概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)講義

1、在線 考研數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計考研數(shù)學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)講義主講：張宇張宇：在線名師，博士，全國著名考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)專家，教育部“國家精品課程建設(shè)骨干教師”，全國暢銷書高等數(shù)學(xué) 18 講、考研數(shù)學(xué)題源探析經(jīng)典 1000 題作者，高等教育全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考試參考書（大綱解析）編者之一，2007 年斯洛文尼亞全球可持續(xù)發(fā)展大會受邀專家（發(fā)表 15 分鐘主旨演講）。首創(chuàng)“題源教學(xué)法”，對考研數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)和體系有全新的解讀，對考研數(shù)學(xué)的命題與復(fù)習(xí)思路有極強(qiáng)的把握和預(yù)測能力，讓學(xué)生輕松高效奪取高分。歡迎使用在線目錄第一講第二講第三講第四講第五講

2、如何處理復(fù)雜？. 1如何求分布？5如何求數(shù)字特征？10如何使用極限定理？12如何作估計？13在線 考研數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一講如何處理復(fù)雜？1. 預(yù)備知識（1）隨機(jī)試驗(yàn)稱一個試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)，如果1) 試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；2) 試驗(yàn)所有可能結(jié)果是明確可知道的，并且不止一個；3) 每一次試驗(yàn)會出現(xiàn)哪一個結(jié)果事先不能確定【評注】我們是通過研究隨機(jī)試驗(yàn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象的，為方便起見，將隨機(jī)試驗(yàn)簡稱為試驗(yàn)，并用字母 E 或 E1, E2 , En ,表示在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的結(jié)果稱為隨機(jī)，簡稱為稱為必然，并用大寫，B ，C 等表示，

3、為討論需要，將每次試驗(yàn)一定發(fā)生的字母，記為每稱為不可能，記為 次試驗(yàn)一定不發(fā)生的或樣本點(diǎn)，記為w 每次試驗(yàn)?zāi)茈S機(jī)試驗(yàn)每一最簡單、最基本的結(jié)果稱為基本且只能發(fā)生一個基本基本(或樣本點(diǎn))的全體稱為基本空間(或樣本空間)，記在不少情況下，我們不能確切知道某一隨機(jī)試驗(yàn)的全部可能結(jié)果，但可以知道它不超出某個范圍這時，也可以用這個范圍來作為該試驗(yàn)的全部可能結(jié)果例如我們需要記錄某個城市一天的交通事故數(shù)量，則試驗(yàn)結(jié)果將是非負(fù)數(shù) x 我們無法確定 x 的可能取值的確切范圍，但可以把這范圍取為0, +) ，它總能包含一切可能的試驗(yàn)結(jié)果，盡管我們明知，某些結(jié)果，如x10000，是不會出現(xiàn)的，我們甚至可以把這范圍取為

4、(-, +) 也無妨這里就有了一定的數(shù)學(xué)抽象，它可以帶來很大的方便（2）的運(yùn)算關(guān)系的關(guān)系、運(yùn)算與集合的關(guān)系、運(yùn)算相當(dāng)，且具有相同的運(yùn)算法則： 吸收律：若 A B ，則 A B = B ， AB = A ；交換律： A B = B A， AB = BA；結(jié)合律： ( A B) C = A (B C)， ( AB)C = A(BC) ；分配律： A(B C) = AB AC ， A BC = ( A B)( A C) ； A(B - C) = AB - AC ；對偶律： AB = AB , AB = AB .2. 古典概型定義：如果其基本空間(樣本空間)滿足(1)只有有限個基本(樣本點(diǎn))；(2)每

5、個基本(樣本點(diǎn))發(fā)生的可能性都一樣稱隨機(jī)試驗(yàn)(隨機(jī)現(xiàn)象)的概率模型為古典概型.如果古典概型的基本總數(shù)為 n ，A 包含k 個基本，即有利于 A 的基本k1的在線 考研數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計個則 A 的概率定義為A所含基本個數(shù)P( A) =n基本總數(shù)由上式計算的概率稱為 A 的古典概率【例】將n 個球隨意放入 N (n N ) 個盒子中，每個盒子可放任意多球，求 P 恰有n 個盒子中各有一球.【注】假設(shè)有 12 個人回母校參加校慶，則 P 12 個人生日全不相同= .3. 幾何概型引例定義：如果(1)樣本空間(基本空間) W 是一個可度量的幾何區(qū)域；(

6、2)每個樣本點(diǎn)(基本)發(fā)生的可能性都一樣，即樣本點(diǎn)落入W 的某一可度量的子區(qū)域 A 的可能性大小與 A的幾何度量成正比，而與 A 的位置及形狀無關(guān)稱隨機(jī)試驗(yàn)(隨機(jī)現(xiàn)象)的概率模型為幾何概型.在幾何概型隨機(jī)試驗(yàn)中，如果 SA 是樣本空間W 一個可度量的子區(qū)域，則A “樣本點(diǎn)落入?yún)^(qū)域 SA ”的概率定義為P( A) = SA的幾何度量W的幾何度量由上式計算的概率稱為 A 的幾何概率.【例】甲、乙有約，上午 9:0010:00 到校門口見面，等 20 分鐘即離開.求 P 相遇= .2在線 考研數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計4. 重要公式求概率 P( A) = 1-

7、 P( A) ； P( A - B) = P( A) - P( AB) ； P( A + B) = P( A) + P(B) - P( AB) ；P( A + B + C) = P( A) + P(B) + P(C) - P( AB) - P(BC) - P( AC) + P( ABC) ；大于 3 個時，只考查【注】當(dāng)nnAn (n 3) 兩兩互斥，則 P(Ai ) = P( Ai ) ；1） A1, A2 ,i=1i=1An (n 3) 相互獨(dú)立，則2） A1, A2 ,nnAi ) = P( A1 A2 A3 An ) = 1- 1- P( Ai ) .i=1P(i=1An ，若對其中任

8、意有限個 Ai1, Ai2 , Aik (k 2) ，都有相互獨(dú)立：設(shè) A1, A2 ,P(Ai1 Ai2Aik ) = P(Ai1)P(Ai2 )P(Aik ) ，則稱 A1, A2 ,An 相互獨(dú)立.n 個相互獨(dú)立 它們中任意一部分換成各自的對立所得n 個新相互獨(dú)立 P(B | A) = P( AB)( P( A) 0 )P( A) P( AB) = P( A)P(BA) ； P(ABC) = P(AB)P(CAB) = P(A)P(BA)P(CAB) ；全概率公式（全集分解公式）引例假設(shè)一個村子里有三個小偷，求失竊的概率P失竊.n定義：如果UAi = W, Ai Aji-1= f(i =

9、/j), P( Ai ) 0 ，則對任一B ，有nnB = UAi B, P(B) = P( Ai )P(B | Ai ).i -1i -1貝葉斯公式3在線 考研數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計n如果UAi = W, Ai Aji=1= f(i =/j), P( Ai ) 0 ，則對任一件事 B ，只要 P(B) 0 ，有P( A | B) = P( Ai )P(B | Ai ) (i = 1,2,L, n)inP( Ai )(B | Ai )i=1【例】有甲、乙兩人射擊，輪流獨(dú)立對同一目標(biāo)射擊. P 甲命中=a ， P 乙命中= b .甲先射擊，誰先命中誰獲

10、勝.求甲、乙獲勝的概率.4在線 考研數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二講如何求分布？1. 基本概念（1）隨量量就是“其值隨機(jī)會而定”的變量設(shè)隨機(jī)試驗(yàn) E 的樣本空間為W= w ，如隨果對每一個w W ，都有唯一的實(shí)數(shù) X (w) 與之對應(yīng)，并且對任意實(shí)數(shù) x ，w : X (w) x是隨機(jī)，則稱定義在W 上的實(shí)單值函數(shù) X (w) 為隨量簡記為隨量 X 一般用大寫字母 X ， Y ， Z 或希臘字母x ，h ，來表示隨（2）分布函數(shù)量PX x(x R) 為隨設(shè) X 是隨量， x 是任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù) F(x)量 X 的分布函數(shù)，或稱 X 服從分布 F (x)

11、，記為 XF (x) （3）離散型隨量如果隨量 X 只可能取有限個或可列個值 x1, x2 ,，則稱 X 為離散型隨量，稱= PX= xi ， i = 1, 2,pi，為 X 的分布列、分布律或概率分布，記為 Xpi 概率分 x1x2L或 X p .布常用表格形式或矩陣形式表示，即pL12量 X 的概率分布為 pi = PX = xi ，則 X 的分布函數(shù)設(shè)離散型隨F (x) = P( X x) = P( X = xi )xi x（ - x +）（4）連續(xù)型隨量對于某一隨便變量 X ，若存在非負(fù)可積函數(shù) f (x) ，使得xF (x) =f (t)dt ， - x +-則稱 X 為連續(xù)型隨2.

12、 重要分布（1） 0 -1 分布（兩點(diǎn)分布）量.5在線 考研數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計 101 - P= 0 = 1- p ，則稱 X 服從= 1 = p ， P X如果 X 的概率分布為 X P即 P XB(1, p)(0 p 1) 參數(shù)為 p 的 0-1 分布，記為 X（2）二項(xiàng)分布【注】n 重伯努利試驗(yàn)：1）相互獨(dú)立；2）每次試驗(yàn)出現(xiàn) A 的概率相同；3）只有兩個結(jié)果PX = PX=k=k=k k)nk -1(p-，k = 0,1,A ，A . A 發(fā)生的次數(shù)記為 X ，則C p, n .nn-k如果 X 的概率分布為 p = P X = k =

13、C p (1- p)， k = 0,1, n ， 0 p 1 ，k kkn則稱 X 服從參數(shù)為(n, p) 的二項(xiàng)分布，記為 XB(n, p) .（3）幾何分布（與幾何無關(guān)?。笆字屑赐Ｖ埂保ǖ却头植迹? PX = k = qk -1 p ， k = 1, 2, n ， 0 p 0 ，則稱 X 服從參數(shù)為l的泊松分布.（6）均勻分布（與幾何概型聯(lián)系）若隨量 X 在區(qū)間 I 上的任一子區(qū)間取值的概率與該子區(qū)間的長度成正比，則稱1a x 0,若 Xf (x) = （8）正態(tài)分布（ l 0 ），則稱 XE(l) .0,x 0-( x-m )21N(m,s 2 ) .若 Xf (x) = e2s 2

14、， - x 0)= y 條件下的條件密度)條件概率密度： f(x( X 在YYX Y f ( y)Yf (x, y) ( fx) =(x) 0)= x 條件下的條件密度)f( y( Y 在 XXY X f (x)XfX (x) fY ( y) = f (x, y) X ,Y 獨(dú)立.獨(dú)立性：= x (0 x 0 ， DY 0 存在，則稱 E( X - EX )(Y - EY ) 為隨量 X 與Y 的協(xié)方差并記為cov( X ,Y ) .cov( X ,Y ) = EXY - EX EY .若Y = X ，則cov( X ,Y ) = cov( X , X ) = DX .4.相關(guān)系數(shù)cov( X

15、 ,Y )r=X 與Y 的相關(guān)系數(shù).，稱為隨XYDX DY10在線 考研數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計= EXY - EX EY rXYDX DY【例】設(shè)某商品每周的需求量 XU10, 30.當(dāng)商店進(jìn)貨數(shù)為10, 30 中的某一整數(shù)時，商店每售出一件商品可獲利 500 元.1）若供大于求，則降價處理，處理的每件商品虧損 100 元；2）若供不應(yīng)求，則可從外調(diào)貨供應(yīng)，此時每件商品僅獲利 300 元.為使商店所獲利潤的期望值不少于 9280 元，試確定最少進(jìn)貨量.11在線 考研數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四講如何使用極限定

16、理？1.依概率收斂設(shè)數(shù)列Xn ， n = 1, 2,， X 為一隨量（或a 為一常數(shù)）.任給正數(shù)e 0 ，恒有l(wèi)im P Xn - X e = 1（或lim P Xn - a e = 1），則稱隨量序列nnX1, X2 , Xn ,依概率收斂于 X （或a ）.2.大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律：假設(shè)Xn , n 1 是相互獨(dú)立的隨量序列，如果方差D(Xk )(k 1) 存在且一致有上界，即存在常數(shù)C ，使 D(Xk ) C ，n(一切k 1 )，則X , n 1 服從大數(shù)定律： 1 nX - 1 EX0.Pniinni =1i =1伯努利大數(shù)定律：假設(shè) mn 是 n 重伯努利試驗(yàn)中A 發(fā)生的次數(shù)，

17、在每次試驗(yàn)中A 發(fā)生的概率為 p(0 p 0 ，有l(wèi)im P| mn - p | = 0.nn辛欽大數(shù)定律：假設(shè)Xn , n 1 是獨(dú)立同分布的隨n量序列，如果 EXn = m(n 1)n1n1nXi i=1存在，則X m ，即對任意e 0 ，有l(wèi)im P|- m | = 0.Pin i =1n3.中心極限定理列維林德伯格中心極限定理（獨(dú)立同分布中心極限定理)：假設(shè)Xn , n 1 是獨(dú)立同分布的隨量序列，如果= s 2 (n 1) 存在，則X , n 1 服從中心極限定理，即對任意的實(shí)nEXn = m ， DXn數(shù) x ，有nXi - nmx - 1 x12lim P i =1 x =edt

18、 = (x).2ns-n棣莫弗拉普拉斯中心極限定理（二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為其極限分布定理)：假設(shè)隨量YnB(n, p) ， (0 p 1, n 1) ，則對任意實(shí)數(shù) x ，有Yn - np12x- x/2 x =edt = (x).lim Pnp(1 - p)n-12在線 考研數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)課堂系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五講如何作估計？1.總體與樣本總體 X 某全體研究對象的某一指標(biāo)樣本只研究“簡單隨機(jī)樣本”： Xi 獨(dú)立同分布于 X2.統(tǒng)計量設(shè)(X1, Xn ) 為總體 X 的樣本， g(x1, xn ) 為 n 元函數(shù)，如果 g 中不含任何未知參數(shù)，則稱 g(X1,

19、Xn ) 為樣本(X1, Xn ) 的一個統(tǒng)計量若(x1, xn ) 為樣本值，則稱g(x1, xn ) 為 g(X1, Xn ) 的觀測值3.矩估計x p ,離散型1nni i Xi i=1EX = i=1+xf (x)dx,連續(xù)型 -(q +1)xq ,0 x 1,【例】設(shè)總體 Xf (x,q ) = ，求q 的矩估計量.0,其他4.最大似然估計對未知參數(shù)q 進(jìn)行估計時，在該參數(shù)可能的取值范圍內(nèi)選取使“樣本獲此觀測值(x1, xn )”的概率最大的參數(shù)值q 作為q 的估計，這樣選定的q 最有利于(x1, xn ) 的出現(xiàn)設(shè)總體 X 是離散型，其概率分布為 PX = x = p(x;q ) ，q 為未知參數(shù)，(X1, Xn ) 為 X 的一個樣本，則(X1, Xn ) 取值為(x1, xn ) 的概率是13在線 考研數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)