數(shù)學(xué)建模-金屬板切割問題

1、武漢理工大學(xué)2014年數(shù)學(xué)建模與仿真課程論文題目：金屬板切割問題 姓 名： 學(xué) 院： 專 業(yè)： 學(xué) 號 選課老師： 數(shù)學(xué)建模與仿真課程論文題目金屬板切割問題在一個金屬板加工車間內(nèi)將要從尺寸為48分米96分米的大塊矩形金屬板上切割下小塊的金屬板。此車間接到訂單要求為：生產(chǎn)8塊大小為36分米50分米的矩形金屬板，13塊大小為24分米36分米的矩形金屬板，以及15塊大小為18分米30分米的矩形金屬板。這些金屬板都需要從現(xiàn)有的大塊金屬板上切割下。為生產(chǎn)出滿足訂單要求的金屬板，最少可以使用多少塊大塊金屬板？摘要1、 通過窮舉法與實(shí)際意義相結(jié)合的方法，挖掘出題目所給條件的潛在含義，即可搭配的各種合理的切割

2、模式。2、利用LINGO軟件，求解出原料板最少使用量以及達(dá)成此目標(biāo)的具體模式分配。目錄1題目要求11.1問題分析1 1.2模型假設(shè)1 2模型分析2 3模型建立3 4 LINGO程序的實(shí)現(xiàn)45求解結(jié)果5 6結(jié)果分析和檢驗(yàn)5 7模型的優(yōu)缺點(diǎn)68參考文獻(xiàn)6 1、武漢理工大學(xué)2014年數(shù)學(xué)建模與仿真課程論文題目B題：金屬板切割問題在一個金屬板加工車間內(nèi)將要從尺寸為48分米96分米的大塊矩形金屬板上切割下小塊的金屬板。此車間接到訂單要求為：生產(chǎn)8塊大小為36分米50分米的矩形金屬板，13塊大小為24分米36分米的矩形金屬板，以及15塊大小為18分米30分米的矩形金屬板。這些金屬板都需要從現(xiàn)有的大塊金屬板

3、上切割下。為生產(chǎn)出滿足訂單要求的金屬板，最少可以使用多少塊大塊金屬板？1.1、問題分析：本題主要是討論車間按需求切割金屬板材時，如何擬定最合理的方案以使工廠經(jīng)濟(jì)效益實(shí)現(xiàn)最大化。問題已知完成此次訂單所能使用的唯一一種標(biāo)準(zhǔn)金屬板材，并給出訂單所需產(chǎn)品規(guī)格與數(shù)量?？紤]到金屬板材是生產(chǎn)中的最大的成本因素，因此在擬定計(jì)劃時遵循節(jié)省原料的原則。首先完成生產(chǎn)樣品的切割模式，再根據(jù)實(shí)際情況，以完成訂單和節(jié)省原料為目標(biāo)制定計(jì)劃。1.2、模型假設(shè)：（1）假設(shè)車間是以減少原料投入為主要節(jié)省方式。實(shí)際上，金屬加工生產(chǎn)中的廢料價值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于完整的原料價值，因此這樣假設(shè)確立了模型是以最小原料使用量為目標(biāo)。（2）金屬切割時不

4、發(fā)生原料總面積減少。在生產(chǎn)實(shí)踐當(dāng)中，由于切割工藝問題，在切割板材是會使切割線位置出現(xiàn)原料耗損（如融化，形變等）。在模型中假設(shè)這種耗損不存在。（3）不考慮切割方式增加所帶來的成本成本增加。作為簡單的直線切割問題，生產(chǎn)模式的增加對設(shè)備要求、人力要求很少，因此對成本的增加微乎其微可以忽略，即不限制切割模式的數(shù)量。（4）假設(shè)所有原材料的大小規(guī)格完全一致，這樣假設(shè)避免一些不確定因素對模型求解時的不利影響，簡化模型。2、模型分析該問題要求對車間生產(chǎn)切割金屬板的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)規(guī)劃，以達(dá)到經(jīng)濟(jì)效益最大化。在題中所給的條件的基礎(chǔ)上，通過窮舉法與實(shí)際意義相結(jié)合的方法，挖掘出題目所給條件的潛在含義，即可搭配的各種合理

5、的切割模式。1.分析找出所有的可能解決方案：方案1: 方案2： 方案3： 方案4： 方案5： 方案6： 方案7： 方案8： 注：方案中顏色最深的代表36*50（dm)的矩形金屬板,顏色第二深的代表24*36（dm)的矩形金屬板，顏色最淺的代表18*30（dm)的矩形金屬板. 2.用數(shù)據(jù)形式列舉所有可能的解決方案的分割情況：產(chǎn)品|模式12345678A11000000B10543210C13013468表2在確立了8種切割模式的基礎(chǔ)上，再建立數(shù)學(xué)模型，以8種模式為基點(diǎn)，將題中訂單需求轉(zhuǎn)化為求解金屬原料此目標(biāo)函數(shù)的約束條件。在通過LINGO軟件的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型求解功能求解出目標(biāo)函數(shù)值，并通過檢驗(yàn)證明

6、，該模型求解出的最少原料使用量與具體切割模式是完全滿足題目要求的。3、模型建立符號說明K 原料使用量xi(i=1,2,38) 照上述1-8方案下料的原料板數(shù)A 36x50(dm)板B 24x36(dm)板C 18x30(dm)板目標(biāo)函數(shù)的建立：K=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;由于采用原料使用量最少原則，因此只需將各種模式下使用原材料的數(shù)量加和得到目標(biāo)函數(shù)K，然后求解滿足題目條件（約束條件）的最小K值。通過已經(jīng)建立的表2，我們可以發(fā)現(xiàn)有模式1、2能切割A(yù)型產(chǎn)品，并且A型小金屬數(shù)量不能少于消費(fèi)者的需求。所以滿足這一項(xiàng)的約束條件是：X1、X2之和大于或等于8； 通過已經(jīng)建立的表2

7、，我們可以發(fā)現(xiàn)有模式1、3、4、5、6、7能切割B型產(chǎn)品，并且B型小金屬數(shù)量不能少于消費(fèi)者的需求。所以滿足這一項(xiàng)的約束條件是：X1、X3、X4、X5、X6、X7之和大于或等于13； 通過已經(jīng)建立的表2，我們可以發(fā)現(xiàn)有模式1、2、4、5、6、7、8能切割C型產(chǎn)品，并且C型小金屬數(shù)量不能少于消費(fèi)者的需求。所以滿足這一項(xiàng)的約束條件是：X1、X2、X4、X5、X6、X7、X8之和大于或等于15；4、LINGO程序的實(shí)現(xiàn)對于這樣一個建立數(shù)學(xué)模型的問題，采用編寫LINGO軟件程序，利用其中的數(shù)學(xué)規(guī)劃功能求解該問題。對于LINGO軟件的使用包括以下幾個步驟：1編寫目標(biāo)函數(shù)，在編程過程中，用min求解K的最小

8、值（最少原料板使用）。2編寫約束條件，根據(jù)之前已經(jīng)分析好的約束條件來編寫。3點(diǎn)擊LINGO按鈕，得到最終可能性的編輯。model:min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;目標(biāo)函數(shù)x1+x2=8;約束條件x1+5*x3+4*x4+3*x5+2*x6+x7=13;x1+3*x2+x4+3*x5+4*x6+6*x7+8*x8=15;x1=0;x2=0;x3=0;x4=0;x5=0;x6=0;x7=0;x8=0;原料板使用數(shù)量不能為負(fù)gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);gin(x6);gin(x7);gin(x8);約束原料板使用數(shù)量為整數(shù)E

9、nd軟件的編程截圖如下：5、 求解結(jié)果利用LINGO軟件，求解出原料板最少使用量以及達(dá)成此目標(biāo)的具體模式分配。運(yùn)行結(jié)果的截圖如下：6、 結(jié)果分析和檢驗(yàn)由程序運(yùn)行結(jié)果可知，最少使用10塊大金屬板。生產(chǎn)模式為：4塊原料板采用模式切割，4塊原料板采用模式2切割，2塊原料板采用模式3切割。此時最佳，即最少可以使用10塊原料板。7、模型的優(yōu)缺點(diǎn)模型的優(yōu)點(diǎn)即，在建立過程中，充分考慮了在解決此問題當(dāng)中的實(shí)際意義，確立了以所用原料最少的目標(biāo)函數(shù)，使模型的大體方向正確，利于解決實(shí)際問題。模型的缺點(diǎn)為，如果涉及的規(guī)劃條件復(fù)雜化，很難采用窮舉法將所有可能的情況全部舉例說明，而且可能遺漏部分需要討論的情況。因此，對待更加復(fù)雜建模問題，不適用