江南中學初中數(shù)學競賽題20124

1、江南中學初中數(shù)學競賽題2012.4班級 _ 姓名_ 成績_一、選擇題(每小題7分，共42分)1. 設，且x、y、z為有理數(shù).則xyz=( ).(A)34 (B)56 (C)712 (D)13182. 某次數(shù)學測驗共有20道題.評分標準規(guī)定:每答對一題得5分，不答得0分，答錯得-2分.已知這次測驗中小強與小剛的累計得分相等，分數(shù)是質數(shù).則小強與小剛答題的情況是( ).(A)兩人答對的題數(shù)一樣多 (B)兩人答對的題數(shù)相差2(C)兩人答對的題數(shù)相差4 (D)以上三種情況都有可能3. 能判定四邊形ABCD是菱形的條件是( ).(A)對角線AC平分對角線BD，且ACBD(B)對角線AC平分對角線BD，且

2、A=C(C)對角線AC平分對角線BD，且平分A、C(D)對角線AC平分A、C，且A=C4. 已知拋物線y=ax2+bx+c(a0)與直線y=k(x-1)-.無論k取任何實數(shù),此拋物線與直線都只有一個公共點.那么,拋物線的解析式是( ).(A)y=x2 (B)y=x2-2x (C)y=x2-2x+1 (D)y=2x2-4x+25. 如圖，在ABC中，B為直角，A的平分線為AD，邊BC上的中線為E，且點D、E順次分BC成三段的比為123.則sinBAC=( ). (A)12/13 (B)4 /9 (C)2 /5 (D) 6. 已知在平面直角坐標系xOy中，直線y=2kx+3-4k與x軸正半軸、y軸

3、正半軸分別交于點A、B，P是線段AB上一點，PMx軸于點M，PNy軸于點N.則矩形OMPN面積的最大值至少為( ).(A)3 (B)4 (C)6 (D)8二、填空題(每小題7分，共28分)7. 正方形ABCD的邊長為5，E為邊BC上一點，使得BE=3，P是對角線BD上的一點，使得PE+PC的值最小.則PB= .8. .一個自行車輪胎，若安裝在前輪，則行駛5 000 km后報廢;若安裝在后輪，則行駛3 000 km后報廢.如果行駛一定路程后交換前、后輪胎，使一對新輪胎同時報廢，那么，最多可行駛 km.9.已知方程x2+x-1=0的兩個根為、.則的值為 .10. 如圖是一個掛在墻壁上時鐘的示意圖.

4、O是其秒針的轉動中心，M是秒針的另一端，OM=10 cm，l是過點O的鉛直直線.現(xiàn)有一只螞蟻P在秒針OM上爬行，螞蟻P到點O的距離與M到l的距離始終相等.1分鐘的時間內，螞蟻P被秒針OM攜帶的過程中移動的路程(非螞蟻在秒針上爬行的路程)是 cm.三解答題11.(18分)某公司用480萬元購得某種產品的生產技術后，再次投入資金1 520萬元購買生產設備，進行該產品的生產加工.已知生產這種產品每件還需成本費40元，經(jīng)過市場調研發(fā)現(xiàn):該產品的銷售單價定在100元到00元之間較為合理.當銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件;當銷售單價超過100元，但不超過200元時，每件產品的銷售價格每增加10

5、元，年銷售量將減少0.8萬件;當銷售單價超過200元，但不超過300元時，每件產品的銷售價格每增加10元，年銷售量將減少1萬件.設銷售單價為x(元)，年銷售量為y(萬件)，年獲利為w(萬元).(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)關系式.(2)求第一年的年獲利w與x之間的函數(shù)關系式，并說明投資的第一年，該公司是贏利還是虧損?若贏利，最大利潤是多少?若虧損，最少虧損是多少?(3)該公司希望到第二年底，兩年的總贏利不低于1 842萬元，請你確定此時銷售單價的范圍.在此情況下，要使產品銷售量最大，銷售單價應定為多少元?12. (16分)已知二次函數(shù)y=x2+2mx-n2.(1)若此二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(1，

6、1)，且記m，n+4兩數(shù)中較大者為P，試求P的最小值;(2)若m、n變化時，這些函數(shù)的圖像是不同的拋物線，如果每條拋物線與坐標軸都有三個不同的交點，則過這三個交點作圓，證明:這些圓都經(jīng)過同一定點，并求出該定點的坐標.13. (16分)實數(shù)x、y、z、w滿足xyzw0，且5x+4y+3z+6w=100.求x+y+z+w的最大值和最小值.參考答案1. A.兩邊平方得3+ +=x+y+z+2+2+2.根據(jù)有理數(shù)x、y、z的對稱性,可考慮方程組x+y+z=3,2= ,2=,2= .解得x=1,y=12,z=32.此時,xyz=3/4.2. D.根據(jù)題意，依次枚舉答對20道題、19道題、的各種可能發(fā)現(xiàn):

7、(1)小強與小剛可能都答對17題、答錯1題、未答其余2題同得83分;(2)小剛與小強可能同得53分，不過一人答對13題、答錯6題、1題未答，另一人答對11題、答錯1題、其余各題未答;(3)小剛與小強也可能同得23分，其中一人答對9題，其余各題答錯，另一人答對5題、答錯1題、其余各題未答.3. D.如圖4，AC平分BD，ACBD，AC也平分A和C，故可排除選項(A)、(C).而選項(B)的條件只能推出四邊形ABCD是平行四邊形，故排除選項(B). 4. C.由y=ax2+bx+c,y=k(x-1)-k2/4得ax2+(b-k)x+c+k+k2/4=0.由題設知,方程有兩個相等的實根,則=(b-k

8、)2-4a( c+k+k2/4)=0,即 (1-a)k2-2(2a+b)k+b2-4ac=0.因為k為任意實數(shù),所以,拋物線的解析式為y=x2-2x+1.5. C.設BD=x，AB=y，則DE=2x，EC=3x.由BD/DC=AB/AC，得AC=5y.又AB2+BC2=AC2，即y2+(6x)2=(5y)2.所以，x2=2y2/3，sinBAC=6x/5y=2 /5.6. C.設點P的坐標為(x0，y0)，矩形OMPN的面積為S.則x00，y00，S=x0y0.因為點P(x0，y0)在y=2kx+3-4k上，所以，y0=2kx0+3-4k.故S=x0(2kx0+3-4k)=2kx20+(3-4

9、k)x0.因此，S最大=，即16k2-(24-8S最大)k+9=0.因為k為實數(shù)，則有=-(24-8S最大)2-41690.故|24-8S最大|24.解得S最大6或S最大0(舍去).當S最大=6時，k=-3/4.7. 15 /8.因為PE+PC=PE+PA，所以，當A、P、E三點共線時，PE+PA最小. 如圖，建立直角坐標系，設B為坐標原點，BA為x軸.則lBD:y=x，lAE:3x+5y=15.所以，P(15/8，15/8).故PB=15/8.8. 3 750.設每個新輪胎報廢時的總磨損量為k，則安裝在前輪的輪胎每行駛1 km的磨損量為k/5 000，安裝在后輪的輪胎每行駛1 km的磨損量為

10、k/3 000.又設一對新輪胎交換位置前走了xkm，交換位置后走了ykm.分別以一個輪胎的總磨損量為等量關系列方程，有.兩式相加得x+y=3 750 (km9. .-7.令A=，B=2+2.由已知有+=-1，=-1.故B=(+)2-2=1+2=3. A+B=)=(3+3)(1/+1/)=-4.由式、得A=-4-3=-7.10. 20.如圖，以點O為圓心、10 cm為半徑作O.過M作MNl于點N，過O作l的垂線交O于點Q1、Q2.聯(lián)結PQ1.則MNOQ1，M=MOQ1. 又因OM=OQ1，MN=OP，所以，OMNQ1OP.故OPQ1=ONM=90. 因此，點P在以OQ1為直徑的圓上.同理，點P在

11、以OQ2為直徑的圓上.從而，螞蟻P在1分鐘的時間內被秒針OM攜帶的過程中移動的軌跡就是分別以OQ1、OQ2為直徑的兩個圓.移動的路程為210=20.11、(1)y=-x+28， 100x200;y=- x+32， 200x300. (2)當100x200時，w=xy-40y-(1 520+480).將y=-x+28代入式得w=x(-x+28)-40(-x+28)-2 000.整理得w=- (x-195)2-78.當200x300時，同理可得w=- (x-180)2-40.故w=- (x-195)2-78， 100x200;w=- (x-180)2-40， 200x300.若100x200，當x

12、=195時，wmax=-78;若200x300時，wmax-80.故投資的第一年公司是虧損的，最少虧損為78萬元.(3)依題意可知，第二年w與x之間的函數(shù)關系式為w=(-x+28)(x-40)， 100x200;w= (-x+32)(x-40)， 200x300.當兩年總利潤剛好為1 842萬元時，依題意得(-x+28)(x-40)-78=1 842，100x200或 (-110x+32)(x-40)-78=1 842，200x300.解得x1=190，x2=200.故當190x200時，總利潤不低于1 842萬元.由y=-x+28(100x200)可知，當銷售單價定為190元時，銷售量最大.

13、12 (1)由二次函數(shù)過點(1，1)得m=n2/2.注意到m-(n+4)= n2/2-(n+4)= (n2-2n-8)= (n-4)(n+2)，所以，P= n2/2， n-2或n4;P=n+4， -2n4.再利用函數(shù)圖像可知，當n=-2時，Pmin=2.(2)圖像與坐標軸有三個不同的交點，可設交點坐標為A(x1，0)、B(x2，0)、C(0，-n2).又x1x2=-n2，若n=0，則與三個交點不符，故x1x2=-n20.所以，x1、x2分在原點左右兩側.又|x1x2|=n21，所以，存在點P0(0，1)使得|OA|OB|=|OP0|OC|.故A、B、C、P0四點共圓，即這些圓必過定點P0(0，1).13. 設z=w+a，y=w+a+b，x=w+a+b+c.則a、b、c0，且x+y+z+w=4w+3a+2b+c.故100=5(w+a+b+c)+4(w+a+b)+3(w+