高中數學 第一章 柱坐標系和球坐標系學案 北師大版選修

1、3柱坐標系和球坐標系1了解在柱坐標系，球坐標系中刻畫空間點的位置的方法2掌握點的坐標系之間的互化，并能解決簡單的實際問題1柱坐標系在平面極坐標系的基礎上，通過極點O，再增加一條與極坐標系所在平面垂直的z軸，這樣就建立了柱坐標系(如圖)設M(x，y，z)為空間一點，并設點M在xOy平面上的投影點P的極坐標為(r，)，則這樣的三個數r，z構成的有序數組(r，z)就叫作點M的_，這里規(guī)定r，z的變化范圍為0r，02，z.特別地，r常數，表示的是以z軸為軸的_；常數，表示的是過z軸的_；z常數，表示的是與xOy平面平行的_顯然，點M的直角坐標與柱坐標的關系為【做一做11】點A的柱坐標是，則它的直角坐標

2、是_【做一做12】點B的直角坐標為(1，4)，則它的柱坐標是_2球坐標系設M(x，y，z)為空間一點，點M可用這樣三個有次序的數r，來確定，其中r為原點O到點M間的距離，為有向線段與z軸正方向所夾的角，為從z軸正半軸看，x軸正半軸按逆時針方向旋轉到有向線段的角，這里P為點M在xOy平面上的投影(如圖)這樣的三個數r，構成的有序數組(r，)叫作點M的_，這里r，的變化范圍為0r，0，02，特別地，r常數，表示的是_；常數，表示的是以原點為頂點，z軸為軸的圓錐面；常數，表示的是過z軸的半平面點M的直角坐標與球坐標的關系為【做一做21】設點M的球坐標為，則它的直角坐標是_【做一做22】將點M(1，1

3、，)化成球坐標為_1在研究空間圖形的幾何特征時，應該怎樣建立坐標系？剖析：我們已經學習了數軸、平面直角坐標系、平面極坐標系、空間直角坐標系、柱坐標系、球坐標系等坐標系是聯系形與數的橋梁，利用坐標系可以實現幾何問題與代數問題的相互轉化不同的坐標系有不同的特點，在實際應用時，我們就可以根據問題的特點選擇適當的坐標系，借助坐標系方便、簡捷地研究問題當圖形中有互相垂直且相交于一點的三條直線時，可以利用這三條直線直接建系有些圖形雖然沒有互相垂直且相交于一點的三條直線，但是圖形中有一定的對稱關系(如：正三棱錐、正四棱錐、正六棱錐等)，我們可以利用圖形的對稱性建立空間坐標系來解題有些圖形沒有互相垂直且相交于

4、一點的三條直線，但是有兩個互相垂直的平面，我們可以利用面面垂直的性質定理，作出互相垂直且相交于一點的三條直線，建立空間坐標系2空間直角坐標系、柱坐標系都是刻畫點的位置的方法，它們有什么聯系和區(qū)別？剖析：在直角坐標系中，我們需要三個長度x，y，z；而在柱坐標系中，我們需要長度，還需要角度，它是從長度、方向來描述一個點的位置，需要r，z.空間直角坐標：設點M為空間一已知點我們過點M作三個平面分別垂直于x軸、y軸、z軸，它們與x軸、y軸、z軸的交點依次為P，Q，R，這三點在x軸、y軸、z軸的坐標依次為x，y，z.于是空間的一點M就唯一地確定了一個有序數組(x，y，z)這個組數(x，y，z)就叫做點M

5、的坐標，并依次稱x、y和z為點M的橫坐標、縱坐標和豎坐標(如圖所示)坐標為(x，y，z)的點M通常記為M(x，y，z)這樣，通過空間直角坐標系，我們就建立了空間的點M和有序數組(x，y，z)之間的一一對應關系如果點M在yOz平面上，則x0；同樣，zOx平面上的點，y0；xOy平面上的點，z0.如果點M在x軸上，則yz0；如果點M在y軸上，則xz0；如果點M在z軸上，則xy0.如果M是原點，則xyz0等這兩種三維坐標互相不同，互相有聯系，互相能夠轉化，都是刻畫空間一點的位置，只是描述的角度不同答案：1柱坐標圓柱面半平面平面rcos rsin 【做一做11】(，1,7)xrcos 2cos，yrs

6、in 2sin1，z7，點A的直角坐標為(，1,7)【做一做12】x1rcos ，yrsin ，tan .02，x0，r2，z4，點B的柱坐標為.2球坐標以原點為球心的球面rsin cos rsin sin rcos 【做一做21】(1,1，)由公式得點M的直角坐標為(1,1，)【做一做22】設點M的球坐標為(，)，則r2，tan ，由0，知，又tan 1,02，x0，.M(1，1，)的球坐標為.題型一 柱坐標與直角坐標的互化【例1】將點M的直角坐標化為柱坐標，將點P的柱坐標化為直角坐標(1)M(1，2)；(2)P.分析：利用相關公式代入進行轉化求值反思：已知直角坐標求柱坐標，可以先設出點M的

7、柱坐標為(r，z)，代入變換公式求r，也可以利用r2x2y2求r，利用tan 求，在求的時候特別注意角所在的象限，從而確定的取值；已知柱坐標求直角坐標時，將r，z的值代入變換公式即可題型二 球坐標與直角坐標的互化【例2】將點M的直角坐標化為球坐標，點P的球坐標化為直角坐標(1)M(1，2)；(2)P.分析：利用相關公式代入進行轉化求值反思：由點M的直角坐標化為球坐標時，可以先設點M的球坐標為(r，)，再利用變換公式求出r，代入點的球坐標即可；也可以利用r2x2y2z2，tan，cOs.由直角坐標求球坐標，在確定和的取值時，要特別注意和的取值范圍以及點M的位置，由球坐標化為直角坐標時，可直接代入

8、變換公式，計算x，y，z的值即可題型三 柱坐標、球坐標的實際應用【例3】一個圓形體育館，自正東方向起，按逆時針方向等分為十六個扇形區(qū)域，順次記為一區(qū)，二區(qū)，十六區(qū)，我們設圓形體育場第一排與體育館中心的距離為200 m，每相鄰兩排的間距為1 m，每層看臺的高度為0.7 m，現在需要確定第九區(qū)第四排正中的位置A，請建立適當的坐標系，把點A的坐標求出來反思：找空間中一點的柱坐標，與找平面極坐標是類似的，需要確定極徑、極角，只是比平面極坐標多了一個量，即點在空間中的高度題型四 易錯題型【例4】將直角坐標系中的點M(3，3)轉化成柱坐標錯解：設點M的柱坐標為(r，z)，則由得tan .02，或.當時，r

9、2；當時，r2.M點的柱坐標為或.錯因分析：在求解時，沒有注意還有一個條件即x30，.另r0，)，故r20錯誤答案：【例1】解：(1)設M點的柱坐標為(r，z)，則有tan .又02，x0，r2.M點的柱坐標為.(2)設P點的直角坐標為(x，y，z)，則有點P的直角坐標為(，1)【例2】解：(1)設M點的球坐標為(r，)，則有tan .02，x0，r2.22cos .cos .0，.M點的球坐標為.(2)設P點的直角坐標為(x，y，z)，則有P點的直角坐標為.【例3】解：以圓形體育館中心O為極點，選取以O為端點且過正東入口的射線Ox為極軸，在地面上建立極坐標系，則點A與體育場中軸線Oz的距離為

10、203 m，極軸Ox按逆時針方向旋轉，就是OA在地平面上的射影，A距地面的高度為2.8 m，因此點A的柱坐標為.【例4】正解：設點M的柱坐標為(r，z)，則由得02且x0，r2.M點的柱坐標為.1設點M的直角坐標為(1，9)，則它的柱坐標是()A BC D2在球坐標系中，M與N兩點間的距離是_3設點A的柱坐標為，則它的球坐標為_4用兩個平行平面去截球，在兩個截面圓上有兩個點，它們分別為A、B，求出這兩個截面間的距離答案：1Dr2，z9，點M的柱坐標為.24設點M的直角坐標為(x，y，z)，則M點的直角坐標為(，2)，同理，N點的直角坐標為(，2)|MN|4.3設A的直角坐標為(x，y，z)，則xrcos cos1，yrsin cos1，z，點A的直角坐標為(1,1，)設點A