考研數(shù)學(xué)強(qiáng)化班高等數(shù)學(xué)講義-湯家鳳

1、第一講 極限與連續(xù)主要內(nèi)容概括（略）重點(diǎn)題型講解一、極限問題類型一：連加或連乘的求極限問題1求下列極限：（1）；（2）；（3）；2求下列極限：（1）；3求下列極限：（1）；（2）；（3）。類型二：利用重要極限求極限的問題1求下列極限：（1）； （2）；2求下列極限：（1）；（3）； （4）；類型三：利用等價(jià)無窮小和麥克勞林公式求極限的問題1求下列極限：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）設(shè)，求。2求下列極限：類型四：極限存在性問題：1設(shè)，證明數(shù)列收斂，并求。2設(shè)在上單調(diào)減少、非負(fù)、連續(xù)，證明：存在。類型五：夾逼定理求極限問題：1求；2；3。類型六：含參數(shù)的極限問題：1設(shè)，求；2設(shè)

2、，求；類型七：中值定理法求極限：1、；2、。類型八：變積分限函數(shù)求極限：1、。2、設(shè)連續(xù)，且，則。二、連續(xù)與間斷的判斷1設(shè)，討論函數(shù)在處的連續(xù)性。2討論在處的連續(xù)性。三、連續(xù)性命題的證明1設(shè)且存在，證明在上有界。2設(shè)在上連續(xù)，任取，證明：存在，使得。第二講 微分學(xué)第一部分 一元函數(shù)微分學(xué)內(nèi)容復(fù)習(xí)（略）重點(diǎn)題型講解（一）與導(dǎo)數(shù)定義相關(guān)的問題1設(shè)存在，求。2設(shè)在處連續(xù)，且，求。3設(shè)在上有定義，對(duì)任意的有，且，求。4設(shè)二階連續(xù)可導(dǎo)，且，則。5設(shè)在上有定義，且對(duì)任意的有，又當(dāng)時(shí)，有，討論在處的可導(dǎo)性。（二）各類求導(dǎo)數(shù)的問題1設(shè)，求；2設(shè)，求；3，求；4設(shè)由確定，求；5設(shè)，求；6設(shè)，求；7設(shè)由確定，求；

3、8設(shè)在處可導(dǎo)，求；9求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）設(shè)，求；（2）設(shè)，求；10設(shè)連續(xù)，且，求，并討論在處的連續(xù)性。11設(shè)，其中二階可導(dǎo)且。（1）當(dāng)為何值時(shí)，在處連續(xù)；（2）求；（3）研究在處的連續(xù)性。解答：（1），于是當(dāng)時(shí)，在處連續(xù)。（2）當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，于是。（3）因?yàn)椋栽谔庍B續(xù)。12設(shè)在上可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且，求。13設(shè)，求，并討論的連續(xù)性和可導(dǎo)性。（三）高階導(dǎo)數(shù)問題1設(shè)，求；2設(shè)，求。3設(shè)，求。第二部分 一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用內(nèi)容復(fù)習(xí)（略）附：中值定理部分的推廣1設(shè)在的鄰域內(nèi)階連續(xù)可導(dǎo)，則有。2（導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)定理）設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則存在，使得。3（導(dǎo)數(shù)介值定理）設(shè)設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，不妨設(shè)，則對(duì)

4、任意的，存在，使得。4設(shè)，且，則有，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)。重點(diǎn)題型講解（一）中值定理等式的證明類型一：目標(biāo)表達(dá)式中僅含不含端點(diǎn)字母，且導(dǎo)數(shù)之間相差一階1設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使得 。2設(shè)在上可微，且，證明：存在，使得 。3設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，。證明：（1）存在，使得；（2）對(duì)任意的，存在，使得 。類型二：目標(biāo)表達(dá)式中含兩個(gè)中值1設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使得。2設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在，使得 。3設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：對(duì)任意的正數(shù)，存在，使得。4設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)（），證明：存在，使。類型三：目標(biāo)表達(dá)式中含有端點(diǎn)和中值1設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使得 。類型四

5、：目標(biāo)表達(dá)式為1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：存在，使得。3設(shè)在上三階可導(dǎo)，且，證明：存在，使得。4設(shè)，且，證明：存在，使得。類型五：目標(biāo)表達(dá)式為（其中為常數(shù)）1設(shè)，在內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，證明：存在，使得 。2設(shè)在上三階連續(xù)可導(dǎo)，且，證明：存在，使得。3設(shè)為個(gè)不同的實(shí)數(shù)，函數(shù)在上有階導(dǎo)數(shù)，并滿足，則對(duì)每個(gè)，存在滿足等式。（二）中值定理不等式的證明1，在內(nèi)可導(dǎo)，且不是常數(shù)，證明：存在，使得 。2設(shè)，在內(nèi)可導(dǎo)，且曲線非直線，證明：存在，使得 。3，在內(nèi)二階可導(dǎo)，且，證明：存在，使得。4設(shè)在上滿足，且在內(nèi)取到最小值，證明： 。5二階可導(dǎo)，且，證明：。6設(shè)在上二階可導(dǎo)，對(duì)任意的（）及（），證明：

6、。7設(shè)且，證明：。8設(shè)在上有定義且，證明：對(duì)任意的，有。9設(shè)在上二階可導(dǎo)，且，證明：存在，使得 。10設(shè)在的鄰域內(nèi)四階可導(dǎo)，且，證明：對(duì)此鄰域內(nèi)任一不同于的，有 ，其中是關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)。11設(shè)在上二階可導(dǎo)，且，證明：對(duì)任意的，有。12一質(zhì)點(diǎn)從時(shí)間開始直線運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)了單位距離使用了單位時(shí)間，且初速度和末速度都為零。證明：在運(yùn)動(dòng)過程中存在某個(gè)時(shí)刻點(diǎn)，其加速度絕對(duì)值不小于4。（三）求中值定理中的極限問題1設(shè)二階連續(xù)可導(dǎo)，且，又（）。證明：。2設(shè)，證明：。（四）與極值、最值相關(guān)的命題1設(shè)在二階可導(dǎo)，滿足，且，證明：。2求數(shù)列中的最大者。（五）不等式的證明問題1設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，。2證明：。3證明：當(dāng)時(shí)，有

7、。4設(shè)，證明：。5當(dāng)時(shí)，證明。（六）方程根的個(gè)數(shù)討論1討論方程的根的個(gè)數(shù)。2設(shè)內(nèi)有，且，證明：在內(nèi)有且僅有一個(gè)根。3證明方程在內(nèi)有且僅有兩個(gè)根。（七）選擇題1設(shè)在處二階可導(dǎo)，且，則 （ ）（A）是的極大值. （B）是的極小值. （C）是曲線的拐點(diǎn). （D）不是的極值點(diǎn)，也不是曲線的拐點(diǎn).2設(shè)二階連續(xù)可導(dǎo)，則 （ ）是的極小值；是的極大值；是曲線的拐點(diǎn)；不是函數(shù)的極值點(diǎn)，也不是曲線的拐點(diǎn)。3設(shè)二階連續(xù)可導(dǎo)，且，則（ ）是的極小值； 是的極大值；是曲線的拐點(diǎn)； 是的駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn)。4設(shè)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 （ ）0個(gè)； 1個(gè)； 2個(gè)； 3個(gè)。5曲線的漸近線的條數(shù)為 （ ）0條； 1條； 2條；

8、3條。第三部分 多元函數(shù)微分學(xué)內(nèi)容復(fù)習(xí)（一）基本概念1多元函數(shù)的極限：設(shè)的定義域?yàn)?，為平面上一點(diǎn)，若對(duì)于任意的，總存在，當(dāng)時(shí)，有 ，則稱當(dāng)時(shí)以為極限，記為。2多元函數(shù)的連續(xù)：設(shè)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。3偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，若存在，稱函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)可偏導(dǎo)，極限記為；若存在，稱函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)可偏導(dǎo)，極限記為。4可微與全微分：設(shè)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，記 ，若，其中為常數(shù)，則稱在點(diǎn)處可微，稱為在點(diǎn)處的全微分，記為 。注解：（1）若在點(diǎn)處可微，則；（2）若為可微函數(shù)時(shí)，；5方向?qū)?shù)：設(shè)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，從點(diǎn)印一條射線，設(shè)，令。若存在，稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處沿射線的方向?qū)?shù)，記為。

9、注解：（1）設(shè)在點(diǎn)處可微，則（其中為射線與軸正方向的夾角）。（2）設(shè)在點(diǎn)處可微，則，（其中為射線與軸、軸、軸正方向的夾角）。6梯度：設(shè)為二元可微函數(shù)，稱為函數(shù)的梯度，記為。注解：梯度的方向即為函數(shù)在一點(diǎn)處方向?qū)?shù)最大的方向，梯度的模即為方向?qū)?shù)的最大值，因?yàn)椋ㄆ渲袨榕c的夾角），所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)方向?qū)?shù)最大，且最大值為。（二）偏導(dǎo)數(shù)求法1顯函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)；2復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)：（1），其中，求；（2），其中，求；（3），其中，求；3隱函數(shù)（組）求偏導(dǎo)數(shù)：（1）設(shè)，求；（2）設(shè)，求；（3）設(shè)，求，；（4），求及。（三）多元函數(shù)微分學(xué)在函數(shù)極值上的應(yīng)用1無條件極值求函數(shù)極值的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；

10、（2）由求出函數(shù)的駐點(diǎn)；（3）利用判別定理，設(shè)為一個(gè)駐點(diǎn)，令，Case I 若，則點(diǎn)為函數(shù)的極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，為極小點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，為極大點(diǎn)。Case II 若，則不是極值點(diǎn)。Case III 若，則無法確定點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。2條件極值在下求函數(shù)的極值點(diǎn)與極值，采用乘數(shù)法，步驟為：（1）令；（2）由求出可能的極值點(diǎn)；（3）對(duì)可能的極值點(diǎn)進(jìn)行確定。（四）多元函數(shù)微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用（數(shù)學(xué)一，該內(nèi)容包含在空間解析幾何部分）1空間曲線的切線與法平面（1）設(shè)，取參數(shù)，對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)為，切線的方向向量為，切線方程為：，法平面為：。（2）設(shè)，點(diǎn)，則切線的方向向量為 。2空間曲面的切平面與法線設(shè)空間曲面，點(diǎn)，則切平面

11、的法向量為，切平面方程為：，法線方程為：。重點(diǎn)題型講解（一）多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)1求下列極限：（1）； （2）。2討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性。3討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性與可微性。4討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性與可微性。（二）偏導(dǎo)數(shù)的求法1設(shè)，求；2設(shè)二階連續(xù)可微，求。3設(shè)二階可導(dǎo)，二階連續(xù)可偏導(dǎo)，且，求。4設(shè)，且二階連續(xù)可微，求。5設(shè)，其中可微，求。6設(shè)，且是由確定的的函數(shù)，可微，證明： 。7設(shè)，且是由確定的的函數(shù)，可微，求。8設(shè)，且可微，證明：。9設(shè)連續(xù)可偏導(dǎo)，且由確定，求。10，若經(jīng)過變換,其中，求原方程化成的方程形式。解答：由得，又，代入原方程得 。11滿足方程，利用把函數(shù)

12、變成，且滿足，求常數(shù)。解答：，代入上述關(guān)系式得 ，即，則，于是，從而。（三）偏導(dǎo)數(shù)在極值上的應(yīng)用1求由方程所確定的函數(shù)的極值。解答：由得，代入原方程得，所以駐點(diǎn)為。在處，函數(shù)在取極小值；在處，函數(shù)在點(diǎn)處取極大值。2求在區(qū)域上的最大值與最小值。解答：由得，根據(jù)判別法知為極大值。令在上，因?yàn)椋詥握{(diào)減少，故最大，。在上，令，得，分別為在上的最大值與最小值。類似可得在上的最大值與最小值分別為與，在上的最大值與最小值分別為與，綜上所述，與分別為在上的最大值與最小值。3求函數(shù)在區(qū)域上的最值。解答：（1）在內(nèi)，由得。（2）在上，令，由得，因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)域上的最大值為，最小值為。4求橢球內(nèi)接長(zhǎng)方體的最

13、大體積。解答：設(shè)內(nèi)接長(zhǎng)方體在第一卦限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則。令，由得，則最大體積為。（四）偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用1求曲線在點(diǎn)處的切線與法平面。2過直線作曲面的切平面，求此切平面方程。解答：，則，過直線的平面束為 ，其法向量為 。設(shè)所求的切點(diǎn)為，則有，解得或者，故所求的切平面方程為或者。3曲面上一點(diǎn)的切平面為，若過的曲線在的切線為，求平面。解答：切線的方程為，曲面上點(diǎn)處的法向量為 ，則切平面方程為，即。因?yàn)椋?，所以，解得切點(diǎn)的坐標(biāo)為或者，故平面或者。4設(shè)曲面，平面。（1）求曲面上與平行的切平面； （2）曲面與平面之間的最短距離。解答：（1）上處切平面法向量為，平面的法向量為，由得或，代入得，則，切平面

14、方程為或者。（2），所以曲面與平面之間的最短距離為。（五）方向?qū)?shù)與梯度1設(shè)是曲面在點(diǎn)處指向外側(cè)的法向量，求在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)。解答：令，則，取，則，而，所以。第三講 積分學(xué)第一部分 不定積分內(nèi)容復(fù)習(xí)（略）重點(diǎn)題型講解（一）積分概念與直接積分法1設(shè)的一個(gè)原函數(shù)為，求。2。3。（二）換元積分法1計(jì)算下列不定積分（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）。2計(jì)算下列不定積分（1）； （2）；（3）； （4）。（5）； （6）；3計(jì)算下列不定積分（1）； （2）。4計(jì)算下列不定積分（1）； （2）；（3）；5計(jì)算下列不定積分（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；

15、（7）； （8）；（9）；（10）。（三）分部積分法計(jì)算不定積分1；第二部分 定積分及其應(yīng)用內(nèi)容復(fù)習(xí)（略）重點(diǎn)題型講解（一）基本不定積分的計(jì)算1計(jì)算下列定積分（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）。2計(jì)算下列定積分（1）； （2）； （3）；（4）設(shè)，且，求；（5）設(shè)，求；（6）設(shè)可微，且，求。3設(shè)，求。4設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，證明：（1）若為偶函數(shù)，則也是偶函數(shù)；（2）若為非增函數(shù)，則為非減函數(shù)。5設(shè)為可微函數(shù)，為其反函數(shù)（），且，求。6設(shè)，（1）求； （2）求及。7設(shè)，且，證明：函數(shù)在內(nèi)至少兩個(gè)零點(diǎn)。（二）定積分等式的證明1設(shè)，證明：。2設(shè)，證明：。3設(shè)在上連續(xù)，證明：存

16、在，使得 。4設(shè)為偶函數(shù)，（1）證明：； （2）計(jì)算。5設(shè)是連續(xù)函數(shù)，證明：。6設(shè)，證明：存在，使得。7設(shè)，證明：。8設(shè)在區(qū)間上可導(dǎo)，證明：存在，使得 。9設(shè)為以為周期的連續(xù)函數(shù)，證明：。10設(shè)在上二階連續(xù)可導(dǎo)，且。（1）寫出的帶拉格郎日余項(xiàng)的一階馬克勞林公式；（2）證明：存在，使得。11設(shè)在區(qū)間上二階連續(xù)可導(dǎo)，證明：存在，使得 。（三）定積分不等式的證明1設(shè)，證明：。2設(shè)對(duì)任意的，有，證明： 。3設(shè)，證明：。4設(shè)且單調(diào)增加，證明：。5設(shè)在上連續(xù)且單調(diào)減少，證明：。6設(shè)且單調(diào)減少，證明：對(duì)任意的，有。7設(shè)在區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)，且，證明：。8設(shè)在上連續(xù)可導(dǎo)，且，證明： 。9設(shè)在上連續(xù)可導(dǎo)，且，證明：

17、，其中。10設(shè)在上連續(xù)可微，且，證明： 。11設(shè)在上連續(xù)可微，證明：對(duì)任意的，有 。12設(shè)有界，且連續(xù)，對(duì)任意的有，證明： 。13設(shè)連續(xù)可導(dǎo)，且，（1）求；（2）證明：。14設(shè)，證明：。（四）廣義積分1； 2； 3；4。 5。 6。 7。（五）定積分的應(yīng)用1設(shè)為區(qū)間上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)。（1）證明存在，使得在區(qū)間上以為高的矩形面積，等于區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形的面積。（2）設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明（1）中的是唯一的。2求由圓與拋物線所圍成平面圖形的面積。3求雙紐線所圍成的面積。4求由曲線與軸圍成的部分繞直線旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積。5設(shè)滿足，由及軸（）所圍成的平面區(qū)域?yàn)?，若繞軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體

18、體積最小，求：（1）曲線的方程； （2）曲線的原點(diǎn)處的切線與曲線及直線圍成的圖形面積。6為清除井底污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥提出井口。設(shè)井深30米，都自重400牛，纜繩每米重50牛，抓斗盛污泥2000牛，提升速度為3米/秒,在提升過程中,污泥以20牛/秒的速度從抓斗中漏掉?，F(xiàn)將抓斗從井底提升至井口，問克服重力做功多少？第三部分 二重積分與三重積分內(nèi)容復(fù)習(xí)（略）重點(diǎn)題型講解（一）重積分基本概念與性質(zhì)1設(shè)連續(xù)，其中，求。2設(shè)，求。3設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，且，證明：存在，使得 。（二）二重積分的常規(guī)計(jì)算1交換積分次序。2、計(jì)算。3改變積分次序并計(jì)算。4計(jì)算，其中由與圍成。5計(jì)算，其中由及圍

19、成。6計(jì)算，其中。（三）奇偶性計(jì)算1計(jì)算，其中是由及圍成的區(qū)域。2計(jì)算，其中。3、設(shè)連續(xù)，區(qū)域由圍成，計(jì)算 。（四）三重積分的常規(guī)計(jì)算1計(jì)算，其中由圍成。2，其中由。3求，其中是由繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面與圍成的幾何體的體積。4求，其中是由繞軸一周所得旋轉(zhuǎn)題介于與之間的幾何體。5，其中。6設(shè)可微，且，求，其中。（五）三重積分對(duì)稱性及奇偶性的計(jì)算1求，其中。（六）重積分等式與不等式的證明1設(shè)，證明：。2設(shè)且，證明：。（七）重積分的應(yīng)用1半徑為的球面中心在定球面上，問為何值時(shí)，在定球面內(nèi)的面積最大？2高度為（其中為時(shí)間）的雪堆在融化過程中其側(cè)面滿足，已知體積減少的速度與側(cè)面面積所成比例系數(shù)為，問高度為

20、的雪堆全部融化需要多少時(shí)間？第四部分 曲線與曲面積分內(nèi)容復(fù)習(xí)一、曲線積分（一）對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分1問題的產(chǎn)生曲線段的質(zhì)量問題設(shè)為曲線段，其線密度為，求其質(zhì)量。（1）任?。唬?）；（3）。2對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分（第一類曲線積分）稱為函數(shù)在曲線段上的對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分（課本的概念簡(jiǎn)單了解）3對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的性質(zhì)（1）；（2）；（3）；（4）（曲線段的常數(shù)）。4計(jì)算方法定積分法（1）設(shè)，則，于是。（2）設(shè)，則，于是。例題1 計(jì)算，其中。例題2 計(jì)算，其中。（二）對(duì)坐標(biāo)的曲線積分（第二類曲線積分）1問題的產(chǎn)生功（1）理想狀態(tài)（2）一般狀態(tài)2對(duì)坐標(biāo)的曲線積分（第二類曲線積分），稱為函數(shù)在有向曲線段上對(duì)坐標(biāo)的曲

21、線積分（課本定義了解即可）。3性質(zhì)：。4計(jì)算方法方法一：定積分法（1）設(shè)（起點(diǎn)，終點(diǎn)），則；（2）（起點(diǎn)，終點(diǎn)），則。方法二：格林公式定理 設(shè)為連通區(qū)域（單連通或多連通，單連通邊界正向?yàn)槟鏁r(shí)針方向；多連通區(qū)域邊界正向是外圈為逆時(shí)針，內(nèi)圈為順時(shí)針），其邊界為，在區(qū)域上一階連續(xù)可偏導(dǎo)，則有 ，其中邊界時(shí)正向是取正號(hào)，邊界為負(fù)向時(shí)負(fù)號(hào)。方法三：曲線積分與路徑無關(guān)的條件在單連通區(qū)域上，在計(jì)算曲線積分時(shí)，有時(shí)起點(diǎn)和終點(diǎn)相同但路徑不同，則曲線積分的結(jié)果不相等，有時(shí)起點(diǎn)和終點(diǎn)相同，而路徑不同，但曲線積分的結(jié)果相同，這就是曲線積分與路徑無關(guān)的問題，在單連通區(qū)域上，與路徑無關(guān)的等價(jià)命題有（1）對(duì)中任意的封閉曲線

22、，有；（2）在內(nèi)恒有（柯西黎曼條件）；（3）存在，使得。若曲線積分與路徑無關(guān)，則。補(bǔ)充：全微分方程及解法對(duì)微分方程 （*）若，稱為全微分方程，由曲線積分與路徑無關(guān)的條件，存在，使得，從而，于是原方程的通解為 ，其中。方法四：兩類曲線積分之間的關(guān)系（1），其中為有向曲線切向量的方向余弦；（2），其中為有向曲線切向量的方向余弦。二、曲面積分（一）對(duì)面積的曲面積分（第一類曲面積分）1問題的產(chǎn)生空間曲面的質(zhì)量設(shè)為空間的有限曲面，其面密度為，求其質(zhì)量。（1）任?。唬?）；（3）。2對(duì)面積的曲面積分 稱為函數(shù)在曲面上對(duì)面積的曲面積分（課本定義了解即可）。3性質(zhì)：（與定積分類似，略）4計(jì)算方法二重積分法對(duì)，

23、不妨將向面投影（也可向其他平面投影，要視二重積分的計(jì)算）。（1）；（2）；（3）。（二）對(duì)坐標(biāo)的曲面積分（第二類曲面積分）1問題的產(chǎn)生流量設(shè)為有側(cè)的有限曲面，速度場(chǎng)為，求單位時(shí)間內(nèi)流入指定側(cè)的流量。（1）任取，其中；（2）；（3）。2對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義稱為函數(shù)在有側(cè)曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，以此類推。3性質(zhì)：。4計(jì)算方法方法一：二重積分法（以為例）（1）；（2）（當(dāng)曲面的側(cè)為上側(cè)時(shí)去正號(hào)，當(dāng)曲面的側(cè)取下側(cè)時(shí)取負(fù)號(hào)）（同理可研究其他兩種情況）方法二：高斯公式定理 設(shè)為有側(cè)曲面，為其圍成的幾何體，且在上一階連續(xù)可偏導(dǎo)，則有 。（其中曲面取外側(cè)時(shí)取正號(hào)，曲面取內(nèi)側(cè)時(shí)取負(fù)號(hào)）方法三：兩類曲面積分之間

24、的關(guān)系，其中為曲面上一點(diǎn)的法向量的方向余弦。三、斯托克斯公式定理 設(shè)為空間有側(cè)曲面，其邊界曲線為，的方向與的側(cè)按右手準(zhǔn)則確定，函數(shù)在包含的區(qū)域內(nèi)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，則有 。四、幾個(gè)概念1梯度：設(shè)，則；2旋度：設(shè)，則。3散度：設(shè)，則。重點(diǎn)題型講解（一）曲線積分部分1。2，其中為從點(diǎn)的弧段。3，其中的圓周從點(diǎn)到點(diǎn)的一段。4求。解答：，因?yàn)椋以诔c(diǎn)的區(qū)域上連續(xù)可偏導(dǎo)，所以在除原點(diǎn)的單連通區(qū)域上曲線積分與路徑無關(guān)，取的上半橢圓且方向?yàn)槟鏁r(shí)針，則有 ，即，而，所以。5其中是從點(diǎn)的直線段。解答：，因?yàn)椋郧€積分與路徑無關(guān)，取路徑，則有。6（其中為常數(shù)），一周的任意正向閉曲線，求。7位于，質(zhì)點(diǎn)沿從點(diǎn)。解

25、答：，質(zhì)點(diǎn)的引力為 ，則，令，因?yàn)?，所以曲線積分與路徑無關(guān)，從而。8在力，質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到橢球上第一卦限的點(diǎn)，問當(dāng)。解答：，令，由得，則。（二）曲面積分部分1計(jì)算下列曲面積分：（1）；（2）。2，其中，。解答：，則，則，。3。4。5計(jì)算所圍成的曲面的外側(cè)。6。7求的上側(cè)（）。曲線與曲面積分部分8。解答：，因?yàn)?，所以?求的交線，從軸正向看是逆時(shí)針。解答：，由Stokes公式得 ，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?。第四講 空間解析幾何內(nèi)容復(fù)習(xí)（略）重點(diǎn)題型講解1求經(jīng)過平面的交線，且與平面垂直的平面方程。2求過直線的平面方程。3求經(jīng)過點(diǎn)及直線交點(diǎn)的平面方程。4設(shè)空間點(diǎn)，平面，求一條經(jīng)過點(diǎn)與平行且與相交

26、的直線方程。5求直線，并求其介于與之間的幾何體的體積。6求兩異面直線之間的距離。第五講 級(jí)數(shù)內(nèi)容復(fù)習(xí)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（一）基本概念與性質(zhì)1定義（1）級(jí)數(shù)設(shè)為一個(gè)數(shù)列，稱為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（即所有項(xiàng)之和或全部和）（2）收斂稱為級(jí)數(shù)的部分和，所極限存在，稱級(jí)數(shù)收斂，設(shè)，即。2性質(zhì)（1）設(shè)，則，。（2）設(shè)，則，特別地，若，則與斂散性相同。（3）添加、減少、改變級(jí)數(shù)的前有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的斂散性（若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)的和可能產(chǎn)生改變）。（4）若級(jí)數(shù)收斂，則任意添加括號(hào)后的級(jí)數(shù)收斂，且收斂于相同的和，反之不對(duì)。（5）（級(jí)數(shù)收斂的必要條件）若級(jí)數(shù)收斂，則，反之不對(duì)。例1 發(fā)散，而。例2 判斷級(jí)數(shù)的斂散性。3兩個(gè)特殊

27、的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）級(jí)數(shù) 。（2）幾何級(jí)數(shù) （）。（二）正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判斷1定義對(duì)，若一切的，稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。特點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)增加，若存在，使，則存在，從而收斂，于是有如下的正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法：2判別法（1）方法一：比較審斂法定理1（基本形式）設(shè)與皆為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，1）若且收斂，則收斂；2）若且發(fā)散，則發(fā)散。例子：判斷的斂散性。定理（極限形式）設(shè)與皆為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，則與斂散性相同。例子 判斷的斂散性。（2）方法二：比值審斂法定理2 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)的斂散性不確定。例子 判斷的斂散性。（3）方法三：根值審斂法定理3 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)的斂散

28、性不確定。例子 判斷的斂散性。（三）交錯(cuò)級(jí)數(shù)及審斂法1交錯(cuò)級(jí)數(shù)的定義或（）稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。2判別法定理 對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)（），若滿足（1）單調(diào)減少；（2），則級(jí)數(shù)收斂。注解 單調(diào)減少條件不可少。例1 中，取，判斷的斂散性。解答 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，從而，即為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，又，但，因?yàn)槭諗?，而發(fā)散，所以發(fā)散，根本原因在于沒有單調(diào)性。例2 設(shè)收斂，問是否收斂？例3 若為正項(xiàng)收斂級(jí)數(shù)，問是否收斂？例4 設(shè)單調(diào)減少且，若交錯(cuò)級(jí)數(shù)發(fā)散，判斷級(jí)數(shù)的斂散性。（四）一般常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的條件收斂與絕對(duì)收斂1定義若收斂，而發(fā)散，稱條件收斂；若收斂，稱絕對(duì)收斂。2絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系定理 若絕對(duì)收斂，則一定收斂。二、冪級(jí)數(shù)（一）基

29、本概念1冪級(jí)數(shù)或稱為冪級(jí)數(shù)。2收斂半徑對(duì)冪級(jí)數(shù)，若存在，當(dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，稱為級(jí)數(shù)的收斂半徑。（二）收斂半徑的求法及收斂域1收斂半徑的求法（1）方法一：對(duì)，設(shè)，則（注意時(shí)；時(shí)）（2）方法二：對(duì)，設(shè)，則（注解同上）2求收斂域的例子（1）求的收斂域。（2）求的收斂域。注解（1）對(duì)，若，則。同樣，若冪級(jí)數(shù)相鄰兩項(xiàng)次數(shù)跨度為3，則取倒數(shù)的同時(shí)要開3次方。（2）若在處條件收斂，則。（三）函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)1方法一：公式法（直接法） ，級(jí)數(shù)稱為函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，稱為函數(shù)的馬克勞林級(jí)數(shù)。記?。海?）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。2方法二：間接法定理1 設(shè)的收斂半徑為，則當(dāng)

30、時(shí)，且兩個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑相同。定理2設(shè)的收斂半徑為，則當(dāng)時(shí)，且收斂半徑相同。（四）冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)及特殊常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和重點(diǎn)題型講解（一）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)問題1判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）；（2）。解答：（1）由，得，因?yàn)椋栽?jí)數(shù)收斂。（2），因?yàn)?，所以原?jí)數(shù)收斂。2判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：（1）； （2）； （3）； （4）。3判斷級(jí)數(shù)的斂散性。解答：設(shè)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，從而級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，又，所以收斂。4判別下列級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂還是條件收斂？解答：（1），因?yàn)?，所以。令，因?yàn)?，所以單調(diào)減少，又，故條件收斂。5設(shè)中哪個(gè)一個(gè)收斂？6設(shè)都收斂，且有，證明：收斂。7設(shè)偶函數(shù)，且，證明：絕對(duì)收斂。

31、8設(shè)，證明：（1）若收斂，則收斂； （2）若發(fā)散，則發(fā)散。（二）冪級(jí)數(shù)問題1求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間：2求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。解答：，對(duì)，收斂區(qū)間為；對(duì)，收斂區(qū)間為，故原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。3求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)：（1）； （2），并求； （3）。4求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)：（1）； （2），并求； （4）。5將展開成的冪級(jí)數(shù)。7將下列函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)：（1）； （2）； （3）。8設(shè)，且滿足，證明：當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂并求其和函數(shù)。解答：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，則，故當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。令，則，則。9求下列常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和：（1）； （2）。（三）傅里葉級(jí)數(shù)問題1將函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)。解答：顯然在

32、上滿足收斂定理?xiàng)l件，將函數(shù)進(jìn)行周期延拓，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，（），當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于，故（，且）。2將函數(shù)展開成以2為周期的傅里葉級(jí)數(shù)并求。解答：在上滿足收斂定理的條件，且為偶函數(shù)，則，（），（），則（），取，則，。3將函數(shù)展開成以4為周期的余弦級(jí)數(shù)。解答：將進(jìn)行偶延拓和周期延拓，則，則（）。第六講 微分方程內(nèi)容復(fù)習(xí)（略）注：歐拉方程及解法1定義：稱為歐拉方程。2解法：令，則，代入原方程即為高階常系數(shù)線性微分方程。重點(diǎn)題型講解1求下列微分方程的通解：（1）； （2）；（3）； （4）（5）。2求下列微分方程的通解：（1）；（2）；解答：（2）由得，則。3求微分方程滿足初始條件的特解。解答：令，則，則原方程化為，解得 。因?yàn)?，所以，即，從而，再由得，所求解為?求微分方程的通解。解答：由得，解得，故原方程的通解為 。5求微分方程滿足初始條件的特解。解答：令，則有，解得，因?yàn)?，所以，即，積分得，因?yàn)椋?，?/p>