高考模擬試題壓軸大題選編

1、20092010年高考模擬試題壓軸大題選編1.（東城區(qū)2009-2010學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)目標(biāo)檢測）設(shè)數(shù)列的前項和為已知，（）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（）若，證明對任意的 ，不等式恒成立2.（海淀區(qū)高三年級第一學(xué)期期末練習(xí)）給定項數(shù)為的數(shù)列，其中.若存在一個正整數(shù)，若數(shù)列中存在連續(xù)的k項和該數(shù)列中另一個連續(xù)的k項恰好按次序?qū)?yīng)相等，則稱數(shù)列是“k階可重復(fù)數(shù)列”，例如數(shù)列 因為與按次序?qū)?yīng)相等，所以數(shù)列是“4階可重復(fù)數(shù)列”.（）分別判斷下列數(shù)列 是否是“5階可重復(fù)數(shù)列”？如果是，請寫出重復(fù)的這5項；（）若數(shù)為的數(shù)列一定是 “3階可重復(fù)數(shù)列”，則的最小值是多少？說明理由；（III）假設(shè)數(shù)列不是“

2、5階可重復(fù)數(shù)列”，若在其最后一項后再添加一項0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，且，求數(shù)列的最后一項的值.3.（石景山區(qū)20092010學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷）已知函數(shù)，.（）如果函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；（）是否存在實數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由4.（北京市宣武區(qū)2009-2010學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測）已知函數(shù)，為正整數(shù)（）求和的值；（）若數(shù)列的通項公式為（），求數(shù)列的前項和；（）設(shè)數(shù)列滿足：，設(shè)，若（）中的滿足對任意不小于3的正整數(shù)n，恒成立，試求m的最大值.5.（北京市西城區(qū)2010年高三年級抽樣測

3、試）已知曲線，過C上一點作斜率的直線，交曲線于另一點，再過作斜率為的直線，交曲線C于另一點，過作斜率為的直線，交曲線C于另一點，其中， （1）求與的關(guān)系式；（2）判斷與2的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （3）求證：.6.（崇文區(qū)20092010學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一練習(xí)）已知為二次函數(shù)，不等式的解集為，且對任意，恒有，.數(shù)列滿足，（）求函數(shù)的解析式；（）設(shè)，求數(shù)列的通項公式；（）若（）中數(shù)列的前項和為，求數(shù)列的前n項和.7.(哈三中2009-2010學(xué)年度上學(xué)期高三學(xué)年期末考試)已知函數(shù). () 比較與的大小； () 求證：.8.(湖南師大附中2010屆高三第五次月考) 已知數(shù)列的前項和，（1）

4、求的通項公式；（2）設(shè)N+，集合，現(xiàn)在集合中隨機取一個元素，記的概率為，求的表達(dá)式9.(福建省普通高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查)已知函數(shù)（）求函數(shù)的極值；（）對于曲線上的不同兩點，如果存在曲線上的點，且，使得曲線在點處的切線，則稱為弦的伴隨切線。特別地，當(dāng)時，又稱為的伴隨切線。（）求證：曲線的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的；（）是否存在曲線C，使得曲線C的任意一條弦均有伴隨切線？若存在，給出一條這樣的曲線 ，并證明你的結(jié)論； 若不存在 ，說明理由。10.(廣東省廣州市2010屆高三上學(xué)期期末調(diào)研)設(shè)為數(shù)列的前項和，對任意的N，都有 為常數(shù)，且（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的公比，

5、數(shù)列滿足 ，N，求數(shù)列的通項公式；（3）在滿足（2）的條件下，求證：數(shù)列的前項和11湖北省荊州中學(xué)2010屆高三九月月考數(shù)學(xué)卷（理科）如果是函數(shù)的一個極值，稱點是函數(shù)的一個極值點.已知函數(shù)（1）若函數(shù)總存在有兩個極值點，求所滿足的關(guān)系；（2）若函數(shù)有兩個極值點，且存在，求在不等式表示的區(qū)域內(nèi)時實數(shù)的范圍.（3）若函數(shù)恰有一個極值點，且存在，使在不等式表示的區(qū)域內(nèi)，證明：.12.(江蘇省蘇州中學(xué)2010屆高三上學(xué)期期中考試)已知函數(shù).(1)若函數(shù)是其定義域上的增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(2)若是奇函數(shù)，且的極大值是，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(3)證明：當(dāng)時，.13.(西南師大附中高2010級第五

6、次月考)數(shù)列an中a1 = 2，bn中（1）.求證：數(shù)列bn為等比數(shù)列，并求出其通項公式；（2.）當(dāng)時，證明：14.(昌平區(qū)20092010學(xué)年第一學(xué)期高三年級期末質(zhì)量抽測)對于給定數(shù)列，如果存在實常數(shù),使得 對于任意都成立，我們稱數(shù)列是 “M類數(shù)列”（I）若，數(shù)列、是否為“M類數(shù)列”？若是，指出它對應(yīng)的實常數(shù)，若不是，請說明理由；（II）若數(shù)列滿足，為常數(shù)求數(shù)列前項的和；是否存在實數(shù)，使得數(shù)列是“M類數(shù)列”，如果存在，求出；如果不存在，說明理由.15.(武昌區(qū)2010屆高三年級元月調(diào)研測試)設(shè)函數(shù)，且（為自然對數(shù)的底數(shù)）.（）求實數(shù)與的關(guān)系；（）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍

7、；（）設(shè)，若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.16.c(湖北省武漢地區(qū)重點大學(xué)附中六校第一次聯(lián)考)設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù).（）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并就的情形證明你的結(jié)論；（）證明：；（）對于任意給定的正整數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小值.17（南充高中2010屆高三月考）已知函數(shù)f(x)=，其中n（1）求函數(shù)f(x)的極大值和極小值；（2）設(shè)函數(shù)f(x)取得極大值時x=，令=23，=，若pq對一切nN恒成立，求實數(shù)p和q的取值范圍1818.(江蘇省南通市2009屆高三上學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷)已知等差數(shù)列的首項為a，公差為b，等比數(shù)列的首項為b，公比為a，其中a，b都是大于1的正整數(shù)，且（1）求a的值

8、； （2）若對于任意的，總存在，使得成立，求b的值； （3）令，問數(shù)列中是否存在連續(xù)三項成等比數(shù)列？若存在，求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項；若不存在，請說明理由19.（寧波市2009學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷）設(shè) （1）若是函數(shù)的極大值點，求的取值范圍；（2）當(dāng)時，若在上至少存在一點，使成立，求的取值范圍20.（2010年浙江省杭州市第一次高考科目教學(xué)質(zhì)量檢測）已知函數(shù)滿足，且方程f(x) = x有且僅有一個實數(shù)根（）求函數(shù)的解析式；（）設(shè)數(shù)列滿足.求數(shù)列的通項公式；（）定義對于（）中的數(shù)列，令 設(shè)為數(shù)列的前項和,求證：. 21.（綿陽市高中2010級第二次診斷性考試）設(shè)數(shù)列an的各項均為正數(shù)，它的

9、前n項和為Sn（nN*），已知點(an，4Sn)在函數(shù)f(x)=x2+2x+1的圖象上（1）證明an是等差數(shù)列，并求an；（2）設(shè)m、k、pN*，m+p=2k，求證：；（3）對于（2）中的命題，對一般的各項均為正數(shù)的等差數(shù)列還成立嗎？如果成立，請證明你的結(jié)論，如果不成立，請說明理由22.（20092010學(xué)年度揚州市第一學(xué)期期末高考模擬）已知函數(shù)，其中，且.當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；設(shè)函數(shù)若對任意給定的非零實數(shù)，存在非零實數(shù)（），使得成立，求實數(shù)的取值范圍.23雅禮中學(xué)2010屆高三月考卷（四）設(shè)，函數(shù) （1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程； （2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)性； （3）當(dāng)時

10、，求函數(shù)的最小值。20092010年高考模擬壓軸大題選編(五)參考答案1解：（）依題意，即，由此得因此，所求通項公式為，5分（）證明：由已知，則，所以.7分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立.當(dāng)時,左邊=,右邊=,因為,所以不等式成立. 8分假設(shè)當(dāng)時不等式成立,即成立.則當(dāng)時,左邊=11分要證成立，只需證成立，由于，只需證成立，只需證成立，只需證成立，由于，所以成立即成立.所以當(dāng)時,不等式也成立.由，可得不等式恒成立. 14分2解：（）記數(shù)列為，因為與按次序?qū)?yīng)相等，所以數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，重復(fù)的這五項為0,0,1,1,0; 記數(shù)列為，因為、 、沒有完全相同的，所以不是“5階可重復(fù)數(shù)列”.

11、.3分（）因為數(shù)列的每一項只可以是0或1，所以連續(xù)3項共有種不同的情形.若m11，則數(shù)列中有9組連續(xù)3項，則這其中至少有兩組按次序?qū)?yīng)相等，即項數(shù)為11的數(shù)列一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”；若m10，數(shù)列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3階可重復(fù)數(shù)列”；則時，均存在不是“3階可重復(fù)數(shù)列”的數(shù)列.所以，要使數(shù)列一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”，則m的最小值是11. .8分（III）由于數(shù)列在其最后一項后再添加一項0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，即在數(shù)列的末項后再添加一項，則存在，使得與按次序?qū)?yīng)相等，或與按次序?qū)?yīng)相等，如果與不能按次序?qū)?yīng)相等，那么必有，使得、與按次序?qū)?yīng)相等. 此時考

12、慮和，其中必有兩個相同，這就導(dǎo)致數(shù)列中有兩個連續(xù)的五項恰按次序?qū)?yīng)相等，從而數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，這和題設(shè)中數(shù)列不是“5階可重復(fù)數(shù)列”矛盾！所以與按次序?qū)?yīng)相等，從而.14分說明：其它正確解法按相應(yīng)步驟給分.3解：（）當(dāng)時，在上是單調(diào)增函數(shù)，符合題意1分 當(dāng)時，的對稱軸方程為，由于在上是單調(diào)增函數(shù)，所以，解得或，所以 3分 當(dāng)時，不符合題意 綜上，的取值范圍是 4分 （）把方程整理為，即為方程. 5分 設(shè) ， 原方程在區(qū)間()內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根, 即為函數(shù)在區(qū)間()內(nèi)有且只有兩個零點. 6分 7分 令，因為，解得或（舍） 8分 當(dāng)時, , 是減函數(shù)； 當(dāng)時, ，是增函數(shù). 10分

13、在()內(nèi)有且只有兩個不相等的零點, 只需 13分即 解得, 所以的取值范圍是() 14分注：若有其它解法，請酌情給分4解：（）=1；=1；分（）由（）得 ,即由, 得 由, 得，10分（） ,對任意的. 即.數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.關(guān)于n遞增. 當(dāng), 且時, . .而為正整數(shù)，的最大值為650. 1分5解：（1）由已知過斜率為的直線為，直線交曲線C于另一點所以=2分即，0，所以4分 （2）解：當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)n為偶數(shù)時，5分因為，6分注意到，所以與異號由于，所以，以此類推，當(dāng)時，；當(dāng)時，8分 （3）由于，所以1（，）9分所以10分所以12分所以14分6解：（）依題意，,即令，則，有，得，即，得.

14、- 4分（），則即，兩邊取倒數(shù)，得，即. 數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列. - 9分（）.（1）當(dāng)為偶數(shù)時（2）當(dāng)為奇數(shù)時 綜上， -1 3分7（）則，設(shè)函數(shù)則，則單調(diào)遞減，所以，所以則，即；（）.因為則則原結(jié)論成立.8解：（1）因為，所以兩式相減，得，即，3分又，即，所以是首項為3，公比為3的等比數(shù)列從而的通項公式是，6分（2）設(shè)，當(dāng)，時， ， 9分當(dāng)，時， ，12分又集合含個元素，在集合中隨機取一個元素，有的概率14分9（）2分當(dāng)，函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，函數(shù)沒有極值。3分當(dāng)時，令，得。當(dāng)變化時，與變化情況如下表：0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減當(dāng)時，取得極大值。綜上，當(dāng)時，沒有極值；當(dāng)時，的極大值為，

15、沒有極小值。5分（）（）設(shè)是曲線上的任意兩點，要證明有伴隨切線，只需證明存在點，使得，且點不在上。7分，即證存在，使得，即成立，且點不在上。8分以下證明方程在內(nèi)有解。記，則。令，在內(nèi)是減函數(shù)，。取，則，即。9分同理可證。函數(shù)在內(nèi)有零點。即方程在內(nèi)有解。10分又對于函數(shù)取，則可知，即點Q不在上。是增函數(shù)，的零點是唯一的，即方程在內(nèi)有唯一解。綜上，曲線上任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的。11分（）取曲線C：，則曲線的任意一條弦均有伴隨切線。證明如下：設(shè)是曲線C上任意兩點，則，又，即曲線C：的任意一條弦均有伴隨切線。14分注：只要考生給出一條滿足條件的曲線，并給出正確證明，均給滿分。若只

16、給曲線，沒有給出正確的證明，不給分。解法二：（）同解法一。（）（）設(shè)是曲線上的任意兩點，要證明有伴隨切線，只需證明存在點，使得，且點不在上。7分，即證存在，使得，即成立，且點不在上。8分以下證明方程在內(nèi)有解。設(shè)。則。記，在內(nèi)是增函數(shù)，。9分同理。方程在內(nèi)有解。10分又對于函數(shù)，可知，即點Q不在上。又在內(nèi)是增函數(shù)，方程在內(nèi)有唯一解。綜上，曲線上任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的。11分（）同解法一。10（1）證明：當(dāng)時，解得1分當(dāng)時，2分即為常數(shù)，且，3分?jǐn)?shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列4分（2）解：由（1）得， 5分，6分，即7分是首項為，公差為1的等差數(shù)列8分，即（N）9分（3）證

17、明：由（2）知，則10分所以 ，11分當(dāng)時，12分所以 11解：（1）令得 又 3分（2）在有兩個不相等的實根.即 得 7分（3）由當(dāng)在左右兩邊異號是的唯一的一個極值點由題意知 即 即 存在這樣的的滿足題意 符合題意 9分當(dāng)時，即這里函數(shù)唯一的一個極值點為由題意即 即 13分綜上知：滿足題意 的范圍為. 14分12解：(1) ，所以，由于是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故恒成立，即對恒成立，又(時取等號)，故.(2)由是奇函數(shù)，則對恒成立，從而，所以，有. 由極大值為，即，從而；因此，即，所以函數(shù)在和上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).由，得或，因此得到：當(dāng)時，最大值為；當(dāng)時，最大值為；當(dāng)時，最大值為.(3)問題等

18、價于證明對恒成立；，所以當(dāng)時，在上單調(diào)減；當(dāng)時，在上單調(diào)增；所以在上最小值為(當(dāng)且僅當(dāng)時取得)設(shè)，則，得最大值(當(dāng)且僅當(dāng)時取得),又得最小值與的最大值不能同時取到，所以結(jié)論成立.13證明：(1) 由 又 又n = 1時， 為等比數(shù)列，b1 = 2， (2) 先證：當(dāng)n為偶數(shù)時，顯然成立；當(dāng)n為奇數(shù)時，即證而當(dāng)時，顯然也成立，故當(dāng)時，令又令 ： 又 所證式子左邊即14解：（I）因為則有故數(shù)列是“M類數(shù)列”， 對應(yīng)的實常數(shù)分別為 2分因為，則有 故數(shù)列是“M類數(shù)列”， 對應(yīng)的實常數(shù)分別為 4分（II）（1）因為 則有， ， .6分故數(shù)列前項的和+ 9分若數(shù)列是“M類數(shù)列”， 則存在實常數(shù)使得對于任

19、意都成立，.10分且有對于任意都成立，因此對于任意都成立，而，且則有對于任意都成立，可以得到，12分當(dāng)時，經(jīng)檢驗滿足條件.當(dāng) 時，經(jīng)檢驗滿足條件.因此當(dāng)且僅當(dāng)或，時，數(shù)列也是“M類數(shù)列”.對應(yīng)的實常數(shù)分別為, 或 14分15解：（）由題意，得，化簡，得，. 2分（）函數(shù)的定義域為.由（）知，. 3分令，要使在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需在內(nèi)滿足或恒成立.（1）當(dāng)時，.在內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，故符合條件. 4分（2）當(dāng)時，.只需，即時，此時.在內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，故符合條件. 6分（3）當(dāng)時，.只需，此時.在內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，故符合條件.綜上可得, 或為所求. 8分（）在上是減函數(shù)，時，；時，.即. 9分（1

20、）當(dāng)時，由（）知，在上遞減，不合題意. 10分（2）當(dāng)時，由知，.由（）知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，不合題意. 12分（3）當(dāng)時，由（）知在上遞增，又在在上遞減，.即，.綜上，的取值范圍是.16解：（1）在上均為單調(diào)遞增的函數(shù). 1分 對于函數(shù)，設(shè) ，則 ， ， 函數(shù)在上單調(diào)遞增. 3分（2） 原式左邊 . 5分 又原式右邊. . 6分（3）當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增， 的最大值為，最小值為. 當(dāng)時， 函數(shù)的最大、最小值均為1. 當(dāng)時，函數(shù)在上為單調(diào)遞增. 的最大值為，最小值為. 當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減， 的最大值為，最小值為. 9分 下面討論正整數(shù)的情形： 當(dāng)為奇數(shù)時，對任意且 ， 以及 ， ，從而 .

21、 在上為單調(diào)遞增，則 的最大值為，最小值為. 11分 當(dāng)為偶數(shù)時，一方面有 . 另一方面，由于對任意正整數(shù)，有 ， . 函數(shù)的最大值為，最小值為. 綜上所述，當(dāng)為奇數(shù)時，函數(shù)的最大值為，最小值為. 當(dāng)為偶數(shù)時，函數(shù)的最大值為，最小值為. 13分17解答（1） =，1分=。2分令，從而x1x2x3. 當(dāng)n為偶數(shù)時f(x)的增減如下表x（-，0）0（0，）（，1）1（0，+）+0+00+無極值極大值極小值所以當(dāng)x=時，y極大=；當(dāng)x=1時，y極小=0. 5分當(dāng)n為奇數(shù)時f(x)的增減如下表x（-，0）0（0，）（，1）1（0，+）+0+00無極值極大值無極值所以當(dāng)x=時，y極大=。8分（2）由（1

22、）知f(x)在x=時取得最大值。所以=，=23=，=。，即；所以實數(shù)p和q的取值范圍分別是，。1418解：（1）由已知，得由，得因a，b都為大于1的正整數(shù)，故a2又，故b3 2分再由，得由，故，即由b3，故，解得 4分于是，根據(jù)，可得6分來源:Z+xx+k.Com（2）由，對于任意的，均存在，使得，則又，由數(shù)的整除性，得b是5的約數(shù)故，b=5所以b=5時，存在正自然數(shù)滿足題意9分（3）設(shè)數(shù)列中，成等比數(shù)列，由，得化簡，得 （） 11分當(dāng)時，時，等式（）成立，而，不成立 12分當(dāng)時，時，等式（）成立13分當(dāng)時，這與b3矛盾這時等式（）不成立14分綜上所述，當(dāng)時，不存在連續(xù)三項成等比數(shù)列；當(dāng)時，數(shù)列中的第二、三、四項成等比數(shù)列，這三項依次是18，30，5016分19（2分）遞減極小值遞增當(dāng)時，當(dāng)時，遞增極大值遞減極小值遞增遞增非極值遞增當(dāng)時，當(dāng)時，遞增極大值遞減極小值遞增綜上所述，當(dāng)，即時，是函數(shù)的極大值點 （7分）（2）在上至少存在一點，使成立，等價于 當(dāng)時, （9分）由（1）知，當(dāng)，即時，