高考數學快速提升成績題型訓練――圓錐曲線

1、本資料來源于七彩教育網高考數學快速提升成績題型訓練圓錐曲線1. 已知常數m 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，經過點A(m, 0)，以a+b為方向向量的直線與經過點B(- m, 0)，以b- 4a為方向向量的直線交于點P，其中R(1) 求點P的軌跡E；(2) 若，F(4, 0)，問是否存在實數k使得以Q(k, 0)為圓心，|QF|為半徑的圓與軌跡E交于M、N兩點，并且|MF| + |NF| =若存在求出k的值；若不存在，試說明理由2 雙曲線的實半軸與虛半軸長的積為，它的兩焦點分別為F1、F2，直線過F2且與直線F1F2的夾角為，且

2、，與線段F1F2的垂直平分線的交點為P，線段PF2與雙曲線的交點為Q，且，建立適當的坐標系，求雙曲線的方程.3. 在直角坐標平面上，O為原點，M為動點，. 過點M作MM1y軸于M1，過N作NN1x軸于點N1，. 記點T的軌跡為曲線C，點A（5，0）、B（1，0），過點A作直線l交曲線C于兩個不同的點P、Q（點Q在A與P之間）. （1）求曲線C的方程； （2）證明不存在直線l，使得|BP|=|BQ|； （3）過點P作y軸的平行線與曲線C的另一交點為S，若，證明4. 已知離心率為的雙曲線C的中心在坐標原點，左、右焦點F1、F2在軸上，雙曲線C的右支上一點A使且的面積為1。（1） 求雙曲線C的標準方

3、程；（2） 若直線與雙曲線C相交于E、F兩點（E、F不是左右頂點），且以EF為直徑的圓過雙曲線C的右頂點D。求證：直線過定點，并求出該定點的坐標。5.求與雙曲線有公共漸進線，且經過點的雙曲線的方程。6、已知分別是雙曲線的左右焦點，是雙曲線上的一點，且=120，求的面積7、證明：雙曲線上任意一點到兩條漸進線的距離的乘積是一個定值8、已知半圓的直徑為，點在半圓上，雙曲線以為焦點，且過點。若，求雙曲線的方程。9. 已知圓：x2+y2=c2(c0),把圓上的各點縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的倍得一橢圓。求橢圓方程,并證明橢圓離心率是與c無關的常數；設圓與x軸交點為P，過點P的直線l與圓的另一交點為Q，

4、直線l與橢圓的兩交點為M、N，且滿足，求直線l的傾斜角。10. 已知點（x,y）在橢圓C：（ab0）上運動求點的軌跡C方程；若把軌跡C的方程表達式記為：y=f(x)，且在內y=f(x)有最大值，試求橢圓C的離心率的取值范圍。11. 已知過橢圓右焦點且斜率為1的直線交橢圓于、兩點，為弦的中點；又函數的圖像的一條對稱軸的方程是。（1） 求橢圓的離心率與;（2） 對于任意一點,試證:總存在角使等式: 成立.12. 已知圓k過定點A(a,0)(a0),圓心k在拋物線C：y2=2ax上運動，MN為圓k在y軸上截得的弦.(1)試問MN的長是否隨圓心k的運動而變化？(2)當|OA|是|OM|與|ON|的等差

5、中項時，拋物線C的準線與圓k有怎樣的位置關系？13. 如圖，已知橢圓=1(2m5),過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及其準線的交點從左到右的順序為A、B、C、D，設f(m)=|AB|CD|(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值.14. 已知雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，右準線為一條漸近線的方程是過雙曲線C的右焦點F2的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點，R是弦PQ的中點. （1）求雙曲線C的方程； （2）若在l的左側能作出直線m:x=a，使點R在直線m上的射影S滿足，當點P在曲線C上運動時，求a的取值范圍.15. 設分別是橢圓的左，右焦點。（）若是第一象限內該橢圓上的一點，且，求點

6、的坐標。（）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點，且為銳角（其中O為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍。16. 拋物線C的方程為，作斜率為的兩條直線，分別交拋物線C于A兩點（P、A、B三點互不相同），且滿足 （1）求拋物線C的焦點坐標和準線方程； （2）設直線AB上一點M滿足證明：線段PM的中點在y軸上； （3）當時，若點P的坐標為（1，1），求PAB為鈍角時，點A的縱坐標的取值范圍.17. 如圖，已知點F（1，0），直線為平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，若 （1）求動點P的軌跡C的方程； （2）過點M（1，0）作直線m交軌跡C于A，B兩點。（）記直線FA，FB的斜率分別為k1,k

7、2，求k1+k2的值；（）若線段AB上點R滿足求證： RFMF。錯誤！嵌入對象無效。18. 已知橢圓C的中心為坐標原點，F1、F2分別為它的左、右焦點，直線x=4為它的一條準線，又知橢圓C上存在點M使 （1）求橢圓C的方程； （2）若PQ為過橢圓焦點F2的弦，且內切圓面積最大時實數的值. 19. 已知橢圓，通徑長為1，且焦點與短軸兩端點構成等邊三角形. （1）求橢圓的方程； （2）過點Q（1，0）的直線l交橢圓于A，B兩點，交直線x=4于點E，點Q分 所成比為，點E分所成比為，求證+為定值，并計算出該定值.20. 已知M：軸上的動點，QA，QB分別切M于A，B兩點，（1）如果，求直線MQ的方程

8、；（2）求動弦AB的中點P的軌跡方程.答案：1. 解(1) a+b = ( m,)， 直線AP方程為；又b - 4a =(m, - 4), 直線NP方程為；由、消去得 ，即 故當m = 2時，軌跡E是以(0, 0)為圓心，以2為半徑的圓：x2 + y2 = 4；當m 2時，軌跡E是以原點為中心，以為焦點的橢圓：當0 m 0，b0），設F2（c，0），不妨設的方程為，它與y軸交點，由定比分點坐標公式，得Q點的坐標為，由點Q在雙曲線上可得，又，雙曲線方程為.3. （1）設點T的坐標為，點M的坐標為，則M1的坐標為（0，），于是點N的坐標為，N1的坐標為，所以由由此得由即所求的方程表示的曲線C是橢圓

9、. 3分 （2）點A（5，0）在曲線C即橢圓的外部，當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓C無交點，所以直線l斜率存在，并設為k. 直線l的方程為由方程組依題意當時，設交點PQ的中點為，則又而不可能成立，所以不存在直線l，使得|BP|=|BQ|.7分 （3）由題意有，則有方程組 由（1）得 （5）將（2），（5）代入（3）有整理并將（4）代入得，易知因為B（1，0），S，故，所以4. 解： （1）由題意設雙曲線的標準方程為，由已知得：解得且的面積為1,雙曲線C的標準方程為。（2）設，聯(lián)立得顯然否則直線與雙曲線C只有一個交點。即則又以EF為直徑的圓過雙曲線C的右頂點D(2,0)即化簡整理得 ，且均

10、滿足當時，直線的方程為，直線過定點（2，0），與已知矛盾！當時，直線的方程為，直線過定點（，0）直線定點，定點坐標為（，0）。5.求與雙曲線有公共漸進線，且經過點的雙曲線的方程。解：設雙曲線的方程為在雙曲線上 得所以雙曲線方程為6、已知分別是雙曲線的左右焦點，是雙曲線上的一點，且=120，求的面積解：雙曲線可化為設由題意可得即所以7、證明：雙曲線上任意一點到兩條漸進線的距離的乘積是一個定值解：設雙曲線的方程為 所以漸近線方程為到的距離 到的距離*又在雙曲線上 所以 即故*可化為8、已知半圓的直徑為，點在半圓上，雙曲線以為焦點，且過點。若，求雙曲線的方程。解：在半圓上 在圓上 即 又可得 所以雙

11、曲線方程為9. 解：設R(x,y)是圓：x2y2=c2上任一點，則S（x,y）在所求橢圓上的點，設S(u,v),有u=x,v=y即x=,y=v代入圓的方程得：故所求的橢圓方程為：橢圓的長半軸的長為c，半焦距為c,故離心率e=與c無關。設直線l的方程為：x=ctcos y=tsin (t為參數，為傾斜角) 把代入圓的方程得：（ctcos）cos2(tsin)2=c2整理得：t22ccost2=0 設的兩根為t1、t2,解得：t1=0,t2=2ccos 把代入橢圓方程得：（ctcos）2+2(tsin)2=2c2 整理得：(1+sin2)t22ccostc2=0 設方程的兩根為t3、t4,由韋達定

12、理：t3t4=,t3t4=，=又故有：即cos2(1+sin2)2=1整理得：又0，）sin=0=0或sin2=故得：或。綜合得：=0或或。10. 解：橢圓C：的參數方程為：為參數），又設點是軌跡C上任意一點，則軌跡C的參數方程為：（為參數）消去參數得：把換成x,y，所求軌跡C的方程為： 把方程表達為函數解析式：，下證函數在上是增函數，在上是減函數。設x1x20，作差= 當0時，則有0于是得到：01故由式知：0當時，則有于是得到：1故由式知：0故得到函數在上是增函數，在上是減函數。因此在（上有最大值，當且僅當時取到最大值。要使函數在內取到最大值，則只要設橢圓半焦距為c，于是有e1即符合題意的離

13、心率的取值范圍是。11. 解:1)函數.又,故為第一象限角,且. 函數圖像的一條對稱軸方程式是: 得又c為半點焦距， 由知橢圓C的方程可化為 （1） 又焦點F的坐標為（），AB所在的直線方程為 （2） （2）代入（1）展開整理得 （3） 設A（），B（），弦AB的中點N（），則是方程（3）的兩個不等的實數根，由韋達定理得 （4） 即為所求。 2）與是平面內的兩個不共線的向量，由平面向量基本定理，對于這一平面內的向量，有且只有一對實數使得等式成立。設由1）中各點的坐標可得：又點在橢圓上，代入（1）式得 化為： （5） 由（2）和（4）式得 又兩點在橢圓上，故1有入（5）式化簡得： 由得到又是唯一

14、確定的實數，且，故存在角，使成立，則有若，則存在角使等式成立；若由與于是用代換，同樣證得存在角使等式：成立.綜合上述，對于任意一點，總存在角使等式：成立.12. 解：(1)設圓心k(x0,y0),且y02=2ax0,圓k的半徑R=|AK|=|MN|=2=2a(定值)弦MN的長不隨圓心k的運動而變化.(2)設M(0,y1)、N(0,y2)在圓k：(xx0)2+(yy0)2=x02+a2中，令x=0，得y22y0y+y02a2=0y1y2=y02a2|OA|是|OM|與|ON|的等差中項.|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a.又|MN|=|y1y2|=2a|y1|+|y2|=|

15、y1y2|y1y20，因此y02a20,即2ax0a20.0x0.圓心k到拋物線準線距離d=x0+a,而圓k半徑R=a.且上兩式不能同時取等號，故圓k必與準線相交.13. 解：(1)設橢圓的半長軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c，則a2=m,b2=m1,c2=a2b2=1橢圓的焦點為F1(1,0),F2(1,0).故直線的方程為y=x+1,又橢圓的準線方程為x=,即x=m.A(m,m+1),D(m,m+1)考慮方程組,消去y得：(m1)x2+m(x+1)2=m(m1)整理得：(2m1)x2+2mx+2mm2=0=4m24(2m1)(2mm2)=8m(m1)22m5,0恒成立，xB+xC=.又A

16、、B、C、D都在直線y=x+1上|AB|=|xBxA|=(xBxA),|CD|=(xDxC)|AB|CD|=|xBxA+xDxC|=|(xB+xC)(xA+xD)|又xA=m,xD=m,xA+xD=0|AB|CD|=|xB+xC|=|= (2m5)故f(m)=，m2,5.(2)由f(m)=，可知f(m)= 又222f(m)故f(m)的最大值為，此時m=2;f(m)的最小值為，此時m=5.14. 解：（1）設雙曲線C的方程為，則它的右準線方程為已知得=1，則=1，所以所求雙曲線C的方程是（2）因為點R在直線m上的射影S滿足所以PSQS，即PSQ是直角三角形.所以點R到直線m:x=的距離為|RS|

17、=即又所以|PQ|=|PF2|+|F2Q|=2（xPxQ1）=4XR2將代入，得又P、Q是過右焦點F2的一條弦，且P、Q均在雙曲線C的右支上，R是弦PQ的中點.所以故所求a的取值范圍是a1.15. 解：（）易知。， 聯(lián)立，解得， （）顯然可設聯(lián)立 由 得 又， 又 綜可知 16. （1）由拋物線C的方程得，焦點坐標為 （2）設直線PA的方程為點 的解將式代入式，得，于是 又點 的解將式代入式，得，于是 由已知得， 設點M的坐標為將式和式代入上式，得所以線段PM的中點在y軸上 （3）因為點P（1，1）在拋物線由式知將代入式得因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點A、B的坐標為故當即17. 解：（1）設點由（2）（）由題意直線m斜率存在且不為0，設直線與拋物線方程聯(lián)立 得設（）設動點R18. 解：（1）據題意，設橢圓C的方程為 ，直線x=4 為橢圓C的準線， 又， M為橢圓C短軸上的頂點，F1MF2為等邊三角形且，橢圓C的方程為 （2）顯然直線PQ不與x軸重合，當PQ與x軸垂直，即直線PQ分斜率不存在時，當直線PQ斜率存在時，設它的斜率為k，則直線PQ的方程為，代