高二數(shù)學(xué)《雙曲線的簡單幾何性質(zhì) （一）》學(xué)案 蘇教版

1、課 題：雙曲線的簡單幾何性質(zhì) （一）教學(xué)目的：1使學(xué)生掌握雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線等幾何性質(zhì)2掌握標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾何意義.3并使學(xué)生能利用上述知識進行相關(guān)的論證、計算、作雙曲線的草圖以及解決簡單的實際問題.教學(xué)重點：雙曲線的漸近線及其得出過程.教學(xué)難點：漸近線幾何意義的證明.授課類型：新授課 .課時安排：1課時 .教 具：多媒體、實物投影儀 .內(nèi)容分析：本節(jié)知識是講完了雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程之后，反過來利用雙曲線的方程研究雙曲線的幾何性質(zhì). 它是教學(xué)大綱要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容，也是高考的一個考點 用坐標(biāo)法研究幾何問題，是數(shù)學(xué)中一個很大的課題，它包含了圓錐曲線知識的眾多方面，這里對雙曲線的幾

2、何性質(zhì)的討論以及利用性質(zhì)來解題即是其中的一個重要部分 .坐標(biāo)法的教學(xué)貫穿了整個“圓錐曲線方程”一章，是學(xué)生應(yīng)重點掌握的基本數(shù)學(xué)方法. 運動變化和對立統(tǒng)一的思想觀點在第8章知識中得到了突出體現(xiàn)，我們必須充分利用好這部分教材進行教學(xué). 利用圖形啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生理解漸近線的幾何意義、弄通證明的關(guān)鍵；漸近線的位置、漸近線與雙曲線張口之間的關(guān)系是學(xué)生學(xué)習(xí)離心率的概念、搞懂離心率與雙曲線形狀之間的關(guān)系的關(guān)鍵；要突破第二定義得出過程這個難點.本節(jié)內(nèi)容類似于“橢圓的簡單的幾何性質(zhì)”，教學(xué)中也可以與其類比講解，主要應(yīng)指出它們的聯(lián)系與區(qū)別 對圓錐曲線來說，漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，我們常利用它作出雙曲線的草圖，為說明

3、這一點，教學(xué)時可以適當(dāng)補充一些例題和習(xí)題. 講解完雙曲線的漸近線后，要注意說明：反過來以為漸近線的雙曲線方程則是. 對雙曲線離心率進行教學(xué)時要指明它的大小反映的是雙曲線的張口大小，而橢圓離心率的大小反映的是橢圓的扁平程度. 同橢圓一樣，雙曲線有兩種定義，教材上以例3的教學(xué)來引出它，我們講課時要充分注意到此例題與后面的定義在教學(xué)上的邏輯關(guān)系，突出考慮學(xué)生認(rèn)知心理的變化規(guī)律. 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 名 稱橢 圓雙 曲 線圖 象定 義 平面內(nèi)到兩定點的距離的和為常數(shù)（大于）的動點的軌跡叫橢圓。即 當(dāng)22時，軌跡是橢圓， 當(dāng)2=2時，軌跡是一條線段 當(dāng)22時，軌跡不存在平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕

4、對值為常數(shù)（小于）的動點的軌跡叫雙曲線。即當(dāng)22時，軌跡是雙曲線當(dāng)2=2時，軌跡是兩條射線當(dāng)22時，軌跡不存在標(biāo)準(zhǔn)方 程 焦點在軸上時： 焦點在軸上時： 注：是根據(jù)分母的大小來判斷焦點在哪一坐標(biāo)軸上焦點在軸上時： 焦點在軸上時：注：是根據(jù)項的正負(fù)來判斷焦點所在的位置常數(shù)的關(guān) 系 （符合勾股定理的結(jié)構(gòu)）， 最大，（符合勾股定理的結(jié)構(gòu)）最大，可以 二、講解新課：1范圍、對稱性 由標(biāo)準(zhǔn)方程可得，當(dāng)時，y才有實數(shù)值；對于y的任何值，x都有實數(shù)值 這說明從橫的方向來看，直線x=-a,x=a之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著x的增大，y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲

5、線. 雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心. 2頂點頂點： 特殊點：實軸：長為2a, a叫做實半軸長. 虛軸：長為2b，b叫做虛半軸長.講述：結(jié)合圖形，講解頂點和軸的概念，在雙曲線方程中，令y=0得，故它與x軸有兩個交點，且x軸為雙曲線的對稱軸，所以與其對稱軸的交點，稱為雙曲線的頂點(一般而言，曲線的頂點均指與其對稱軸的交點)，而對稱軸上位于兩頂點間的線段叫做雙曲線的實軸長，它的長是2a.在方程中令x=0得，這個方程沒有實數(shù)根，說明雙曲線和Y軸沒有交點。但Y軸上的兩個特殊點，這兩個點在雙曲線中也有非常重要的作用. 把線段叫做雙曲線的虛軸，它的長是2b. 要特別注意不要把虛軸與橢圓的短軸

6、混淆. 雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異.3漸近線過雙曲線的兩頂點，作軸的平行線，經(jīng)過作軸的平行線，四條直線圍成一個矩形. 矩形的兩條對角線所在直線方程是（），這兩條直線就是雙曲線的漸近線. 分析：要證明直線（）是雙曲線的漸近線，即要證明隨著的增大，直線和曲線越來越靠攏. 也即要證曲線上的點到直線的距離越來越短，因此把問題轉(zhuǎn)化為計算. 但因不好直接求得，因此又把問題轉(zhuǎn)化為求. 最后強調(diào)，對圓錐曲線而言，漸近線是雙曲線具有的性質(zhì). （）.4等軸雙曲線即實軸和虛軸等長，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線. 結(jié)合圖形說明：時，雙曲線方程變成(或，它的實軸和都等于2a(2b)，這時直

7、線圍成正方形，漸近線方程為 它們互相垂直且平分雙曲線的實軸和虛軸所成的角. 5共漸近線的雙曲線系如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或?qū)懗?6雙曲線的草圖利用雙曲線的漸近線，可以幫助我們較準(zhǔn)確地畫出雙曲線的草圖具體做法是：畫出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線的頂點及第一象限內(nèi)任意一點的位置，然后過這兩點并根據(jù)雙曲線在第一象限從漸近線下方逐漸接近漸近線的特點畫出雙曲線的一部分，最后利用雙曲線的對稱性畫出完整的雙曲線.三、講解范例：例1 求雙曲線的頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)，實半軸長、虛半軸長和漸近線方程，并作出草圖.分析：只要緊扣有關(guān)概念和方法，就易解答.解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程由此可知

8、，實半軸長a1，虛半軸長b2頂點坐標(biāo)是（1，0），（1，0） 焦點的坐標(biāo)是(，0)，(，0)漸近線方程為，即 .例2 求與雙曲線共漸近線且過的雙曲線的方程.分析：因所求的雙曲線與已知雙曲線共漸近線，故可先設(shè)出雙曲線系，再把已知點代入，求得K的值即可解：設(shè)與共漸近線且過的雙曲線的方程為.則 ，從而有.所求雙曲線的方程為.四、課堂練習(xí)：1下列方程中，以為漸近線的雙曲線方程是 （ A ） 2.過點(3,0)的直線與雙曲線4x2-9y2=36只有一個公共點,則直線共有 （ C ） (A)1條 (B)2條 (C)3條 (D)4條翰3.若方程=1表示雙曲線，其中為負(fù)常數(shù)，則的取值范圍是( B )(A)(,-) (B)(,-) (C)(-,) (D)(-,)(-,+)翰林匯4.中心在原點，一個焦點為(3，0)，一條漸近線方程的雙曲線方程是（A）(A) (B)(C) (D)5.與雙曲線有共同的漸近線，且一頂點為(0，9)的雙曲線的方程是（ D ）(A) (B)(C) (D)6.雙曲線2kx2-ky2=1的一焦點是F(0，4)，則k等于 ( A ) (A)-3/3