tài)方程,則有如下?tīng)顟B(tài)方程,流體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(5/5),4. 建立輸出方程 y=x2 5. 經(jīng)整理,可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型,典

26、型化工(熱工)過(guò)程 (1/5),3. 典型化工(熱工)過(guò)程的狀態(tài)空間描述 圖2-9為一化學(xué)反應(yīng)器,它是一均勻、連續(xù)流動(dòng)單元,其中發(fā)生如下二級(jí)吸熱反應(yīng),圖2-9 某化工(熱工)過(guò)程,2AB 該化工反應(yīng)生產(chǎn)過(guò)程為: 溫度為f(常量),含A物質(zhì)濃度為CAf(常量)的料液以Q(t)的流量進(jìn)入反應(yīng)器; 為保證單元內(nèi)的液體體積不變,假定流出的流量亦為Q(t);,典型化工(熱工)過(guò)程 (2/5),為了使化學(xué)反應(yīng)向右進(jìn)行,用蒸汽對(duì)反應(yīng)器內(nèi)的溶液進(jìn)行加熱,蒸汽加熱量為q(t)。 試以料液的流量Q(t)和蒸汽加熱量q(t)為輸入,容器內(nèi)的液體的溫度(t)和濃度CA(t)為輸出,建立狀態(tài)空間模型。,典型化工(熱工)

27、過(guò)程 (3/5),解 1. 機(jī)理分析. 在化學(xué)反應(yīng)中,一般應(yīng)保持熱量和物料的平衡關(guān)系。 因此,對(duì)整個(gè)反應(yīng)器作熱量和物料平衡,就有,其中V,CP分別為容器體積、比重和比熱;k為反應(yīng)速率常數(shù); H為反應(yīng)熱。,典型化工(熱工)過(guò)程 (4/5),2. 選擇狀態(tài)變量. 顯然,選擇容器內(nèi)的液體的溫度(t)和濃度CA(t)為狀態(tài)變量是合理的。因此,令 x1(t)=(t) x2(t)=CA(t) 3. 將狀態(tài)變量代入上述微分方程,則有如下?tīng)顟B(tài)方程,典型化工(熱工)過(guò)程 (5/5),上述狀態(tài)空間模型表示的是一個(gè)雙輸入雙輸出的非線性定常系統(tǒng)。,和輸出方程,機(jī)電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(1/5),4. 機(jī)電系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

28、圖2-10表示某電樞控制的直流電動(dòng)機(jī),其中Ra和La為電樞回路總電阻和總電感,J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,負(fù)載為摩擦系數(shù)為f的阻尼摩擦. 試列寫(xiě)以電樞電壓u(t)為輸入,軸的角位移(t)為輸出的狀態(tài)空間模型.,機(jī)電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(2/5),解 1. 設(shè)電動(dòng)機(jī)勵(lì)磁電流不變,鐵心工作在非飽和區(qū). 按照?qǐng)D2-10所描述的電動(dòng)機(jī)系統(tǒng),可以寫(xiě)出如下主回路電壓方程和軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程,其中Ea和M分別為如下電樞電勢(shì)和轉(zhuǎn)矩 Ea=Ced/dt, M=CMia 其中Ce和Cm分別為電樞電勢(shì)常數(shù)和轉(zhuǎn)矩常數(shù)(含恒定的磁通量) .,機(jī)電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(3/5),因此,上述主回路電壓方程和軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程可記為,2. 選擇狀態(tài)變量. 對(duì)于

29、本例,若已知電樞電流ia(t),角位移(t)和其導(dǎo)數(shù)d/dt在初始時(shí)刻t0的值,以及電樞電壓u,則上述微分方程組有唯一解. 因此,可以選擇狀態(tài)變量如下,機(jī)電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(4/5),3. 將狀態(tài)變量代入上述微分方程,則有如下?tīng)顟B(tài)方程,4. 建立輸出方程 y=x2,機(jī)電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)(5/5),5. 經(jīng)整理,可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型,根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型-小結(jié)(1/3),本節(jié)小結(jié) 由上述4個(gè)例子,可總結(jié)出由系統(tǒng)的物理機(jī)理建立狀態(tài)空間模型的基本步驟為: Step 1. 根據(jù)系統(tǒng)內(nèi)部機(jī)理得到各物理量所滿足的微分方程. 如: 回路電壓和節(jié)點(diǎn)電流方程, 牛頓第二定律, 熱量和物料平衡關(guān)系, 經(jīng)

30、濟(jì)學(xué)中的投入產(chǎn)出方程等,還記得自動(dòng)控制原理課中怎么寫(xiě)模型,根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型-小結(jié)(2/3),Step 2. 選擇狀態(tài)變量. 一般狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)應(yīng)為獨(dú)立的一階儲(chǔ)能元件數(shù),并將儲(chǔ)能元件上的物理變量及各階導(dǎo)數(shù)選為狀態(tài)變量,如 電網(wǎng)絡(luò)中電容電壓和電感電流, 剛體力學(xué)系統(tǒng)中慣性體的位移和速度(或角位移和角速度), 流體力學(xué)系統(tǒng)中流量和液面高度(容量、體積), 化工系統(tǒng)中熱量(或溫度)和流量(或濃度) 等物理變量作為狀態(tài)變量,是較方便的.,寫(xiě)狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵喔,根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型-小結(jié)(3/3),Step 3. 將選擇好的狀態(tài)變量代換Step 1得到的各微分方程組,整理得一階微分方

31、程組. Step 4. 根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸出變量得關(guān)系,建立輸出方程. Step 5. 整理規(guī)范的狀態(tài)空間模型. 基于上述機(jī)理建模方法對(duì)系統(tǒng)機(jī)理、結(jié)構(gòu)和參數(shù)未知的系統(tǒng)可建立狀態(tài)空間模型， 但對(duì)于系統(tǒng)機(jī)理、結(jié)構(gòu)和參數(shù)未知的系統(tǒng),其狀態(tài)空間模型的建立,通常只能通過(guò)辨識(shí)的途徑,即用實(shí)驗(yàn)建模的方法,通過(guò)對(duì)系統(tǒng)所作試驗(yàn)而得到的輸入輸出數(shù)據(jù),用統(tǒng)計(jì)的方法確定其數(shù)學(xué)模型。,根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型(1/2),2.3 根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型 本節(jié)討論由描述線性定常系統(tǒng)輸入輸出間動(dòng)態(tài)特性的高階常微分方程與傳遞函數(shù),通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量分別建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 這樣的問(wèn)題稱為

32、系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。 這種變換過(guò)程的原則是,不管狀態(tài)變量如何選擇,應(yīng)保持系統(tǒng)輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變。,根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型(2/2),本節(jié)的內(nèi)容為： 由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型 多輸入多輸出線性系統(tǒng) 非線性系統(tǒng),由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型(1/1),2.3.1 由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型 本節(jié)主要討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的常微分方程建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型,分別討論 由不含輸入量導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和 由含輸入量導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的 微分方程建立狀態(tài)空間模型。 本節(jié)關(guān)鍵問(wèn)題: 如何選擇狀態(tài)變量 保持系統(tǒng)的輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變,關(guān)鍵喔!,微分方

33、程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(1/9),1. 微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為,不包含有輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)的線性定系數(shù)常微分方程為 y(n)+a1y(n-1)+any=bu 其中y和u分別為系統(tǒng)的輸出和輸入;n為系統(tǒng)的階次。 這里所要研究的是建立上述常微分方程描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的如下?tīng)顟B(tài)空間數(shù)學(xué)模型-狀態(tài)空間模型,本節(jié)問(wèn)題的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量。,微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(2/9),由微分方程理論知,若初始時(shí)刻t0的初值y(t0),y(t0),y(n-1)(t0)已知,則對(duì)給定的輸入u(t),微分方程(2-6)有唯一解,也即系統(tǒng)在tt0的任何瞬時(shí)的動(dòng)態(tài)

34、都被唯一確定。 因此,選擇狀態(tài)變量為如下相變量 x1(t)=y(t), x2(t)=y(t), , xn(t)=y(n-1)(t) 可完全刻劃系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。 取輸出y和y的各階導(dǎo)數(shù)(也稱相變量)為狀態(tài)變量,物理意義明確,易于接受。,微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(3/9),將上述選擇的狀態(tài)變量代入輸入輸出的常微分方程,有如下?tīng)顟B(tài)方程,和輸出方程 y=x1,微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(4/9),將上述狀態(tài)方程和輸出方程寫(xiě)成矩陣形式有,微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(5/9),該狀態(tài)空間模型可簡(jiǎn)記為:,其中,微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(6/9),上述式子清楚說(shuō)明了狀態(tài)空間模型中系統(tǒng)矩陣A

35、與微分方程(2-6)中的系數(shù)a1, a2, an之間,輸入矩陣B與方程(2-6)中系數(shù)b之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 通常將上述取輸出y和y的各階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量稱為相變量。 上述狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣具有特別形式,該矩陣的最后一行與其矩陣特征多項(xiàng)式的系數(shù)有對(duì)應(yīng)關(guān)系,前n-1行為1個(gè)n-1維的零向量與(n-1)(n-1)的單位矩陣。 該類矩陣稱為友矩陣。友矩陣在線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析方法中是一類重要的矩陣,這在后面的章節(jié)中可以看到。,微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(7/9),上述實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示,微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(8/9)-例2-1,例2-1 將以下系統(tǒng)輸入輸出方程

36、變換為狀態(tài)空間模型 y”+6y”+11y+6y=6u 解 本例中 a1=6 a2=11 a3=6 b=6 因此,當(dāng)選擇輸出y及其1階與2階導(dǎo)數(shù)等相變量為狀態(tài)變量時(shí),由式(2-11)和(2-12)可得狀態(tài)空間模型如下,微分方程中不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(9/9)-例2-1,其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示,微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(1/11),2. 微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng) 描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為的微分方程的一般表達(dá)式為 y(n)+a1y(n-1)+any=b0u(n)+bnu 本小節(jié)所要研究的是建立上述常微分方程描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的如下?tīng)顟B(tài)空間數(shù)學(xué)模型-狀態(tài)空間模型,建立該狀態(tài)空間模

37、型的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量?,微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(2/11),若按照前面的方法那樣選取相變量為狀態(tài)變量,即 x1(t)=y(t), x2(t)=y(t), , xn(t)=y(n-1)(t) 則可得如下?tīng)顟B(tài)方程,根據(jù)微分方程解的存在性和唯一性條件,要求輸入u(t)為分段連續(xù),而上述狀態(tài)方程中輸入u的各階導(dǎo)數(shù)可能不連續(xù),從而使微分方程解的存在性和唯一性的條件不成立。 因此,狀態(tài)方程中不應(yīng)有輸入u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)出現(xiàn),即不能直接將輸出y的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)取作狀態(tài)變量。,微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(3/11),為避免狀態(tài)方程中顯示地出現(xiàn)輸入的導(dǎo)數(shù),通常, 可利用輸出y和輸入u以及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合來(lái)

38、組成狀態(tài)變量,其原則是: 使?fàn)顟B(tài)方程中不顯含輸出u的各階導(dǎo)數(shù)。 基于這種思路選擇狀態(tài)變量的方法很多,下面先介紹一種,其他的方法將在后續(xù)章節(jié)中陸續(xù)介紹。,微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(4/11),根據(jù)上述原則,選擇狀態(tài)變量如下,其中i(i=0,1,n)為待定系數(shù)。,微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(5/11),因此,有,微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(6/11),若待定系數(shù)i(i=0,1,n)滿足如下關(guān)系式 0=b0 1=b1-a10 2=b2-a11-a20 n =bn-a1n-1-an0 即i(i=0,1,n)滿足如下方程組,微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(7/11),則該高階微分方程可轉(zhuǎn)化描述為如

39、下不含有輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的狀態(tài)空間模型,微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(8/11),上述實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示,微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(9/11)-例2-2,例2-2 將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型 y”+5y”+8y+4y=2u”+14u+24u 解 本例中 a1=5 a2=8 a3=4 b0=0 b1=2 b2=14 b3=24 因此,有 0=b0=0 1=b1-a10=2 2=b2-a11-a20 =4 3=b3-a12-a21-a30 =-12,微分方程中包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(10/11)-例2-2,因此,當(dāng)選擇狀態(tài)變量如下時(shí),即得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為,微分方程中

40、包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(11/11)-例2-2,其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示,由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(1/6),2.3.2 由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型 下面討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 關(guān)鍵問(wèn)題: 1. 如何選擇狀態(tài)變量 2. 保持系統(tǒng)的輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變,喔,關(guān)鍵!,線性定常微分方程,由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(2/6),由于傳遞函數(shù)與線性定系數(shù)常微分方程有直接的對(duì)應(yīng)關(guān)系,故前面討論的由高階線性微分方程建立狀態(tài)空間模型的方法同樣適用于將傳遞函數(shù)建立變換為狀態(tài)空間模型。 類似地,本節(jié)討論的由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型的方法亦適用于對(duì)微分方程建立狀態(tài)空間模型。,

41、傳遞函數(shù),第一章第三節(jié)方法,第一章第四節(jié)方法,建立狀態(tài)空間模型方法,對(duì)線性定常系統(tǒng) 拉氏變換,由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(3/6),實(shí)際物理系統(tǒng)傳遞函數(shù)中分子多項(xiàng)式階次小于或等于其分母多項(xiàng)式階次,此時(shí)稱該傳遞函數(shù)為真有理傳遞函數(shù)。 而分子多項(xiàng)式階次小于分母多項(xiàng)式階次時(shí),則稱為嚴(yán)格真有理傳遞函數(shù)。 本節(jié)討論描述單輸入單輸出(SISO)線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為的如下傳遞函數(shù),由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(4/6),對(duì)上述傳遞函數(shù),由長(zhǎng)除法,有,其中,由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(5/6),本節(jié)所要研究的是建立該傳遞函數(shù)所描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(A,B,C,D)。 上述常數(shù)項(xiàng)d即為狀態(tài)空間模型

42、(A,B,C,D)中的直聯(lián)矩陣D; 嚴(yán)格真有理傳遞函數(shù)G(s)對(duì)應(yīng)可建立(A,B,C,D)中的(A,B,C)。 即,由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型(6/6),下面分傳遞函數(shù) 極點(diǎn)互異和 有重極點(diǎn) 兩種情況討論如何建立狀態(tài)空間模型。,傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(1/8),1. 傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換 對(duì)于傳遞函數(shù)G(s),其特征方程為 sn+a1sn-1+an=0 若其特征方程的n個(gè)特征根s1,s2,sn互異,則用部分分式法可將G(s)表示為如下并聯(lián)分解,其中k1,k2,kn為待定系數(shù),其計(jì)算公式為,自己推導(dǎo)一下,行嗎?,傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(2/8),下面以k1計(jì)算式的推導(dǎo)過(guò)程為例說(shuō)明的

43、ki的計(jì)算式。 將G(s)的乘以s-s1,有,因此,由于特征根s1,s2,sn互異，有,下面討論通過(guò)選擇狀態(tài)變量求得相應(yīng)的狀態(tài)空間模型。,第2項(xiàng)將s1代入為0。,傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(3/8),考慮到,輸出y(t)和輸入u(t)的拉氏變換滿足,因此,若選擇狀態(tài)變量xi(t)使其拉氏變換滿足,則,經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為,傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(4/8),相應(yīng)地,系統(tǒng)輸出y(t)的拉氏變換為 Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+knXn(s) 因此,經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程 y=k1x1+k2x2+knxn 整理上述狀態(tài)方程和輸出方程可得如下?tīng)顟B(tài)空間模型,傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異

44、時(shí)的變換(5/8),上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣有一個(gè)重要特征,即A為對(duì)角線矩陣。,系統(tǒng)矩陣A具有上述對(duì)角線形式的狀態(tài)空間模型即為下一節(jié)將詳細(xì)討論的所謂對(duì)角線規(guī)范形。 事實(shí)上,由式(2-23)和狀態(tài)空間模型(2-26)可知,對(duì)角線規(guī)范形其實(shí)是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為n個(gè)一階子系統(tǒng)(慣性環(huán)節(jié))的并聯(lián),如右圖所示。,圖2-11 對(duì)角線規(guī)范形的結(jié)構(gòu)圖,傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(6/8)-例2-3,例2-3 用部分分式法將例2-1中微分方程對(duì)應(yīng)的下述傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)空間模型,傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(7/8),解 由系統(tǒng)特征多項(xiàng)式 s3+6s2+11s+6 可求得系統(tǒng)極點(diǎn)為 s1=-1 s

45、2=-2 s3=-3 于是有,其中,傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換(8/8),故當(dāng)選擇狀態(tài)變量為G(s)分式并聯(lián)分解的各個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)的輸出, 可得如下?tīng)顟B(tài)空間模型,將上述結(jié)果與例2-1的結(jié)果相比較可知,即使對(duì)同一個(gè)系統(tǒng),采用不同的建立狀態(tài)空間模型的方法,將得到不同的狀態(tài)空間模型。 即,狀態(tài)空間模型不具有唯一性。,傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(1/13),2. 傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換 當(dāng)系統(tǒng)特征方程有重根時(shí),傳遞函數(shù)不能分解成如式,的情況,亦得不到如式(2-26)所示的狀態(tài)方程。 不失一般性,為清楚地?cái)⑹鲎儞Q方法,以下設(shè)系統(tǒng)特征方程有6個(gè)根,其值分別為s1,s1,s1,s4,s5,s5,即s1為

46、3重極點(diǎn),s2為2重極點(diǎn)。 相應(yīng)地,用部分分式法可將所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)表示為,傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(2/13),其中kij為待定系數(shù),其計(jì)算公式為,會(huì)推導(dǎo)嗎?嘗試一下,其中l(wèi)為極點(diǎn)si的重?cái)?shù)。,傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(3/13),下面以系數(shù)k13的計(jì)算公式的推導(dǎo)為例來(lái)說(shuō)明kij的計(jì)算式 將G(s)的乘以(s-s1)3 ,有,第2項(xiàng)將s1代入為0。,對(duì)等式兩邊求2次導(dǎo)數(shù)后,因此，有,傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(4/13),下面討論通過(guò)選擇狀態(tài)變量求得相應(yīng)的狀態(tài)空間模型。 如何選擇狀態(tài)變量? 考慮到,輸出y(t)和輸入u(t)的拉氏變換滿足,傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(5/13),選擇狀態(tài)

47、變量xi(t)使其拉氏變換滿足,則有,傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(6/13),即有,則經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為,傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(7/13),相應(yīng)地,系統(tǒng)輸出y(t)的拉氏變換為 Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k41X4(s)+k51X5(s)+k52X6(s) 經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程 y=k11x1+k12x2+k13x3+k41x4+k51x5+k52x6,傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(8/13),因此,整理可得如下矩陣描述的狀態(tài)空間模型,傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(9/13),上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣有一個(gè)重要特征,

48、即A為塊對(duì)角矩陣,且每個(gè)矩陣方塊為只有一個(gè)重特征值的特定矩陣塊(約旦塊)。 系統(tǒng)矩陣A具有上述特定塊對(duì)角形式的狀態(tài)空間模型即為下一節(jié)將詳細(xì)討論的所謂約旦規(guī)范形。 事實(shí)上, 約旦規(guī)范形是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為多個(gè)子系統(tǒng)(慣性環(huán)節(jié))的串-并聯(lián)。 如下圖所示。,傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(10/13),傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(11/13)-例2-4,例2-4 用部分分式法將例2-2中微分方程對(duì)應(yīng)的下述傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)空間模型,傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(12/13),解 由系統(tǒng)特征多項(xiàng)式 s3+5s2+8s+4 可求得系統(tǒng)有二重極點(diǎn)s1=-2和單極點(diǎn)s2=-1,于是有,其中,傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換(

49、13/13),故當(dāng)選擇狀態(tài)變量為G(s)分式串-并聯(lián)分解的各個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)的輸出,可得如下?tīng)顟B(tài)空間模型,將上述結(jié)果與例2-2的結(jié)果相比較可知,可再次驗(yàn)證“狀態(tài)空間模型不具有唯一性”。,多輸入多輸出線性系統(tǒng)(1/5),2.3.3 多輸入多輸出線性系統(tǒng) 下面,以雙輸入雙輸出的三階系統(tǒng)為例介紹由描述MIMO系統(tǒng)的高階微分方程組如何建立狀態(tài)空間模型。 設(shè)描述系統(tǒng)的微分方程為,同SISO系統(tǒng)一樣,該系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)也是非唯一的。 下面采用模擬結(jié)構(gòu)圖的方法,按高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)求解方法來(lái)建立狀態(tài)空間模型。,多輸入多輸出線性系統(tǒng)(2/5),因此,該系統(tǒng)的方程也可表示為,對(duì)每一個(gè)方程積分,直至消除導(dǎo)數(shù)符號(hào)為止。 為此,有,

50、多輸入多輸出線性系統(tǒng)(3/5),故可得模擬結(jié)構(gòu)圖,如圖2-13所示。,圖2-13 系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖,多輸入多輸出線性系統(tǒng)(4/5),取每個(gè)積分器的輸出為一個(gè)狀態(tài)變量,如圖2-13所示。則式(2-33)的一種狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)為,相應(yīng)地輸出方程為,多輸入多輸出線性系統(tǒng)(5/5),因此,該雙輸入雙輸出系統(tǒng)的矩陣形式狀態(tài)空間模型為,非線性系統(tǒng)(1/10),2.3.4 非線性系統(tǒng) 倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)多變量、存在嚴(yán)重非線性的非自治不穩(wěn)定性系統(tǒng),經(jīng)常被用來(lái)研究和比較各種控制方法的性能。 其結(jié)構(gòu)和飛機(jī)著陸、火箭飛行及機(jī)器人的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)等有很多相似之處,因而對(duì)倒立擺系統(tǒng)平衡的控制方法在航空及機(jī)器人等領(lǐng)域有著廣泛的用途,人

51、們對(duì)倒立擺控制的研究也越來(lái)越感興趣。 下面通過(guò)一個(gè)一級(jí)倒立擺的例子,來(lái)簡(jiǎn)述對(duì)非線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō),如何通過(guò)描述其動(dòng)力學(xué)模型的常微分方程建立狀態(tài)空間模型。,非線性系統(tǒng)(2/10),圖2-14為某一級(jí)倒立擺結(jié)構(gòu)示意圖。,圖2-14 一級(jí)倒立擺示意圖,非線性系統(tǒng)(3/10),圖中所示的帶輪小車可以前后移動(dòng)來(lái)平衡一根桿,此桿由其底部的一個(gè)支點(diǎn)來(lái)支撐。 該系統(tǒng)中還有一個(gè)電機(jī),一根連接電機(jī)與小車的皮帶和一些滑輪。,還有一些傳感器,用來(lái)測(cè)量小車的速度、位置、桿底部與鉛垂線所成的角度及其微分。 其控制任務(wù)是由電機(jī)通過(guò)皮帶施加合適的力f給小車從而使桿不倒,并使小車不超過(guò)左右邊界。 一級(jí)倒立擺有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度,一個(gè)沿水

52、平方向運(yùn)動(dòng),另一個(gè)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)。,非線性系統(tǒng)(4/10),解 通過(guò)對(duì)滑輪小車和擺竿的受力分析和推導(dǎo),且忽略交流電機(jī)的動(dòng)特性并且假設(shè)交流電機(jī)由u到f的靜態(tài)增益為1,得到倒立擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)描述如下:,其中c是小車與導(dǎo)軌的摩擦系數(shù); f為施加在小車水平方向上的外力; u為作用在驅(qū)動(dòng)電機(jī)上的電壓,其為控制變量;,非線性系統(tǒng)(5/10),J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, x為小車的水平位移,由與電機(jī)相連的電位計(jì)測(cè)得;,連接的電位計(jì)測(cè)得的信號(hào)經(jīng)微分而得; 為桿與垂線的夾角,并取順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?由安裝在小車上并與桿的基座相連的電位計(jì)測(cè)得;,為小車的水平速度,由與電機(jī),為桿轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度,由安裝在小車上并與桿的基座相連的電位計(jì)測(cè)

53、得的信號(hào)經(jīng)微分而得。,非線性系統(tǒng)(6/10),整理上式,得到:,其中,非線性系統(tǒng)(7/10),對(duì)該倒立擺系統(tǒng),選取狀態(tài)變量 :,由上式得到該倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為,非線性系統(tǒng)(8/10),由于數(shù)學(xué)方法的局限以及工程系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的困難,在進(jìn)行系統(tǒng)分析與控制時(shí),復(fù)雜的非線性模型將導(dǎo)致難于分析求解及控制。 因此,常將非線性模型在其平衡點(diǎn)(工作點(diǎn))附近對(duì)其進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)至一階線性方程,以獲得簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型,實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)分析與控制。 這種處理也是工程中的常用方法, 如若擺桿相對(duì)于垂直線的角度保持足夠小(如),則常有如下線性展開(kāi)近似,非線性系統(tǒng)(9/10),因此,對(duì)本例來(lái)說(shuō),在平衡點(diǎn),附近,非線性狀

54、態(tài)方程的近似線性化狀態(tài)方程為,其中,非線性系統(tǒng)(10/10),和相應(yīng)的輸出方程:,至此,得到一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間形式的線性化數(shù)學(xué)模型。,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形(1/8),2.4 狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形 從上一節(jié)的討論可知,同一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型,即使其維數(shù)相同,但其具體結(jié)構(gòu)和系數(shù)矩陣也是多種多樣的, 如系統(tǒng)矩陣A可以為對(duì)角線矩陣的或者約旦矩陣的, 也可以為其他形式的。 即, 狀態(tài)空間模型不具有唯一性。,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形(2/8),為何同一個(gè)系統(tǒng)具有不同的狀態(tài)空間模型? 原因: 狀態(tài)變量的不同選擇 這就產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題: 各種不同選擇的狀態(tài)變量之間,

55、以及它們所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間模型之間的關(guān)系如何?,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形(3/8),此外,在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中,某些特殊的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型對(duì)討論問(wèn)題相對(duì)簡(jiǎn)單得多,如前面建立的對(duì)角線規(guī)范形的和約旦規(guī)范形。 于是自然會(huì)提出如下問(wèn)題: 如何把一般形式的狀態(tài)空間模型變換成特定形式的狀態(tài)空間模型,以降低系統(tǒng)的分析問(wèn)題和設(shè)計(jì)問(wèn)題的難度。 解決上述兩個(gè)問(wèn)題,就需引入狀態(tài)空間的線性變換。 什么是狀態(tài)空間的線性變換?,如何理解? 本章關(guān)鍵喔!,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形(4/8),狀態(tài)變量是一組實(shí)變量,它們所組成的狀態(tài)空間為一個(gè)實(shí)線性空間。 由線性代數(shù)知識(shí)可知,線性空間中,隨著表征空間坐標(biāo)的基底

56、的選取的不同,空間中的點(diǎn)關(guān)于各種基底的坐標(biāo)亦不同。 這些基底之間的關(guān)系為進(jìn)行了一次坐標(biāo)變換,而空間中的點(diǎn)的,坐標(biāo)則相當(dāng)于作了一次相似變換。 如,在如右圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,A點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)存在如下變化關(guān)系(其中P為非可逆的變換矩陣),狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形(5/8),n維空間中的旋轉(zhuǎn)變換、極坐標(biāo)變換,線性空間中的相似變換,都屬于空間變換。 其中旋轉(zhuǎn)變換和相似變換還屬于線性變換。 狀態(tài)空間中由于狀態(tài)變量的不同選擇類似于線性空間中的坐標(biāo)架的不同選擇， 同一個(gè)系統(tǒng)不同選擇狀態(tài)變量組之間存在類似于線性空間不同坐標(biāo)架之間的線性變換, 因此我們將在狀態(tài)空間中坐標(biāo)變換稱為狀態(tài)空間的線

57、性變換。,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形(6/8),引入坐標(biāo)變換和狀態(tài)空間線性變換等概念,實(shí)際上就回答了上述兩個(gè)問(wèn)題: 1. 不同選取狀態(tài)變量之間存在一個(gè)坐標(biāo)變換,其相應(yīng)的狀態(tài)空間模型之間也存在一個(gè)相應(yīng)的相似變換。 2. 既然可以對(duì)狀態(tài)變量和狀態(tài)空間模型進(jìn)行線性變換,則在一定條件下應(yīng)可以將一般形式的狀態(tài)空間模型變換成某種特殊的狀態(tài)空間模型。,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形(7/8),本節(jié)主要討論狀態(tài)空間的線性變換,以及如何系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的約旦規(guī)范形。 本章關(guān)鍵問(wèn)題: 1. 線性變換的幾何及空間意義,建立空間想象力 2. 如何作系統(tǒng)線性變換 3. 系統(tǒng)的對(duì)角規(guī)范形和約旦規(guī)范形描述 4.

58、 代數(shù)重?cái)?shù)、幾何重?cái)?shù)與約旦矩陣 5. 如何求矩陣的廣義特征向量,建立空間概念,可是學(xué)好控制理論的關(guān)鍵喔,狀態(tài)空間模型的線性變換和約旦規(guī)范形(8/8),主要內(nèi)容為: 狀態(tài)空間的線性變換 系統(tǒng)特征值的不變性與系統(tǒng)的不變量 化狀態(tài)方程為對(duì)角線規(guī)范形 化狀態(tài)方程為約旦規(guī)范形,狀態(tài)空間的線性變換(1/2),2.4.1 狀態(tài)空間的線性變換 對(duì)于一個(gè)n階動(dòng)態(tài)系統(tǒng),可通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)膎個(gè)狀態(tài)變量以建立狀態(tài)空間模型來(lái)描述它。 但是,這n個(gè)狀態(tài)變量的選擇卻不是唯一的。 這一點(diǎn)可利用線性代數(shù)中的基底不唯一來(lái)理解。 一個(gè)n維線性獨(dú)立的狀態(tài)變量向量,在n維狀態(tài)空間中構(gòu)成一個(gè)坐標(biāo)系,即相當(dāng)于空間中的一個(gè)基底。 根據(jù)線性代數(shù)知識(shí),在這個(gè)空間中還存在另外的坐標(biāo)系,且與原坐標(biāo)系存在一個(gè)線性變換關(guān)系。,狀態(tài)空間的線性變換(2/2),下面分別討論: 狀態(tài)空間的線性變換 狀態(tài)空間模型的線性變換,上述狀態(tài)變量向量x與 間的變換,稱為狀態(tài)的線性變換。,由線性代數(shù)知識(shí)可知,它們之間必有如下變換關(guān)系,狀態(tài)空間的線性變換(1/1),1. 狀態(tài)空間的線性變換 設(shè)描述同一個(gè)線性狀態(tài)空間的兩個(gè)n維的狀態(tài)變量向量分別為,其中P為nn維的非奇異變換矩