考研數(shù)學(xué)兩個(gè)重要極限課件.ppt

1、兩個(gè)重要極限,魏永強(qiáng) 清華大學(xué)數(shù)學(xué)博士,兩個(gè)重要的極限,預(yù)備知識(shí),1.有關(guān)三角函數(shù)的知識(shí),2.有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí),以e為底的指數(shù)函數(shù)y=ex的反函數(shù) y = logex，叫做自然對(duì)數(shù)，在工程技術(shù)中經(jīng)常被運(yùn)用，常簡(jiǎn)記為 y = ln x.,數(shù) e 是一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的前八位數(shù)是：,e = 2.718 281 8 ,3.有關(guān)指數(shù)運(yùn)算的知識(shí),4.無(wú)窮小量 定義 在某個(gè)變化過(guò)程中，以0為極限的變量稱為在這個(gè)變化過(guò)程中的無(wú)窮小量，常用字母,性質(zhì) 無(wú)窮小量與有界變量的乘積仍為無(wú)窮小量.,5.極限的運(yùn)算法則,X 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.

2、99998 0.9999998,X 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998,第一個(gè)重要極限,O,x,B,A,C,D,證,解,這個(gè)結(jié)果可以作為公式使用,例 1求,例 2,注：在運(yùn)算熟練后可不必代換，直接計(jì)算：,練習(xí)1. 求下列極限:,例 3,解,例 4,解,思考題,練習(xí)3：下列等式正確的是（ ）,練習(xí)4：下列等式不正確的是（ ）,練習(xí)5. 下列極限計(jì)算正確的是（ ）,練習(xí)6. 已知,當(dāng)（ ）時(shí)，,為無(wú)窮小量.,，當(dāng) 時(shí)，,為無(wú)窮小量,練習(xí)7. 已知,練習(xí)8.,練習(xí)9.,第二個(gè)重要極限,解因?yàn)?所以，有,例

3、1,例 2,解方法一令 u = -x， 因?yàn)?x 0 時(shí) u 0，,所以,方法二掌握熟練后可不設(shè)新變量,例3,解,練習(xí)1.,解,練習(xí)2.,解,練習(xí)3.,解,兩個(gè)重要極限:,小結(jié),練 習(xí) 題,思考題,解因?yàn)?所以令 u = x - 3 ，當(dāng) x 時(shí) u ，,因此,附錄,兩個(gè)重要極限的證明,O,x,R,A,B,C,證 AOB 面積 扇形AOB 面積 AOC 面積, 即,例,兩個(gè)重要極限的證明,因?yàn)?所以再次運(yùn)用定理 6 即可得,重要極限1,其中的兩個(gè)等號(hào)只在x=0時(shí)成立.,證,設(shè)圓心角 過(guò)點(diǎn)A作圓的切線與OB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，又作,則sin x =BD，tan x=AC，,這就證明了不等式(7).

4、,從而有,重要極限2,證,這是重要極限2常用的另一種形式.,分析：此是一個(gè)和式的極限，顯然第一項(xiàng)及第二項(xiàng)函數(shù)中分子、分母的極限均存在且分式函數(shù)中分母的極限不等于零，因此可以直接利用極限的運(yùn)算法則求解。,極限綜合練習(xí)題(一),例3 求下列極限：,解： 當(dāng)x從0的左側(cè)趨于0時(shí)，,當(dāng)x從0的右側(cè)趨于0時(shí),例5 求下列極限,分析：本例中均是求分式的極限問(wèn)題，且在各自的極限過(guò)程中，分子、分母的 極限均為零，不能直接用極限商的運(yùn)算法則。求解此類極限的關(guān)鍵是找出分子、分母中共同的致零因式，把它們約去后再求解。,尋找致零因式常用的方法為： 若是有理分式的極限，則需把分子分母、分別分解因式（一般采用：“十字相乘

5、法”、公式法、或提取公因式法）； 若是無(wú)理分式的極限，則需要把分子、分母有理化。,解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求極限。,求解。又當(dāng)x0時(shí)，ax0，bx0，于是有,分析：當(dāng)x0時(shí)，分子，分母的極限均為0，且分子是一個(gè)無(wú)理函數(shù)，分母是正弦函數(shù)，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以 ，然后看是否可利用第1個(gè)重要極限。,解法2：,分析：當(dāng) x0時(shí)，分式中分子分母的極限均為0，不能直接使用極限的運(yùn)算法則，但前面所介紹“分解因式”、“有理化”的方法在此又不適用。能否利用第1個(gè)重要極限呢？這就需要首先利用三角恒等式對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃巍?解：因當(dāng)x時(shí)，sinx的極限不存在，故不能用極限的

6、運(yùn)算法則求解，考慮到,解,1. 求極限:,極限綜合練習(xí)題(二),解:利用第一重要極限和函數(shù)的連續(xù)性計(jì)算，即,2.求下列極限：,解:對(duì)分子進(jìn)行有理化，然后消去零因子，再利用四則運(yùn)算法則和第一重要極限計(jì)算，即,3. 求下列極限：,分析：此極限屬于時(shí)有理分式的極限問(wèn)題，且m=n，可直接利用上述結(jié)論得出結(jié)果，也可用分子、分母同除以x15來(lái)計(jì)算。 解：分子分母同除以x15，有,=2 2 + 1 = 5,解,5. 求,解,6. 求極限,解：容易算出分式分子的最高次項(xiàng)是 ，分式分母的最高次項(xiàng)是 ，所以,7. 求極限,8. 求極限,9. 設(shè)函數(shù),問(wèn)：（1）當(dāng)a為何值時(shí)，f(x)在x=0右連續(xù)； （2）a ,b為何值時(shí)，f(x)在x=0處有極限存在； （3）當(dāng)a