高中數(shù)學(xué) 33《一元二次方程根的分布》學(xué)案 蘇教版必修

1、第33課時 一元二次方程根的分布【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解一元二次方程根的分布情況；2在利用二次函數(shù)的圖象討論一元二次方程根的分布的情況的過程中，體會數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想【課前導(dǎo)學(xué)】設(shè)方程的不等兩根為且，相應(yīng)的二次函數(shù)為，方程的根即為二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)，它們的分布情況見下表 表一：（請獨(dú)立完成）分布情況兩個負(fù)根即兩根都小于0兩個正根即兩根都大于0一正根一負(fù)根即一個根小于0，一個大于0大致圖象（）得出的結(jié)論大致圖象（）得出的結(jié)論綜合結(jié)論（不討論）【課堂活動】一建構(gòu)數(shù)學(xué)： 表二：（探究討論）分布情況兩根都小于即兩根都大于即一個根小于，一個大于即大致圖象（）得出的結(jié)論大致圖象（）得出的結(jié)論綜合結(jié)論

2、（不討論）表三：（探究討論）分布情況兩根都在內(nèi)兩根有且僅有一根在內(nèi)（圖象有兩種情況，只畫了一種）一根在內(nèi)，另一根在內(nèi)，大致圖象（）得出的結(jié)論或大致圖象（）得出的結(jié)論或綜合結(jié)論（不討論）根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間外，即在區(qū)間兩側(cè)，（圖形分別如下）需滿足的條件是 （1）時，； （2）時，對以上的根的分布表中一些特殊情況作說明：（1）兩根有且僅有一根在內(nèi)有以下特殊情況：1若或，則此時不成立，但對于這種情況是知道了方程有一根為或，可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值如方程在區(qū)間上有一根，因?yàn)?，所以，另一根為，由得即為所求?方程有且只有一根，且這個根在區(qū)

3、間內(nèi)，即，此時由可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶入方程，求出相應(yīng)的根，檢驗(yàn)根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應(yīng)的參數(shù)例如方程有且一根在區(qū)間內(nèi)，求的取值范圍分析：由即得出；由即得出或，當(dāng)時，根，即滿足題意；當(dāng)時，根，故不滿足題意；綜上分析，得出或二應(yīng)用數(shù)學(xué)：例1關(guān)于x的方程有兩實(shí)根，且一個大于1，一個小于1，求m的取值范圍；關(guān)于x的方程有兩實(shí)根在內(nèi)，求m的取值范圍；關(guān)于x的方程有兩實(shí)根在外，求m的取值范圍；關(guān)于x的方程有兩實(shí)根，且一個大于4，一個小于4，求m的取值范圍【思路分析】按題意畫函數(shù)圖像，由圖像列出不等式解：令f(x)= ， 對應(yīng)拋物線開口向上， 方程有兩實(shí)根，且一個大于1，一個

4、小于1，等價于f(1)0 , 即 解得 據(jù)題意 得 由圖知，原命題等價于 令g(x)= ，據(jù)題意 得可以解得 【解后反思】討論一元二次方程根的分布問題的解題的步驟：1根據(jù)條件畫出圖象；2根據(jù)圖象寫出字母參數(shù)必須滿足的條件；3解不等式組畫圖像時要注意開口方向的確定例2當(dāng)關(guān)于的方程的根滿足下列條件時，求實(shí)數(shù)的取值范圍：（1）方程的一個根在區(qū)間上，另一根在區(qū)間上；（2）方程至少有一個實(shí)根小于解：（1）設(shè)，則方程一個根在上，另一根在上等價于 或（2）設(shè)，若方程的兩個實(shí)根都小于，則有 若方程的兩個根一個大于，另一個小于1，則有, 若方程的兩個根中有一個等于，由根與系數(shù)關(guān)系知另一根必為， 綜上，方程至少有一實(shí)根小于時，三理解數(shù)學(xué)：1已知二次方程有一正根和一負(fù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：由 即 ，從而得即為所求的范圍2已知方程有兩個不等正實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：由 或即為所求的范圍【課后提升】1 若方程在內(nèi)恰有一解，則的取值范圍是 2已知二次函數(shù)與軸有兩個交點(diǎn)，一個大于1，一個小于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：由 即 即為所求的范圍3已知二次方程只有一個正根且這個根小于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：由題意有方程在區(qū)間上只有一