裂項(xiàng)相消法求和附答案

1、裂項(xiàng)相消法利用列項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面剩兩項(xiàng)，再就是通項(xiàng)公式列項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使列項(xiàng)前后等式兩邊保持相等。（1）若是an等差數(shù)列，則,（2）（3）（4）（5）（6）（7）1.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為， （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為解析 (1) 時(shí), 得: 即 3分在中令, 有, 即，5分故對(duì)2.已知an是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，S4=2S2+8（）求公差d的值；（）若a1=1，設(shè)Tn是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使不等式Tn對(duì)所有的nN*恒成立的最大正整數(shù)m的值；解析（）設(shè)數(shù)列an的公差為d，

2、 S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d) +8，化簡(jiǎn)得：4d=8，解得d=24分（）由a1=1，d=2，得an=2n-1，5分 =6分 Tn=，8分又 不等式Tn對(duì)所有的nN*恒成立， ，10分化簡(jiǎn)得：m2-5m-60，解得：-1m6 m的最大正整數(shù)值為612分3.)已知各項(xiàng)均不相同的等差數(shù)列an的前四項(xiàng)和S4=14,且a1,a3,a7成等比數(shù)列. ()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;()設(shè)Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和,求T2 012的值. 答案 ()設(shè)公差為d,由已知得(3分)解得d=1或d=0(舍去),a1=2. (5分)故an=n+1. (6分)()=-,(8分)Tn=-+-+-=-=. (1

3、0分)T2 012=. (12分)4.)已知數(shù)列an是等差數(shù)列,-=8n+4,設(shè)數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)求證:Tn1. 答案 (1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則an=a1+(n-1)d. (2分)-=8n+4,(an+1+an)(an+1-an)=d(2a1-d+2nd)=8n+4. 當(dāng)n=1時(shí),d(2a1+d)=12;當(dāng)n=2時(shí),d(2a1+3d)=20. 解方程組得或(4分)經(jīng)檢驗(yàn)知,an=2n或an=-2n都滿足要求. an=2n或an=-2n. (6分)(2)證明:由(1)知:an=2n或an=-2n. |an|=2n.

4、Sn=n(n+1). (8分)=-. Tn=1-+-+-=1-. (10分)Tn1. (12分)5.已知等差數(shù)列an的公差為2,前n項(xiàng)和為Sn,且S1,S2,S4成等比數(shù)列.()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;()令bn=(-1)n-1,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.答案 查看解析解析 ()因?yàn)镾1=a1,S2=2a1+2=2a1+2,S4=4a1+2=4a1+12,由題意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1.()bn=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Tn=-+-=1-=.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Tn=-+-+=1+=.所以Tn=6. 已知點(diǎn)的圖象上

5、一點(diǎn)，等比數(shù)列的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和() 求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；() 若數(shù)列的前項(xiàng)和為，問(wèn)的最小正整數(shù)是多少？解析解：() 因?yàn)?，所以，所以，又?jǐn)?shù)列是等比數(shù)列，所以，所以，又 公比，所以，因?yàn)?，又，所以，所以，所以?shù)列構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，所以. （6分）() 由() 得，（10分）由得，滿足的最小正整數(shù)為72. （12分）7. 在數(shù)列，中，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（）. （）求，及，由此歸納出，的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；（）證明：.解析 （）由條件得，由此可得.猜測(cè). （4分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，由上可得結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，那么當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論

6、也成立.由，可知對(duì)一切正整數(shù)都成立. （7分）（）因?yàn)?當(dāng)時(shí)，由（）知.所以.綜上所述，原不等式成立. (12分）8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求使成立的最小的正整數(shù)的值解析 （1） 當(dāng)時(shí)，由， 1分 當(dāng)時(shí)， 是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列 4分 故 6分（2）由（1）知， 8分 ， 故使成立的最小的正整數(shù)的值. 12分9. 己知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列an的前四項(xiàng)和S4=14，且a1，a3，a7成等比數(shù)列 （I）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； （II）設(shè)Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若Tn對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值解析 122. （）設(shè)公差為d. 由已知得3分解得，所以6分（），9分 對(duì)

7、恒成立，即對(duì)恒成立 又 的最小值為12分10. 已知數(shù)列前項(xiàng)和為，首項(xiàng)為，且，成等差數(shù)列. （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）數(shù)列滿足，求證：，解析 （）成等差數(shù)列, ，當(dāng)時(shí)，,兩式相減得： .所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，. （6分） () ， （8分）， . （12分）11.等差數(shù)列an各項(xiàng)均為正整數(shù), a1=3, 前n項(xiàng)和為Sn, 等比數(shù)列bn中, b1=1, 且b2S2=64, 是公比為64的等比數(shù)列. () 求an與bn;() 證明:+. 答案 () 設(shè)an的公差為d, bn的公比為q, 則d為正整數(shù), an=3+(n-1) d, bn=qn-1. 依題意有由(6+d) q=6

8、4知q為正有理數(shù), 又由q=知, d為6的因子1, 2, 3, 6之一, 解得d=2, q=8. 故an=3+2(n-1) =2n+1, bn=8n-1. () 證明:Sn=3+5+(2n+1) =n(n+2) , 所以+=+=0, 故q=. 由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1, 所以a1=. 故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=. () bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n) =-, 故=-=-2, +=-2+=-. 所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為-. 13.等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=3,其前n項(xiàng)和為Sn,bn為等比數(shù)列,b1=1,且b2S2=16,b3S3=60.(

9、)求an和bn;()求+.答案 ()設(shè)an的公差為d,且d為正數(shù),bn的公比為q,an=3+(n-1)d,bn=qn-1,依題意有b2S2=q(6+d)=16,b3S3=q2(9+3d)=60,(2分)解得d=2,q=2.(4分)故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.(6分)()Sn=3+5+(2n+1)=n(n+2),(8分)所以+=+=(10分)=-.(12分)14.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=nan-2n(n-1). 等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,公比為a1,且T5=T3+2b5. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Mn,求證:Mn. 答案(1)T5=T3+2b5,b4+b5=2b5,即(a1-1)b4=0,又b40,a1=1. n2時(shí),an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an