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文檔簡介

1、3.4 (2) 曲線的凹凸性與拐點(diǎn),Concavity and Points of Inflection,一、曲線的凹凸性與拐點(diǎn),觀察：曲線的彎曲方式,曲線?。荷习?曲線?。荷贤?弦在弧上方,弦在弧下方,凹弧的定義：,凸弧的定義：,如何判斷曲線的凹凸？,設(shè)曲線弧上凹,單增,Concave upward,下凸,設(shè)曲線弧上凸,單減,Concave downward,下凹,反之，能否由二階導(dǎo)數(shù)的符號來判斷曲線的凹凸？ 答案是肯定的,定理 2 (曲線凹凸性的判定定理） 設(shè)函數(shù) f(x) 在 a, b 上連續(xù)，在 (a, b) 內(nèi)二階可導(dǎo)，那么 若在 (a, b) 內(nèi) f (x) 0，則曲線 y = f

2、(x)在a, b上是凹的 若在 (a, b) 內(nèi) f (x) 0，則曲線 y = f(x)在a, b上是凸的,證,設(shè),將函數(shù)在(a, b)內(nèi)展開為一階 Taylor 公式：,正的,不等式成立,推論：,可以推廣到 n 個(gè)數(shù)的情形,拐點(diǎn),inflection point,拐點(diǎn) (x0, f(x0): f(x0) 在點(diǎn) x0 兩側(cè)異號,可能出現(xiàn)拐點(diǎn)的點(diǎn) x0: f (x0) = 0 或 f (x0) 不存在,求曲線凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的步驟： p.149,例 9 求下列曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn),解,求下列曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn),凸區(qū)間：,凹區(qū)間：,拐點(diǎn)：,with(plots): A:=plot(2*x3+3*x2-12*x+14,x=-4.3): display(A,scaling=unconstrained,thickness=3);,證明：三次曲線恰有一個(gè)拐點(diǎn) 且三次曲線關(guān)于其拐點(diǎn)對稱,例 10 求下列曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn),解,求下列曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn),拐點(diǎn)：,with(plots): A:=plot(3*x4-4*x3+1,x=-0.5.1.3): displ

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