高中數(shù)學(xué)《平面向量的實(shí)際背景》教案 新人教A版必修

1、2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 通過對物理中有關(guān)概念的分析，了解向量的實(shí)際背景，進(jìn)而深刻理解向量的概念；2. 掌握向量的幾何表示；3. 理解向量的模、零向量與單位向量的概念. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：位置是日常生活中我們提到較多的一個詞，在幾何中常用點(diǎn)表示位置，研究如何用一點(diǎn)的位置確定另外一點(diǎn)的位置，請同學(xué)們以學(xué)校（點(diǎn)A）為參照點(diǎn)，用圖形確定出自己家的位置. 復(fù)習(xí)2：力是常見的物理量，重力、浮力、彈力等都是既有 又有 的量；而有一類量如長度、質(zhì)量、面積、體積等，只有 沒有 ，這類量我們稱之為數(shù)量. 二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究新知1：向量的概念數(shù)學(xué)

2、中，我們把這種既有大小，又有方向的量叫做向量（vector）. 數(shù)量和向量的異同點(diǎn)有哪些？試試1：下列物理量：質(zhì)量；速度；位移；力；加速度；路程；密度；功. 其中不是向量的有（ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個由于實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，所以數(shù)量常常用數(shù)軸上的一個點(diǎn)表示，那么不同的點(diǎn)就表示不同的數(shù)量.向量能不能用幾何表示出來？如果能，該如何表示呢？新知2：向量的表示法我們常用帶箭頭的線段來表示向量，線段按一定比例畫出，它的長短表示向量的大小，箭頭的指向表示向量的方向. 如下圖，在有向線段的終點(diǎn)處畫上箭頭表示它的方向. 以為起點(diǎn)，為終點(diǎn)的有向線段記作（注：起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后）. 已知，

3、線段的長度也叫做有向線段的長度，也稱為模，記作.有向線段包含三個要素：起點(diǎn)，方向，長度.有向線段也可用字母如，表示.反思：“向量就是有向線段，有向線段就是向量”的說法對嗎？為什么三要素中不包含終點(diǎn)？數(shù)量能比較大小嗎？向量呢？向量的模呢？新知3：兩個特殊的向量零向量（zero vector）：長度為的向量；單位向量(unit vector)：長度等于的向量. 平行向量(parallel vectors)：方向相同或相反的非零向量. 若向量，平行，記作：.規(guī)定：零向量與任一向量平行，即對任意向量，都有.零向量的方向不確定，是任意的.試試2：下列說法中正確的有（ ）個零向量是沒有方向的向量；零向量與

4、任一向量平行；零向量的方向是任意的；零向量只能與零向量平行.A.0個 B.1個 C.2個 D.3個 典型例題例1 在如圖所示的坐標(biāo)紙中，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：，點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向；，點(diǎn)在點(diǎn)南偏東方向.例2 如下圖，試根據(jù)圖中的比例尺以及三地的位置，在圖中分別用向量表示地至、兩地的位移，并求出地至、兩地的實(shí)際距離.（精確到）. 動手試試練1. 畫出有向線段，分別表示一個豎直向上、大小為的力和一個水平向左、大小為的力.(長表示)練2. 某同學(xué)向北走了，又向東走了，則該同學(xué)走過的路程是多少？位移的長度是多少？并選擇適當(dāng)?shù)谋壤?，用向量表示這個人的位移. 三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 向量的相關(guān)概念；

5、2. 向量的兩種表示法；3. 兩個特殊的向量，尤其要注意零向量的方向. 知識拓展向量又稱為矢量，最初被應(yīng)用于物理學(xué)很多物理量如力、速度、位移以及電場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量大約公元前350年前，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到“向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段最先使用有向線段表示向量的是英國大科學(xué)家牛頓 學(xué)習(xí)評價(jià) 自我評價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 下列各量中不是向量的是（ ）.A浮力 B風(fēng)速 C位移 D密度2. 下

6、列說法正確的是（ ）.A向量與向量的長度不等B兩個有共同起點(diǎn)長度相等的向量,則終點(diǎn)相同 C零向量沒有方向D任一向量與零向量平行3. 某人南行100米，后向東行100米，則這時(shí)他位移的方向是（ ）.A東偏南 B南偏東 C東偏南 D南偏東4. 物理中的作用力與反作用力 一對平行向量.（是或不是）5. 已知腰為2，底邊為3的等邊，則底邊上的中線向量的模為 . 課后作業(yè) 1. 某人從點(diǎn)出發(fā)向西走了到達(dá)點(diǎn)，然后改變方向向西偏北走了到達(dá)點(diǎn)，最后又改變方向，向東走了到達(dá)點(diǎn)，作出向量、（表示）；求的模.2. 在正方體中，與平行的向量有哪些？ 2012學(xué)年高一數(shù)學(xué)必修4導(dǎo)學(xué)案 編制人：胡容維 編號：04 使用時(shí)

7、間： 小組： 姓名： 組內(nèi)評價(jià)： 教師評價(jià)：2.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念 學(xué)習(xí)目標(biāo) 在理解向量和平行向量的基礎(chǔ)上掌握相等向量和共線向量的概念. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：向量是 的量；數(shù)量是 的量；有向線段是 的線段，它的三要素是 ， ， ；零向量是 的向量；單位向量是 的向量；平行向量是 的非零向量.復(fù)習(xí)2：下列說法中正確的有 向量可以比較大小；零向量與任一向量平行；向量就是有向線段； 非零向量的單位向量是.二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究新知4：相等向量 長度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equal vector）， 如下圖，用有向線段表示的向量與相等，記作：

8、. 思考：任意兩個相等的非零向量，是否可用同一條有向線段來表示？與有向線段的起點(diǎn)有關(guān)嗎？新知5：平行向量和共線向量 同學(xué)們知道，方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 如果、是平行向量，則可記為. 因?yàn)槿我唤M平行向量都可以移動到同一條直線上，因此，平行向量也叫做共線向量(collinear vectors).試試：下列說法中正確的是 若，則；若，則；若，則；若，則. 典型例題例1 如下圖，設(shè)是正六邊形的中心，分別寫出圖中與，相等的向量.變式：與相等的向量有哪些？ 例2如下圖所示，、分別是正的各邊中點(diǎn)，則在以、六個點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的向量中，找出與向量平行的向量.A BCEFD 注意：共線

9、向量的端點(diǎn)不一定共線，注意向量的可以平行移動性. 動手試試練1. 在四邊形中，則相等的向量是( ) .A.與 C.與B.與 D.與 ABCDO練2. 判斷下列說法的正誤：向量的模是一個正實(shí)數(shù)；若兩個向量平行，則兩個向量相等；若兩個單位向量互相平行，則這兩個單位向量相等；溫度有零上和零下溫度，所以溫度是向量；物理中的作用力與反作用力是一對共線向量；三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)相等向量的概念；平行向量也稱為共線向量. 知識拓展 本章中所提到的向量都是自由向量，所謂自由向量就是在不改變長度和方向的前提下，向量可以在空間自由移動，所以在此基礎(chǔ)上理解共線向量就是平行向量概念較容易. 學(xué)習(xí)評價(jià) 自我評價(jià) 你完成

10、本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 下列命題中，正確的是（ ）. A. B. C. D.2. 若，且，則四邊形的形狀為（ ）. A.平行四邊形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形3. 一木塊放在桌面上，木塊所受重力為，桌面所受壓力為，則與之間的關(guān)系為（ ）. A.大小不等，方向相同 B.大小相等，方向不同 C.大小相等，方向相同 D.大小不等，方向不同4. 、是線段的三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，最多可以寫出 個互不相同的向量. A BCD5. 下列命題中，說法正確的有 若，則；若，則；若，則或；若

11、，則,是一個平行四邊形的四個頂點(diǎn). 課后作業(yè) 1. 四邊形和都是平行四邊形.與向量相等的向量有哪些？若，則向量的模等于多少？ ABCDE2. 一位模型賽車手遙控一輛賽車向正東方向前進(jìn)，逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)變度，繼續(xù)按直線向前行進(jìn)，再逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)變度，按直線向前行進(jìn)，按此方向繼續(xù)操作下去.按比例作圖說明當(dāng)時(shí)，操作幾次時(shí)賽車的位移為零？按此法操作使賽車能回到出發(fā)點(diǎn)，應(yīng)滿足什么條件？請寫出其中兩個. 2012學(xué)年高一數(shù)學(xué)必修4導(dǎo)學(xué)案 編制人：胡容維 編號：05 使用時(shí)間： 小組： 姓名： 組內(nèi)評價(jià)： 教師評價(jià)：2.2.1向量的加法運(yùn)算及其幾何意義 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 掌握向量加法的概念，結(jié)合物理學(xué)中的相關(guān)知識理

12、解向量加法的意義；2. 熟練掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；3. 理解向量加法的運(yùn)算律. 學(xué)習(xí)過程 （預(yù)習(xí)教材，找出疑惑之處）一、課前準(zhǔn)備復(fù)習(xí)1：下列說法正確的有 向量可以用有向線段來表示；兩個有共同起點(diǎn)且長度相等的向量，其終點(diǎn)必相同；兩個有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；向量與向量是共線向量，則點(diǎn)，必在同一條直線上；若，則，是一個平行四邊形的四個頂點(diǎn).復(fù)習(xí)2：周三大清潔時(shí)，兩個同學(xué)抬著回收箱去賣廢品，請同學(xué)們做出回收箱的受力圖，并思考拉力和重力滿足什么條件便可將回收箱抬起.二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究問題：在復(fù)習(xí)2中回收箱所受的重力與兩個同學(xué)拉力的合力有什么關(guān)系呢？ 數(shù)的加法啟示我們，從

13、運(yùn)算的角度看，重力和拉力的合力是一對大小相等，方向相反的力. 如圖，已知非零向量、，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，做，則向量叫做與的和，記作：，即.新知1：求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.自學(xué)的向量加法的平行四邊形法則，想想兩個法則有沒有共通的地方？規(guī)定：零向量與向量的加法： 典型例題例1 已知向量、，求作向量. 小結(jié)1：在使用三角形法則特別要注意“首尾相接”，即第二個向量的起點(diǎn)與第一個向量的終點(diǎn)重合.變式：當(dāng)在數(shù)軸上表示兩個共線向量時(shí)，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？小結(jié)2：當(dāng)，不共線時(shí)，；當(dāng)，同向時(shí)，；當(dāng)，反向時(shí)，（或）.思考：數(shù)的運(yùn)算律有哪些？類似的

14、，向量的加法是否也有運(yùn)算律呢？新知2：向量加法的交換律和結(jié)合律：；例2 一架飛機(jī)向北飛行400km，然后改變方向向東飛行300km，求飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的合成. 動手試試練1. 如圖，已知、，用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則做出.練2. 在靜水中劃船速度是每分鐘20m，水流速度是每分鐘20m，如果船從岸邊出發(fā)徑直沿垂直于水流方向行走，那么船實(shí)際行進(jìn)速度應(yīng)是多少？實(shí)際行進(jìn)方向與水流方向的夾角為多少？三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 向量求和的三角形法則和平行四邊形法則；2. 向量加法滿足的兩個運(yùn)算律：交換律和結(jié)合律. 知識拓展向量在引入運(yùn)算之后，向量的工具作用才能得到充分發(fā)揮. 實(shí)際上，引

15、入一個新的量后，考察它的運(yùn)算及運(yùn)算律是數(shù)學(xué)研究的基本問題. 另外，向量的線性運(yùn)算的另一個特點(diǎn)是它有深刻的物理背景和幾何意義，因此在引入一種運(yùn)算后，總是要考察一下它的幾何意義，也使得向量在解決幾何問題時(shí)可以發(fā)揮很好的作用. 學(xué)習(xí)評價(jià) 自我評價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 平行四邊形中，則等于（ ）. A. B. C. D.2. 下列等式不正確的是（ ）. A. B. C.D.3.在中，等于（ ）. A. B. C. D.4. = ； = .5. 已知向量、滿足且，則= . 課后作業(yè) 1. 已知

16、正六邊形，是它的中心，若，試用、表示向量.2. 在菱形中，求的值. 2012學(xué)年高一數(shù)學(xué)必修4導(dǎo)學(xué)案 編制人：胡容維 編號：06 使用時(shí)間： 小組： 姓名： 組內(nèi)評價(jià)： 教師評價(jià)：2.2.2向量的減法運(yùn)算及其幾何意義 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 通過實(shí)例，掌握向量減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；2. 能運(yùn)用向量減法的幾何意義解決一些問題. 學(xué)習(xí)過程 （預(yù)習(xí)教材，找出疑惑之處）一、課前準(zhǔn)備復(fù)習(xí)：設(shè)，則 叫做與的和，記作 . = = 向量加法運(yùn)算的交換律： ；結(jié)合律 . 求作兩個向量和的方法有 法則和 法則.二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究問題： 我們知道，在數(shù)的運(yùn)算中，減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，向量的減法是否也

17、有類似的法則？如何理解向量的減法呢？規(guī)定1：與長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作.由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍然回到原來的方向，因此和互為相反向量，即.規(guī)定1：零向量的相反向量仍是零向量. 思考：任一向量與其相反向量的和是什么？ 如果、是互為相反的向量，那么 ， ， . 請同學(xué)們利用相反向量的概念，思考的作圖方法. 如下圖，已知、，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，做，則. 即可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量，這就是向量減法的幾何意義. 以上做法稱為向量減法的三角形法則，可以歸納為“起點(diǎn)相接，連接兩向量的終點(diǎn)，箭頭指向被減數(shù)”. 典型例題例1 如下圖，已知向量、，求作向量，.變式：作出向量. 例2

18、 在中，是重心，、分別是、的中點(diǎn)，化簡下列兩式：；. 變式：化簡. 動手試試練1. 已知、，求作.練2. 設(shè)，試用表示.三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 相反向量的概念；2. 向量減法的三角形法則，要注意“起點(diǎn)相接，連接兩向量的終點(diǎn)，箭頭指向被減數(shù)”. 知識拓展 以向量、為鄰邊作平行四邊形，則兩條對角線的向量為，這一結(jié)論在以后應(yīng)用還是非常廣泛的，應(yīng)該加強(qiáng)理解并記住. 學(xué)習(xí)評價(jià) 自我評價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 下列等式中正確的個數(shù)是（ ）. ； ； A.2 B.3 C.4 D.5 2. 在中，

19、則等于（ ）. A. B. C. D.3. 化簡的結(jié)果等于（ ）. A. B. C. D.4. 在正六邊形中，則= .5. 已知、是非零向量，則時(shí)，應(yīng)滿足條件 . 課后作業(yè) 1. 化簡下列各式： ； .2. 已知是的對角線與的交點(diǎn)， 若， 試證明：. 2012學(xué)年高一數(shù)學(xué)必修4導(dǎo)學(xué)案 編制人：胡容維 編號：07 使用時(shí)間： 小組： 姓名： 組內(nèi)評價(jià)： 教師評價(jià)：2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 掌握向量數(shù)乘運(yùn)算，并理解其幾何意義；2. 理解兩個向量共線的含義；3. 掌握向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備復(fù)習(xí)： 向量的相反向量是指與 的向量，記作 . 零向

20、量的相反向量是 .= ，= .若，則、是 ，且= .向量加上的相反向量，叫做 ，即： .二、新課導(dǎo)學(xué) 學(xué)習(xí)探究問題：已知非零向量，作出：；. 通過圖形，同學(xué)們能否說明它們的幾何意義？新知：我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘（multiplication of vector by scalar）,記作：，它的長度和方向規(guī)定如下：；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同； 當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反.思考：當(dāng)時(shí)，的值是一個向量還是一個實(shí)數(shù)？ 根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義，我們有以下的運(yùn)算律：； ； . 根據(jù)以上的運(yùn)算律，填空： = ； . 典型例題例1 計(jì)算：；.思考：引入向量數(shù)乘運(yùn)算后，你能發(fā)

21、現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關(guān)系嗎？新知：向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)，使.例2 已知兩個兩個向量和不共線，求證：、三點(diǎn)共線.變式：在四邊形中，證明：是梯形. 動手試試練1. 計(jì)算：；.練2. 已知向量，不共線，問與是否共線？三、總結(jié)提升 學(xué)習(xí)小結(jié)1. 向量數(shù)乘的定義；2. 實(shí)數(shù)與向量的積滿足的運(yùn)算律；3. 兩向量共線所滿足的條件. 知識拓展 1.實(shí)數(shù)與向量的積的特殊情況：當(dāng)時(shí)，；而，若時(shí)，也有. 2.實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減運(yùn)算，比如，無法運(yùn)算. 3.數(shù)乘向量還是一個向量. 學(xué)習(xí)評價(jià) 自我評價(jià) 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差

22、 當(dāng)堂檢測（時(shí)量：5分鐘 滿分：10分）計(jì)分：1. 下列各式中不表示向量的是（ ） A. B. C. D.（，且） 2. 在中，、分別是、的中點(diǎn)，若，則等于（ ） A. B. C. D.3. ，且、共線，則與（ ） A.共線 B.不共線 C.不確定 D.可能共線也可能不共線 4. 若，與的方向相反，且，則= .5. 已知，則與 （填共線、不共線）. 課后作業(yè) 1. 已知的三邊，三邊中點(diǎn)分別為、，求證：.2. 用向量的方法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 掌握向量數(shù)乘運(yùn)算，并理解其幾何意義；2. 理解兩個向量共線的含義；3. 掌握向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備復(fù)習(xí)：