《matlab4線性規(guī)劃》PPT課件.ppt

1、第四章 線性規(guī)劃,引言,什么是線性規(guī)劃 如果最優(yōu)化問題三要素中的目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的，則該最優(yōu)化問題稱為線性規(guī)劃問題 線性規(guī)劃的應(yīng)用和發(fā)展 線性規(guī)劃（Linear Programming，簡(jiǎn)寫成LP）是最優(yōu)化理論和方法中的重要領(lǐng)域之一。其理論上的完整性、方法上的有效性以及應(yīng)用上的廣泛性，較其他分支都成熟的多，同時(shí)很多實(shí)際問題都可以轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃來解決 線性規(guī)劃的要點(diǎn)就是在滿足線性約束條件的前提下，使預(yù)定的線性目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)。現(xiàn)在線性規(guī)劃已不僅僅是一種數(shù)學(xué)方法，在理論上，它啟發(fā)了諸如對(duì)偶、凸性等最優(yōu)化理論的核心概念，在實(shí)際中更是大量被運(yùn)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理學(xué)領(lǐng)域，成為科學(xué)決策的一個(gè)有效手段

2、 喬治丹齊格（G. B. Dantzig）被認(rèn)為是線性規(guī)劃之父。自從1947年他提出求解線性規(guī)劃的單純形方法以來，線性規(guī)劃在理論上趨向成熟，在應(yīng)用上也日益深入，成為科學(xué)與工程領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型。特別是在計(jì)算機(jī)能處理海量約束條件和設(shè)計(jì)變量的線性規(guī)劃問題之后，線性規(guī)劃就更加受到青睞,線性規(guī)劃的典型實(shí)例,運(yùn)輸問題 設(shè)有兩個(gè)建材廠C1和C2，每年沙石的產(chǎn)量分別為35萬噸和55萬噸，這些沙石需要供應(yīng)到W1、W2和W3三個(gè)建筑工地，每個(gè)建筑工地對(duì)沙石的需求量分別為26萬噸、38萬噸和26萬噸，各建材廠到建筑工地之間的運(yùn)費(fèi)（萬元/萬噸）如表所示，問題是應(yīng)當(dāng)怎么調(diào)運(yùn)才能使得總運(yùn)費(fèi)最少？,線性規(guī)劃的典型實(shí)例

3、,運(yùn)輸問題 問題分析 假設(shè)xij代表建材廠Ci運(yùn)往建筑工地Wj的數(shù)量（萬噸），則各建材廠和工地之間的運(yùn)量可以用下表來表示 目標(biāo)函數(shù)即為總運(yùn)費(fèi) 建材廠C1、 C2的輸出量應(yīng)分別為建材廠C1、 C2的產(chǎn)量 各工地的沙石需求量應(yīng)當(dāng)為從各建材廠接收到沙石的總量 運(yùn)輸量xij為一非負(fù)值,線性規(guī)劃的典型實(shí)例,運(yùn)輸問題 數(shù)學(xué)模型 線性規(guī)劃問題的特征 均可以用一組設(shè)計(jì)變量來表示一種實(shí)施方案 每個(gè)問題都有一定的約束條件，這些條件可以用一組線性等式或者線性不等式表達(dá) 在上述前提下，一般都有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，該函數(shù)用于衡量方案的優(yōu)劣，可以表達(dá)為設(shè)計(jì)變量的一個(gè)線性函數(shù)，我們的目的一般為使得目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或者最小值,線

4、性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)型,線性規(guī)劃問題的一般標(biāo)準(zhǔn)型 根據(jù)線性規(guī)劃的定義，線性規(guī)劃問題即求取設(shè)計(jì)變量x=x1, x2, xnT的值，在線性約束條件下使得線性目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大，線性規(guī)劃問題的一般標(biāo)準(zhǔn)型為： 其中，ci 、aij 、bi 為給定的常數(shù) 線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn) 目標(biāo)函數(shù)為設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù)，且需要極大化； 約束條件為設(shè)計(jì)變量的一組線性等式，也稱為約束方程組； 設(shè)計(jì)變量x1, x2, xn都有非負(fù)限制。,線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)型,線性規(guī)劃問題的矩陣標(biāo)準(zhǔn)型 利用向量或矩陣符號(hào)，線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)型還可以用矩陣形式表達(dá)： 其中 為n維行向量 為mn維矩陣 為m維列向量 為n維列向量 是指其各分量,

5、線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)型,不同類型的非標(biāo)準(zhǔn)型化為標(biāo)準(zhǔn)型的方法 問題為極小化目標(biāo)函數(shù) 設(shè)原有線性規(guī)劃問題為極小化目標(biāo)函數(shù) 則可設(shè) 將極小化目標(biāo)函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為極大化目標(biāo)函數(shù)問題 約束條件為不等式 如果原有線性規(guī)劃問題的約束條件為不等式，則可增加一個(gè)或減去一個(gè)非負(fù)變量，使約束條件變?yōu)榈仁?，增加或減去的這個(gè)非負(fù)變量稱為松弛變量。例如，假如約束為 則可以在不等式的左邊增加一個(gè)非負(fù)變量xn+1，使不等式變?yōu)榈仁?如果約束為 則可在不等式的左邊減去一個(gè)非負(fù)變量xn+1， 使不等式變?yōu)榈仁?模型中的某些變量沒有非負(fù)限制 若對(duì)某個(gè)變量xj并無限制，取值可正可負(fù)，這時(shí)可設(shè)兩個(gè)非負(fù)變量 和 ，令 注意到，因?yàn)閷?duì)原設(shè)計(jì)變

6、量進(jìn)行了代換，還需要將代換式代入目標(biāo)函數(shù)和其他約束條件做相應(yīng)的代換，這樣就可以滿足線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)變量非負(fù)的要求,線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)型,例子 將線性規(guī)劃模型標(biāo)準(zhǔn)化 將目標(biāo)函數(shù)兩邊乘上-1轉(zhuǎn)化為求極大值 原問題的約束條件中的前兩個(gè)條件均為不等式，在第一個(gè)不等式的左邊加上一個(gè)松弛變量x4，在第二個(gè)不等式的左邊減去一個(gè)松弛變量x5，將兩者轉(zhuǎn)化為等式約束 原問題對(duì)設(shè)計(jì)變量x3沒有非負(fù)限制，故在此引入非負(fù)變量 和 ，令 經(jīng)過上述步驟整理后的標(biāo)準(zhǔn)型為,線性規(guī)劃問題中解的概念,概述 為了幫助分析線性規(guī)劃求解過程，先介紹線性規(guī)劃解的概念。仍然考慮式(4-2)中的線性規(guī)劃的矩陣標(biāo)準(zhǔn)型： 求解上述線性規(guī)劃問題實(shí)際

7、上就是要求出向量x=x1,x2,xnT使其滿足Ax=b和x0，且目標(biāo)函數(shù)f達(dá)到最大值，這個(gè)向量稱為線性規(guī)劃問題的解。 當(dāng)求解Ax=b時(shí)，假設(shè)獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)為m個(gè)，設(shè)計(jì)變量的維數(shù)為n，根據(jù)線性代數(shù)的知識(shí)，如果m=n，則方程有唯一解，無優(yōu)化的自由度；如果mn，方程個(gè)數(shù)大于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，則有些約束可能不能被滿足，上述兩類問題不在我們探討的范圍之列，也就是我們僅討論mn的情況，在這個(gè)前提下，方程將有無窮多組解，如果需要直接從這無窮多組解中找出一個(gè)非負(fù)解使得目標(biāo)函數(shù)取得最大值是很難的 下面將分步驟詳細(xì)分析如何獲得這個(gè)線性規(guī)劃問題的解，同時(shí)介紹在這類問題中的幾個(gè)概念,線性規(guī)劃問題中解的概念,基本解 如果線

8、性規(guī)劃問題的解存在，則它必定是滿足Ax=b的有限多個(gè)“基本解”中選出的，那么我們的第一個(gè)任務(wù)就是找出滿足方程Ax=b的基本解 假設(shè)獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)為m個(gè)，故Ax=b的系數(shù)矩陣A的秩為m，于是A中必有m個(gè)列向量是線性無關(guān)的，不妨假設(shè)A中的前m個(gè)列向量線性無關(guān)，則這m個(gè)列向量可以構(gòu)成矩陣A的m階非奇異子矩陣，用矩陣B表示： B是一個(gè)m階的滿秩方陣，稱B為線性規(guī)劃問題的基，其每一個(gè)列向量Pj稱為基向量，基向量所對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)變量稱為基變量，記為 A中其余n-m個(gè)列向量則構(gòu)成非基矩陣，用矩陣N表示： 非基矩陣N的每一個(gè)列向量稱為非基向量，非基向量所對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)變量稱為非基變量，記為,線性規(guī)劃問題中解的概念,基

9、本解 根據(jù)上述分析，可以將方程組Ax=b轉(zhuǎn)化為 于是有 上式稱為約束方程組Ax=b的一個(gè)基本解， 一般來說，如果線性規(guī)劃問題中有n個(gè)設(shè)計(jì)變量，在Ax=b中有m個(gè)約束方程(nm)，則基本解的數(shù)量小于或等于 基本解不是線性規(guī)劃問題的解，而是僅滿足約束方程組的解,線性規(guī)劃問題中解的概念,可行解、可行域 上面的分析僅考慮了約束方程組Ax=b，下面進(jìn)一步考慮線性規(guī)劃問題的非負(fù)約束。我們稱既滿足約束方程組Ax=b，又滿足非負(fù)約束x0的解為線性規(guī)劃問題的可行解，即可行解滿足線性規(guī)劃問題的所有約束?？尚薪獾募戏Q為可行域，記作： 基本可行解 特別的，若線性規(guī)劃問題的基本解能夠滿足線性規(guī)劃問題中的非負(fù)約束，即：

10、 則稱該解xB為基本可行解，簡(jiǎn)稱基可行解，稱B為可行基?；尚薪獾臄?shù)量不會(huì)超過 個(gè)。顯然，基本可行解一定是可行解，基可行解是可行域中一種特殊的解 最優(yōu)解 能使得線性規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到最大的可行解稱為最優(yōu)解。線性規(guī)劃問題中的最優(yōu)解，一定可以在基可行解中找到，而基可行解的數(shù)量是有限的，因而這就在理論上保證了可以在有限的步驟之內(nèi)求出線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。,線性規(guī)劃問題中解的概念,實(shí)例 線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型為 于是 取矩陣A的線性無關(guān)列P1和P2構(gòu)成2階非奇異子矩陣 ，B1是線性規(guī)劃問題的一個(gè) 基矩陣，與其對(duì)應(yīng)的基變量為x1和x2，即 ，相應(yīng)的非基矩陣和非基變量分別為 令非基變量x3=0，可以求出對(duì)應(yīng)

11、基矩陣B1的基本解為 ，基矩陣B1解向量的各分量均為非負(fù)，故是線性規(guī)劃問題的基本可行解。如果這個(gè)解可以使得目標(biāo)函數(shù)取得最大值則該解為最優(yōu)解。是否最優(yōu)解的判斷方法將在后續(xù)的章節(jié)中探討。 若取矩陣A的后兩個(gè)線性無關(guān)列P2和P3，構(gòu)成線性規(guī)劃的另一個(gè)基矩陣 用相同的方法進(jìn)行分析，可知，此時(shí)的基變量為x2和x3，非基變量為x1，于是令x1=0，可以得到對(duì)應(yīng)基矩陣B2的一組基本解為： ，由于對(duì)應(yīng)基矩陣B2解向量的第二個(gè)分量即x3為負(fù)，故該解不是線性規(guī)劃問題的基本可行解 由理論分析可知，該線性規(guī)劃問題基本解的個(gè)數(shù)為3個(gè)，也就是還可以選取P1和P3構(gòu)成基矩陣B3，求取該問題的第三個(gè)基本解，只要有一個(gè)基矩陣，

12、就可以求出一個(gè)對(duì)應(yīng)的基本解，至于該基本解是否基本可行解和最優(yōu)解則需要進(jìn)一步判斷。,線性規(guī)劃問題的圖解法,用圖解法求解如下二維線性規(guī)劃問題 分析可行域 引入平面直角坐標(biāo)系，以x1作為橫軸，以x2作為縱軸，由于線性規(guī)劃問題滿足非負(fù)條件x1, x20，故問題的探討局限在平面直角坐標(biāo)系的第一象限 分析x1-2x24，取直線x1-2x2=4，則直線上的點(diǎn)和直線以上的區(qū)域滿足該不等式 分析x1+2x28，取直線x1+2x2=8，則直線上的點(diǎn)和直線以下的區(qū)域滿足不等式 于是可行域?yàn)樗倪呅蜛CBO內(nèi)的區(qū)域（包括邊界上的點(diǎn)），在圖中用陰影表示 分析最優(yōu)解 分析目標(biāo)函數(shù)f =x1+x2，可以將其改寫成為x2=-x

13、1+ f 可以發(fā)現(xiàn)改寫后的方程是以f為參量，以-1為斜率的一 族平行的直線，這些平行線越向右上方移動(dòng)，離原點(diǎn) 越遠(yuǎn)，對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值就越大。當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)到經(jīng)過 點(diǎn)C時(shí)，即不能再繼續(xù)向上移動(dòng)，否則將脫離線性規(guī) 劃問題的可行域，故線性規(guī)劃問題在點(diǎn)C達(dá)到最大值,線性規(guī)劃問題求解的單純形法,理論基礎(chǔ) 稱T(B)為對(duì)應(yīng)于基B的單純形表，b0j (j=1,2n)稱為檢驗(yàn)數(shù) 線性規(guī)劃問題最優(yōu)解的判定 若T(B)中所有檢驗(yàn)數(shù)b0j 0 (j=1,2n) ，則xB=B-1b-B-1NxN是最優(yōu)解。 若T(B)中有某一個(gè)檢驗(yàn)數(shù)b0,m+s 0 ，且在該列中的bi,m+s0 (i=1,2,m)， 則線性規(guī)劃問題無最優(yōu)

14、解,線性規(guī)劃問題求解的單純形法,單純形迭代(步驟1) 建立初始單純形表T(B)，確定T(B)中的樞點(diǎn)（Pivot）項(xiàng) 確定進(jìn)基變量 在所有b0j0的檢驗(yàn)數(shù)中，選出最小的一個(gè)b0s，對(duì)應(yīng)的非基變量為xs , 此時(shí)，即已確定xs為進(jìn)基變量，即下一次的迭代中將以xs作為進(jìn)基變量 確定出基變量 取 （若有幾個(gè)相同的最小者，則取基變量下標(biāo)最小者）記 此時(shí)， 即已確定出基變量為xr 確定樞點(diǎn)項(xiàng) 由確定出基變量時(shí)所得的結(jié)論，可知，brs即被稱為樞點(diǎn)項(xiàng)，此時(shí)，需要對(duì)樞點(diǎn)項(xiàng)brs進(jìn)行標(biāo)注，例如右上角加*號(hào)或者用括號(hào)括起來等方式，以便于后面的討論和分析,線性規(guī)劃問題求解的單純形法,單純形迭代(步驟2) 調(diào)換基變量

15、，構(gòu)造新基，構(gòu)造新的單純形表 確定新基 對(duì)單純形表進(jìn)行變換 目的是使得下一步對(duì)基 的單純形表 進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，使得向量 變?yōu)閱挝幌蛄浚词沟梅至縝rs取1，其它分量取0，在這個(gè)過程中運(yùn)用的是Gauss-Jordan消元法，Gauss-Jordan消元法實(shí)際上就是下述兩次變換 第一次變換，使brs=1 為了使brs=1，只需將原表數(shù)用brs去除第r行各數(shù)，得新表第r行各數(shù)，即 第二次變換，使bis=0(0ir m) 為使新表中bis=0(0ir m) ，需將原表中第i行減去第r行相應(yīng)數(shù)的 倍，得新表第i行的數(shù)，即 換基后，新基 仍是一個(gè)可行基，且目標(biāo)函數(shù)值增加,線性規(guī)劃問題求解的單純形法,單純形

16、迭代(重復(fù)上述1,2過程) 按照上面步驟(1)(2)進(jìn)行重復(fù)迭代，循環(huán)操作，以求得最優(yōu)解 特別注意 需要特別注意的是，如果基B對(duì)應(yīng)的單純形表T(B)中檢驗(yàn)數(shù)有負(fù)數(shù)b0s0 ，且對(duì)應(yīng)的如下列向量非正，即： 那么，目標(biāo)函數(shù)無上界，即無最優(yōu)解。,線性規(guī)劃問題求解的單純形法,用單純形法求解線性規(guī)劃問題 將上述問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型 確定A和Pi 確定xB1初始基、初始基矩陣B1、非基變量等 確定一個(gè)基本解,線性規(guī)劃問題求解的單純形法,確定初始單純形表 構(gòu)建初識(shí)單純形表如表所示，從行的角度說，表中的每一行代表一個(gè)約束方程（把目標(biāo)函數(shù)也看做是約束方程放在第一行）。從列的角度講，對(duì)于約束方程而言，表中的第

17、一列即為約束方程右邊的值，而對(duì)于目標(biāo)函數(shù)f則是填寫根據(jù)當(dāng)前基計(jì)算出來的目標(biāo)函數(shù)值。而其他的每一列則對(duì)應(yīng)于一個(gè)變量。 例如例題中的目標(biāo)函數(shù)為f=4x1+3x2，則改寫成f-4x1-3x2=0，故表的第一行右端系數(shù)為0，Value處填0，x1和x2處分別填-4和-3。而對(duì)于約束方程3x1+4x2+x3=12，其方程右端的值為12，故在Value處填12，在對(duì)應(yīng)變量的位置填3、4和1。 由例題求初始基可行解的過程可知，如果線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型的向量b的每一個(gè)分量均為正的話，當(dāng)令所有的松弛變量為基時(shí)，總是可以找到一組基本可行解。這時(shí)每個(gè)基本變量的值等于其方程右端的常數(shù)。由于此時(shí)目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)全都為零，所以對(duì)

18、應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值也為零。我們的目的就是要使用單純形法，通過變換運(yùn)算，在每次迭代的最后，使得當(dāng)前基本變量對(duì)應(yīng)的矩陣B形成一個(gè)單位陣，并且目標(biāo)函數(shù)中對(duì)應(yīng)于基本變量的系數(shù)變?yōu)榱?。具有這種性質(zhì)的表稱之為規(guī)范型,初始單純形表,線性規(guī)劃問題求解的單純形法,單純形迭代 對(duì)單純形表進(jìn)行判別 在單純形表4-3的檢驗(yàn)數(shù)存在負(fù)數(shù)，即b01=-4、b03=-3，則可知基B1對(duì)應(yīng)的解不滿足最優(yōu)解條件，又b01、b03對(duì)應(yīng)的列向量中的分量有非負(fù)數(shù)，所以需要進(jìn)行換基迭代。 確定進(jìn)基變量、出基變量和樞點(diǎn)項(xiàng) 在兩個(gè)非負(fù)檢驗(yàn)數(shù)中，取最小者b01=-4，b01對(duì)應(yīng)設(shè)計(jì)變量x1所在列，故x1為進(jìn)基變 量，標(biāo)記進(jìn)基變量所在列的符號(hào)s=1

19、；設(shè)計(jì)變量x1對(duì)應(yīng)的列向量為 ，3個(gè)分量b11=3、b21=3、b31=4均為正數(shù)，需要分別計(jì)算表單純形表中 的值，有 即選擇的是 ，于是r=3，樞點(diǎn)項(xiàng)為b31，樞點(diǎn)項(xiàng)所在行對(duì)應(yīng)的變量為x5，故出基變量為x5。我們把樞點(diǎn)項(xiàng)用括號(hào)括起來如表所示,標(biāo)記樞點(diǎn)項(xiàng),線性規(guī)劃問題求解的單純形法,調(diào)換基變量，構(gòu)造新的基矩陣B2和單純形表 出基變量為x5，進(jìn)基變量為x1，于是新的基矩陣 使得當(dāng)前基變量對(duì)應(yīng)的矩陣B2形成一個(gè)單位陣，并且目標(biāo)函數(shù)中對(duì)應(yīng)于基本變量的系數(shù)變?yōu)榱?，結(jié)果如表所示 在得到新的單純形表之后，一次迭代完成。 我們需要進(jìn)行判斷是否進(jìn)行再次迭代，采用的方法和上一次的迭代完全相同。,Gauss-Jo

20、rdan消元,線性規(guī)劃問題求解的單純形法,二次迭代 經(jīng)過與一次迭代完全相同的步驟，得到單純形表 在該單純形表中，檢驗(yàn)數(shù)已沒有負(fù)數(shù)，故最新的基矩陣所對(duì)應(yīng)的基本可行解即是線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解了。此時(shí)線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解為： 對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)的極值為,二次迭代單純形表,一般情況下線性規(guī)劃問題求解的思路,何時(shí)使用大M法 我們可以看到在上面的例子中，不等式約束均有“”的形式，這樣才可以通過將非負(fù)松弛變量加到（而不是減去）每個(gè)不等式的左端，將不等式轉(zhuǎn)化為等式，這時(shí)，我們將所加的松弛變量作為初始基變量，所得到的基矩陣為一單位陣，可以很容易的獲得一個(gè)初始基本可行解進(jìn)行單純形法的迭代。 但是在一般情況下，線性規(guī)劃

21、問題的約束條件存在等式和不等式，同時(shí)不等式也存在“”和“”，注意到當(dāng)約束方程組中含有“=”約束時(shí)，我們不需要加入非負(fù)松弛變量，當(dāng)約束方程組中含有“”約束時(shí)，我們需要減去一個(gè)非負(fù)松弛變量，在這兩種情況下就無法形成單位陣作為初始的基矩陣進(jìn)行求解，即不能順利得到一個(gè)初始基本可行解，從而造成了迭代的困難。 于是我們需要找到一種系統(tǒng)處理方法，能夠比較方便的在各種約束條件下都能找到線性規(guī)劃問題的初始可行基本解使得單純形算法在任何約束下均有效。此時(shí)，我們需要用到人工變量，而將人工變量用于單純形求解中的算法主要有大M法和兩階段方法,線性規(guī)劃問題求解的大M法,大M法的求解原理 大M法的原理是，先將線性規(guī)劃問題變

22、換成標(biāo)準(zhǔn)型，然后將新的非負(fù)變量加到具有“=”或者“”類型約束的方程的左端，于是用這些新的變量作為基變量就可以構(gòu)成一個(gè)初始可行基。我們?nèi)藶榧尤氲倪@些非負(fù)變量就稱為人工變量。人工變量與松弛變量不同，它沒有明確的物理意義，只是為了獲得一個(gè)初始可行基而設(shè)置的。 但是對(duì)任何一個(gè)約束增加非負(fù)變量之后與原約束就是矛盾的，為了解決這個(gè)矛盾，使得新增加的變量對(duì)任一可行解無影響，我們?cè)谀繕?biāo)函數(shù)中給新增加的變量賦以一個(gè)很大的負(fù)系數(shù)（因?yàn)榫€性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)型為目標(biāo)函數(shù)求極大），這個(gè)系數(shù)通常用M來表示，因而這個(gè)方法又叫大M法。在目標(biāo)函數(shù)中使用一個(gè)大的“-M”是迫使新的變量為零，否則目標(biāo)函數(shù)將遠(yuǎn)不能達(dá)到極大值。,線性規(guī)劃問題

23、求解的大M法,使用大M法求解線性規(guī)劃問題 引入人工變量x4和x5到約束等式的左邊 單純形法求解 首先取x4和x5作為初始基變量 令非基變量x1=x2= x3=0，得到一個(gè)基本解 解的各分量均為非負(fù)，故該基本解為線性規(guī)劃的一個(gè)基本可行解。故可用單純形法開始迭代。,線性規(guī)劃問題求解的大M法,單純形迭代 按照單純形法，構(gòu)造初始單純形表，注意其中含有M項(xiàng)，但這并不影響求解過程 上表并非單純形表的規(guī)范性，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)于基變量x4和x5的系數(shù)不為零，故我們采用矩陣的行變換將上表轉(zhuǎn)化為規(guī)范型 然后和單純形法一致，經(jīng)過迭代得到最終單純形表為 上表3中，檢驗(yàn)數(shù)已沒有負(fù)數(shù)，故已經(jīng)求出線性規(guī)劃問題的的最優(yōu)解,線

24、性規(guī)劃問題求解的兩階段法,兩階段法的原理 兩階段也是用以解決具有“=”或者“”類型約束的線性規(guī)劃問題的初始可行解問題。顧名思義，該方法分為兩個(gè)階段進(jìn)行： 第一階段 先引入松弛變量和人工變量，而目標(biāo)函數(shù)則由人工變量的和組成。這一步的工作是用單純形法把目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的所有的人工變量的值變?yōu)榱?。若第一階段最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值為零，則所有人工變量一定都取零值，說明原問題存在基可行解，可以進(jìn)行第二階段的計(jì)算；否則，原問題無可行解，停止計(jì)算。 第二階段 用原問題的的目標(biāo)函數(shù)代替人工目標(biāo)函數(shù)，用第一階段獲得的基本可行解作為該階段迭代的初始點(diǎn)進(jìn)行單純形的換基迭代。,線性規(guī)劃問題求解的兩階段法,用二階段法

25、求解線性規(guī)劃問題 化為標(biāo)準(zhǔn)型 在原問題的不等式約束中分別加入松弛變量x4和x5，將上述問題化為標(biāo)準(zhǔn)型 在上述標(biāo)準(zhǔn)型問題中，由于不存在單位陣基矩陣，故我們需要引入人工變量人為的構(gòu)造出單位陣基矩陣，故我們采用兩階段法。,線性規(guī)劃問題求解的兩階段法,第一階段 構(gòu)造輔助問題，加入人工變量x6和x7，并將目標(biāo)函數(shù)表示稱為人工變量的和，目的就是為了構(gòu)造單位陣，輔助問題的形式如下： 我們用單純形法對(duì)該問題進(jìn)行求解，可見，由于加入了人工變量，使得現(xiàn)在的輔助問題的約束方程組中形成了單位陣，即我們選取x4、x6和x7為基變量的話，基矩陣即是一個(gè)單位陣，然后在輔助問題的初始單純形表的基礎(chǔ)上將其轉(zhuǎn)換成為規(guī)范型如下 于

26、是在上述表的基礎(chǔ)上進(jìn)行單純形迭代，以求出輔助問題的最優(yōu)解,線性規(guī)劃問題求解的兩階段法,第一階段 單純形迭代 一次迭代后的單純形表為 二次迭代后的單純形表為 檢驗(yàn)數(shù)均非負(fù)，故輔助問題最優(yōu)解 此時(shí)，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值 ，且人工變量已全部出基。故第一階段結(jié)束，轉(zhuǎn)入第二階段,線性規(guī)劃問題求解的兩階段法,第二階段 求解原線性規(guī)劃問題。這時(shí)以在第一階段篩選出來的基變量構(gòu)成基矩陣作為原線性規(guī)劃 問題的初始可行基，并將輔助問題的最優(yōu)解刪去人工變量的兩列，作為原線性規(guī)劃問題 的初始可行解，然后進(jìn)行單純形算法的換基迭代 在這個(gè)問題中，初始可行基為： 初始可行解為： 在單純形表中刪去人工變量x6和x7這兩列，把第1行換

27、成原問題的目標(biāo)函數(shù)（消去基變量以后）的系數(shù)得到下表 可以看出，基變量x4，x2和x3沒有構(gòu)成單位陣，此時(shí)先要進(jìn)行線性變化，例如在本例中就需要將f所在行減去x2所在行和x3所在行的和，之后得到新表就可以繼續(xù)換基迭代,線性規(guī)劃問題求解的兩階段法,第二階段 換基迭代，由上頁新表可知檢驗(yàn)數(shù)b01為唯一的負(fù)數(shù)，故進(jìn)基變量為x1，而在進(jìn)基變量x1所在列中只有b11元素為正，進(jìn)而確定樞點(diǎn)元素為b11，故出基變量為x4，然后使用Gauss-Jordan消元法結(jié)果如表所示，此時(shí)檢驗(yàn)數(shù)已經(jīng)全部非負(fù)，故已找到該問題的最優(yōu)解 根據(jù)表上的數(shù)據(jù)可知，目標(biāo)函數(shù)的最大值在最優(yōu)解x*處取得：,線性規(guī)劃問題的MATLAB求解,M

28、ATLAB標(biāo)準(zhǔn)型 MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型和前面理論知識(shí)講解中有所不同， 在上述模型中，有一個(gè)需要極小化的目標(biāo)函數(shù)f，以及需要滿足的約束條件 假設(shè)x為n維設(shè)計(jì)變量，且線性規(guī)劃問題具有不等式約束m1個(gè)，等式約束m2個(gè)，那么：c、x、lb 和ub 均為n維列向量，b為m1維列向量，beq為m2維列向量，A為m1n維矩陣，Aeq為m2n維矩陣 注意事項(xiàng) MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型是對(duì)目標(biāo)函數(shù)求極小，如果遇到是對(duì)目標(biāo)函數(shù)求極大的問題，在使用MATLAB求解時(shí)，需要在函數(shù)前面加一個(gè)負(fù)號(hào)轉(zhuǎn)化為對(duì)目標(biāo)函數(shù)求極小的問題； MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型中的不等式約束形式為“”，如果在線性規(guī)劃問題中出現(xiàn)“”形式的不等式約束，則我們需要在

29、兩邊乘以(-1)使其轉(zhuǎn)化為MATLAB中的“”形式。如果在線性規(guī)劃問題中出現(xiàn)了“”的約束形式，則我們需要通過添加松弛變量使得不等式約束變?yōu)榈仁郊s束 之后，我們只需要將所有的約束（包括不等式約束和等式約束）轉(zhuǎn)化為矩陣形式的即可,線性規(guī)劃問題的MATLAB求解,將問題轉(zhuǎn)化為MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型 原問題是對(duì)目標(biāo)函數(shù)求極大，故添加負(fù)號(hào)使目標(biāo)變?yōu)椋簃in f=-4x1+2x2-x3 原問題中存在“”的約束條件，故添加負(fù)號(hào)使其變?yōu)?x1-2x2+2x3-8 將約束整理為矩陣形式 用MATLAB表達(dá)則為,c=-4; 2; -1;%將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求極小 A=2 -1 1; 8 -2 2; b=12; -8;

30、%不等式約束系數(shù)矩陣 Aeq=-2 0 1; 1 1 0;beq=3; 7;%等式約束系數(shù)矩陣 lb=0; 0; 0;ub=Inf; Inf; Inf %對(duì)設(shè)計(jì)變量的邊界約束,線性規(guī)劃問題的MATLAB求解,函數(shù)調(diào)用格式 MATLAB優(yōu)化工具箱中求解線性規(guī)劃問題的命令為linprog，其函數(shù)調(diào)用方法有多種形式如下所示 x = linprog(c,A,b) x = linprog(c,A,b,Aeq,beq) x = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) x = linprog(c,A,b,Aeq,beq

31、,lb,ub,x0,options) x = linprog(problem) x,fval = linprog(.) x,fval,exitflag = linprog(.) x,fval,exitflag,output = linprog(.) x,fval,exitflag,output,lambda = linprog(.),線性規(guī)劃問題的MATLAB求解,輸入?yún)?shù) MATLAB工具箱中的linprog函數(shù)在求解線性規(guī)劃問題時(shí)，提供的參數(shù)為：模型參數(shù)、初始解參數(shù)和算法控制參數(shù)。 模型參數(shù)x、c、lb、ub、b、beq、A和Aeq在MATLAB標(biāo)準(zhǔn)型中已經(jīng)介紹了其具體物理意義和獲得方法

32、x0為線性規(guī)劃問題的初始解，該設(shè)置僅在中型規(guī)模算法中有效，而在默認(rèn)的大型規(guī)模算法和單純形算法中，MATLAB將忽略一切初始解。 options為包含算法控制參數(shù)的結(jié)構(gòu)變量，我們可以通過optimset命令對(duì)這些具體的控制參數(shù)進(jìn)行設(shè)置，例如下述格式 options = optimset(param1,value1,param2,value2,.) 該命令格式創(chuàng)建一組控制參數(shù)結(jié)構(gòu)變量options，將參數(shù)的具體值賦給單引號(hào)之間的參數(shù)，任何未被指定的參數(shù)將被賦值為，參數(shù)值為的具體的含義是將該組控制參數(shù)傳遞給優(yōu)化函數(shù)時(shí)將使用MATLAB提供的默認(rèn)值 在線性規(guī)劃問題中可以用到的設(shè)置參數(shù)如下一頁的表所示,

33、線性規(guī)劃問題的MATLAB求解,線性規(guī)劃問題的MATLAB求解,輸出參數(shù) linprog函數(shù)返回的輸出參數(shù)有x、fval、exitflag、lambda和output。 輸出參數(shù)x為線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解 輸出參數(shù)fval為線性規(guī)劃問題在最優(yōu)解x處的函數(shù)值 輸出參數(shù)exitflag返回的是優(yōu)化函數(shù)計(jì)算終止時(shí)的狀態(tài)指示，說明算法終止的原因，其取值和其代表的具體原因如表所示,線性規(guī)劃問題的MATLAB求解,輸出參數(shù) 輸出參數(shù)output是一個(gè)返回優(yōu)化過程中相關(guān)信息的結(jié)構(gòu)變量，其屬性如表所示 輸出參數(shù)lambda是返回線性規(guī)劃問題最優(yōu)解x處的拉格朗日乘子的一個(gè)結(jié)構(gòu)變量,其總維數(shù)等于約束條件的個(gè)數(shù)，其非

34、零分量對(duì)應(yīng)于起作用的約束條件，其屬性如表所示。,線性規(guī)劃問題的MATLAB求解,命令詳解 x = linprog(c,A,b) 該函數(shù)調(diào)用格式求解線性規(guī)劃問題 x = linprog(c,A,b,Aeq,beq) 該函數(shù)調(diào)用格式求解線性規(guī)劃問題 即該函數(shù)調(diào)用格式解決的是既含有線性等式約束，又含有線性不等式約束的線性規(guī)劃問題，如果在線性規(guī)劃問題中無線性不等式約束，則可以設(shè)A=以及b= x = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 該函數(shù)調(diào)用格式求解線性規(guī)劃問題 即在線性規(guī)劃問題的求解過程中進(jìn)一步考慮了對(duì)設(shè)計(jì)變量的約束，其中l(wèi)b和ub均是和設(shè)計(jì)變量維數(shù)相同的列向量，如果對(duì)設(shè)計(jì)變

35、量沒有上界約束，可以設(shè)置ub(i) = Inf，如果沒有下界約束則可以設(shè)置lb(i) = -Inf，和(2)類似，如果問題中沒有等式約束，則可以設(shè)Aeq=以及beq=,線性規(guī)劃問題的MATLAB求解,命令詳解 x = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) 在前面調(diào)用方法的基礎(chǔ)上設(shè)置線性規(guī)劃問題求解的初始解為x0，該參數(shù)僅在使用有效集算法時(shí)生效，否則當(dāng)使用默認(rèn)的內(nèi)點(diǎn)算法時(shí)，將忽略任何初始點(diǎn)，即參數(shù)無效。 x = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 用options指定的優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行最小化?？梢允褂胦ptimset來設(shè)置這些參數(shù)

36、 x,fval = linprog(.) 在優(yōu)化計(jì)算結(jié)束之時(shí)返回線性規(guī)劃問題在解x處的目標(biāo)函數(shù)值fval。 x,fval,exitflag = linprog(.) 在優(yōu)化計(jì)算結(jié)束之時(shí)返回exitflag值，描述函數(shù)計(jì)算的退出條件。 x,fval,exitflag,output = linprog(.) 在優(yōu)化計(jì)算結(jié)束之時(shí)返回返回結(jié)構(gòu)變量output x,fval,exitflag,output,lambda = linprog(.) 在優(yōu)化計(jì)算結(jié)束之時(shí)返回線性規(guī)劃問題最優(yōu)解x處的拉格朗日乘子lambda,線性規(guī)劃問題的MATLAB求解,用MATLAB求解線性規(guī)劃問題,c=-1;-1;%目標(biāo)函

37、數(shù)，為轉(zhuǎn)化為極小，故取目標(biāo)函數(shù)中設(shè)計(jì)變量的相反數(shù) A=1 -2;1 2;%線性不等式約束 b=4;8; lb=0;0;%設(shè)計(jì)變量的邊界約束，由于無上界，故設(shè)置ub=Inf;Inf; ub=Inf;Inf; x,fval=linprog(c,A,b,lb,ub) Optimization terminated. x = 6.0000 1.0000 fval = -7.0000,線性規(guī)劃問題的MATLAB求解,用MATLAB求解線性規(guī)劃問題,c=-4;-3; %目標(biāo)函數(shù)，為轉(zhuǎn)化為極小，故取目標(biāo)函數(shù)中設(shè)計(jì)變量的相反數(shù) A=3 4;3 3;4 2;%線性不等式約束 b=12;10;8; lb=0;0;

38、 %設(shè)計(jì)變量的邊界約束，由于無上界，故設(shè)置ub=Inf;Inf ub=Inf;Inf; x,fval,exitflag=linprog(c,A,b,lb,ub) x = 0.8000 2.4000 fval = -10.4000 exitflag = 1,線性規(guī)劃問題的MATLAB求解,用MATLAB求解線性規(guī)劃問題,c=-1;-3;1; %目標(biāo)函數(shù)，為轉(zhuǎn)化為極小，故取目標(biāo)函數(shù)中設(shè)計(jì)變量的相反數(shù) Aeq=1 1 2;-1 2 1;%線性等式約束 beq=4;4; lb=0;0;0;%設(shè)計(jì)變量的邊界約束，由于無上界，故設(shè)置ub=Inf;Inf;Inf ub=Inf;Inf;Inf; x,fval

39、,exitflag=linprog(c,Aeq,beq,lb,ub) Optimization terminated. x = 1.3333 2.6667 0.0000 fval = -9.3333 exitflag = 1,線性規(guī)劃問題的MATLAB求解,用MATLAB求解線性規(guī)劃問題,c=-3;1;1;%目標(biāo)函數(shù)，為轉(zhuǎn)化為極小，故取目標(biāo)函數(shù)中設(shè)計(jì)變量的相反數(shù) A=1 -2 1;4 -1 -2;%線性不等式約束 b=11;-3; Aeq=-2 0 1;%線性等式約束 beq=1; lb=0;0;0;%設(shè)計(jì)變量的邊界約束，由于無上界，故設(shè)置ub=Inf;Inf;Inf ub=Inf;Inf;I

40、nf; x,fval,exitflag,output,lambda=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub) Optimization terminated. x = 4.0000 1.0000 9.0000 fval = -2.0000 exitflag = 1,線性規(guī)劃問題的MATLAB求解,生產(chǎn)計(jì)劃問題 問題的提出 某工廠需要生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品以滿足市場(chǎng)的需求。這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)均需要經(jīng)過兩道工藝流程。每生產(chǎn)1kg的A產(chǎn)品在第一道工藝流程耗時(shí)4小時(shí)，在第二道工藝流程耗時(shí)6小時(shí)；每生產(chǎn)1kg的B產(chǎn)品在第一道工藝流程耗時(shí)6小時(shí)，在第二道工藝流程耗時(shí)8小時(shí)，由于生產(chǎn)計(jì)劃的要求，可

41、供用的第一道工藝流程工時(shí)為240小時(shí)，第二道工藝流程工時(shí)為480小時(shí)。 在化學(xué)品生產(chǎn)的過程中一般會(huì)伴隨著副產(chǎn)品的生產(chǎn)，該工廠在生產(chǎn)B產(chǎn)品的同時(shí)，會(huì)產(chǎn)出副產(chǎn)品C，每生產(chǎn)1kg的B產(chǎn)品會(huì)產(chǎn)生2kg的副產(chǎn)品C，而不需外加任何費(fèi)用，由于副產(chǎn)品C的利用率問題，使得產(chǎn)品C中的一部分可盈利，其他部分只能報(bào)廢。 根據(jù)核算，出售1kg的A產(chǎn)品可盈利600元，出售1kg的B產(chǎn)品可以盈利1000元，出售1kg的C產(chǎn)品可以盈利300元，而報(bào)廢1kg的C產(chǎn)品需要虧損200元。 經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，在計(jì)劃期內(nèi)，產(chǎn)品C最大銷售量為50kg，此時(shí)，應(yīng)當(dāng)如何安排A、B兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，使該工廠的預(yù)計(jì)總盈利可以達(dá)到最大。,線性規(guī)劃問題的M

42、ATLAB求解,生產(chǎn)計(jì)劃問題 問題分析 在本例中，重點(diǎn)是設(shè)計(jì)變量的選取方法。因?yàn)楦碑a(chǎn)品C的出現(xiàn)和限制銷售量使得問題顯得稍復(fù)雜。如果我們用x1和x2分別代表產(chǎn)品A和產(chǎn)品B的產(chǎn)量，作為該問題的設(shè)計(jì)變量，由于產(chǎn)品C的產(chǎn)量為2x2，且如果2x2大于50的話，其小于50的部分會(huì)產(chǎn)生盈利，但其超出的部分會(huì)產(chǎn)生虧損，即產(chǎn)品C的單位利潤會(huì)在300和-200之間變化，在這個(gè)前提下，總利潤和產(chǎn)量之間就產(chǎn)生了非線性關(guān)系，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)在確定目標(biāo)函數(shù)和約束條件時(shí)比較困難。于是，我們需要另辟蹊徑，尋求設(shè)計(jì)變量的選擇方法，解決這個(gè)問題。 由于MATLAB為線性規(guī)劃的求解打開了方便之門，于是我們的選擇設(shè)計(jì)變量的余地就很大，在兩

43、個(gè)設(shè)計(jì)變量難以解決的前提下，我們可以設(shè)置多個(gè)設(shè)計(jì)變量，使得目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為線性。,線性規(guī)劃問題的MATLAB求解,生產(chǎn)計(jì)劃問題 問題解答 從產(chǎn)品C的約束出發(fā)，既然C產(chǎn)品可能產(chǎn)生盈利，也可能產(chǎn)生虧損，則設(shè)置相應(yīng)的設(shè)計(jì)變量來表示其產(chǎn)生盈利的部分和產(chǎn)生虧損的部分，即產(chǎn)品C的銷售量和報(bào)廢量，故在這個(gè)原則下，我們得到問題的設(shè)計(jì)變量為： 產(chǎn)品A的產(chǎn)量： x1 產(chǎn)品B的產(chǎn)量： x2 產(chǎn)品C的銷售量：x3 產(chǎn)品C的報(bào)廢量：x4 于是產(chǎn)品C的產(chǎn)量即為其銷售量和報(bào)廢量之和，即x3+ x4 將預(yù)計(jì)總盈利作為該問題的目標(biāo)函數(shù) C是伴隨產(chǎn)品B出現(xiàn)的，其數(shù)量之間滿足的約束關(guān)系 C的最大銷量為50kg 每道工藝流程的

44、總工時(shí)是確定的，例如第一道工藝， 生產(chǎn)x1kg的A耗時(shí)4x1小時(shí)，生產(chǎn)x2kg的B要6x2小時(shí)， 其總和必須小于240小時(shí)；對(duì)第二道工藝流程的分 析也一樣,線性規(guī)劃問題的MATLAB求解,生產(chǎn)計(jì)劃問題 線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型 由上述結(jié)果可知，當(dāng)A產(chǎn)品的產(chǎn)量為22.5kg，B產(chǎn)品的產(chǎn)量為25kg時(shí)，該工廠預(yù)計(jì)盈利的最大值為5.35萬元，其中伴隨B產(chǎn)品產(chǎn)生的C產(chǎn)品恰好為50kg，為可銷售的最大值。,c=-600;-1000;-300;200; A=2 3 0 0;3 4 0 0;0 0 1 0; b=120;240;50; Aeq=0 -2 1 1; beq=0; lb=0;0;0;0; ub=Inf;

45、Inf;Inf;Inf; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub) Optimization terminated. x = 22.5000 25.0000 50.0000 0.0000 fval = -5.3500e+004,線性規(guī)劃問題的MATLAB求解,連續(xù)投資問題 問題的提出 某機(jī)構(gòu)現(xiàn)在擁有資本200萬元，為了獲取更大的收益，該機(jī)構(gòu)決定將這200萬元進(jìn)行投資，以期最大回報(bào)，現(xiàn)在共有四個(gè)方案可供選擇，投資的方式為每年初將機(jī)構(gòu)持有的所有資本都用于投資。 方案1：從第1年到第4年的每年年初都需要投資，次年末回收本利1.15 方案2：第3年初投資，到第5年末收回本

46、利1.25，最大投資額為80萬元 方案3：第2年初投資，到第5年末收回本利1.40，最大投資額為60萬元 方案4：每年初投資，每年末收回本利1.06 那么應(yīng)該采用何種投資組合策略，使得該機(jī)構(gòu)5年末的總資本最大,線性規(guī)劃問題的MATLAB求解,連續(xù)投資問題 問題分析 由于方案有4種可選，且每種開始投資的期限一般也不相同，故選擇設(shè)計(jì)變量時(shí)需要考慮這兩個(gè)因素，最直觀的選法是令xij為第i年初投資方案j的資金數(shù)，此時(shí)，設(shè)計(jì)變量可以用下表來表示：,線性規(guī)劃問題的MATLAB求解,連續(xù)投資問題 問題解答 在第1年時(shí)，將所有的100萬元用于投資，可選方案1和方案2 由于在第1年年末投資方案4的資金在第1年年

47、末即收回本利1.06，故該部分資金即1.06x14可用于第2年的投資，即 方案3的最大投資額為60萬元 可用于第3年投資的資本數(shù)來源于第1年投資方案1收回的本利1.15x11和第2年投資方案4收回的本利1.11x24，故 方案2的最大投資額為80萬元 可用于第4年投資的資本數(shù)來源于第2年投資方案1收回的本利1.15x21和第3年投資方案4收回的本利1.11x34，故 可用于第5年投資的資本數(shù)來源于第3年投資方案1收回的本利1.15x31和第4年投資方案4收回的本利1.11x44，故,線性規(guī)劃問題的MATLAB求解,連續(xù)投資問題 問題解答 通過上述連續(xù)投資方式，在第5年末可以獲得的本利資本總和為

48、： 我們的目的就是選擇最佳的投資策略，極大化目標(biāo)函數(shù)f的值 線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型,線性規(guī)劃問題的MATLAB求解,連續(xù)投資問題 由運(yùn)行結(jié)果可知，采取上述最佳投資方案之后，在第5年末所得到的總資本數(shù)為 287.5萬元。,c=0;0;0;-1.40;0;0;-1.25;0;-1.15;0;-1.06; Aeq=1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 1.06 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0; 1.15 0 0 0 1.06 -1 -1 -1 0 0 0; 0 0 1.15 0 0 0 0 1.06 -1 -1 0 0 0 0 0 0 1.15 0 0 0 1.06 -1; beq=200;0;0;0;0; lb=0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0; ub=Inf;Inf;Inf;60;Inf;Inf;80;Inf;Inf;Inf;Inf; x,f