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1、第十講 四邊形10.1 多邊形基礎(chǔ)盤點(diǎn)多邊形的內(nèi)(外)角和:邊形的內(nèi)角和為(-2)180,外角和為360;正邊形的每個內(nèi)角為,每個外角為多邊形的外角和是固定不變的 考點(diǎn)呈現(xiàn) 考點(diǎn)1 已知邊數(shù)求角度 例1 (2015無錫)八邊形的內(nèi)角和為() a180 b360 c1080 d1440分析:根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式直接進(jìn)行計算解:當(dāng)n8時,(n2)180(82)180=6180=1080,選c點(diǎn)評:求n邊形的內(nèi)角和,只需將n的值代入公式180(n2)即可 考點(diǎn)2 已知角度求邊數(shù) 例2 (2015南寧)一個正多邊形的內(nèi)角和為540,則這個正多邊形的每一個外角等于( ). a60 b72 c90 d1
2、08 分析:先由多邊形的內(nèi)角和求出邊數(shù),再由正多邊形的每個外角都相等求外角度數(shù) 解:設(shè)此多邊形為n邊形,根據(jù)題意,得180(n2)=540,即可求得n=5.而多邊形的外角和等于360,可知這個正多邊形的每一個外角等于3605=72,故選b 點(diǎn)評:已知多邊形的內(nèi)角和求多邊形的邊數(shù),常應(yīng)用方程來解決問題 考點(diǎn)3 多邊形對角線 例3 若凸多邊形的內(nèi)角和為12600,則從一個頂點(diǎn)出發(fā)引的對角線條數(shù)是_. 解析:由內(nèi)角和得(n-2)1800=12600,解得n=9.由從多邊形一個頂點(diǎn)出發(fā)引的對角線條數(shù)是n-3,即可知結(jié)論為6. 點(diǎn)評:多邊形每一個頂點(diǎn)引的對角線條數(shù)都是(n-3)條, n邊形的對角線條數(shù)為
3、.誤區(qū)點(diǎn)撥例 一個多邊形截去一個角后,形成另一個多邊形的內(nèi)角和為720,那么原多邊形的邊數(shù)為( ) a.5 b.6 c.7 d.5或6或7錯解:設(shè)這個多邊形截去一個角后的邊數(shù)為n,則180(n-2)=720,解得n=6因為截去一個角后這個多邊形的邊數(shù)增加1,所以原多邊形的邊數(shù)5,選a.剖析:由于不知道這個多邊形截去一個角后的情況,因此要先判斷截去一個角后多邊形的邊數(shù),再分類討論原多邊形的邊數(shù).一個多邊形截去一個角后,邊數(shù)可能加1,可能不變,也可能減1.錯解誤認(rèn)為只有第一種情況,思考不周造成錯誤. 正解:設(shè)這個多邊形截去一個角后邊數(shù)不變,設(shè)其邊數(shù)為n,則180(n-2)=720,解得n=6,所以
4、原多邊形的邊數(shù)可能是5或6或7,故選d.跟蹤訓(xùn)練 1.(2015麗水)一個多邊形的每個內(nèi)角均為120,則這個多邊形是( ) a. 四邊形 b. 五邊形 c. 六邊形 d. 七邊形 2.(2015資陽)一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍,則這個多邊形的邊數(shù)是_ 3. (2014畢節(jié))如圖,一個多邊形紙片按圖示的剪法剪去一個內(nèi)角后,得到一個內(nèi)角和為2340的新多邊形,則原多邊形的邊數(shù)為( ) a13 b14 c15 d16 10.2平行四邊形基礎(chǔ)盤點(diǎn)平行四邊形性質(zhì):(1)平行四邊形的對邊平行且相等;(2)平行四邊形的對角相等,鄰角互補(bǔ);(3)平行四邊形的對角線互相平分;(4)平行四邊形是中心對稱圖形
5、,對稱中心是對角線的交點(diǎn).平行四邊形判定:(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;(4)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形考點(diǎn)呈現(xiàn) 考點(diǎn)1 平行四邊形的性質(zhì) 例1 (1)(2015梅州)如圖1,在abcd中,be平分abc,bc=6,de=2,則abcd的周長等于 (2)(2015大連)如圖2,在abcd中,點(diǎn)o是對角線ac、bd的交點(diǎn),ac垂直于bc,且ab=10cm,ad=8cm,則ob= cm 圖1 圖2分析:(1)根據(jù)abcd可得aebc,根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得出abe=aeb,
6、繼而可得ab=ae,然后根據(jù)已知可求得結(jié)果;(2)根據(jù)abcd可得bc=ad,ao=oc,bo=do,則可在rtabc中求出ac,進(jìn)而得到oc,再在rtboc中求ob解:(1)因為四邊形abcd為平行四邊形,所以aebc,ad=bc,所以aeb=ebc又be平分abc,所以abe=ebc,所以abe=aeb,所以ab=ae.所以ae+de=ad=bc=6,所以ae+2=6,所以ae=4,所以ab=cd=4,所以abcd的周長為4+4+6+6=20. (2)因為ac垂直于bc,ab=10cm,bc=ad=8cm,所以ac=,所以oc=ac=3cm,ob=(cm).點(diǎn)評:解決第(1)題的關(guān)鍵是根據(jù)
7、平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得出abe=aeb,解決第(2)題的關(guān)鍵是運(yùn)用平行四邊形的對角線互相平分和勾股定理 考點(diǎn)2 平行四邊形的判定 例2 (1)(2015廣州)下列命題中:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形真命題的個數(shù)有( ) a3 b2 c1 d0 (2)(2015綿陽)如圖3,在四邊形abcd中,對角線ac、bd相交于點(diǎn)e,cbd90,bc4,beed3,ac10,則四邊形abcd的面積為( ) a6 b12 c20 d24 圖3分析:(1)利用平行四邊形的判定方法進(jìn)行判斷即可;(2)先在rtbe
8、c中求出ce,得到e為ac的中點(diǎn),進(jìn)而四邊形abcd是平行四邊形,即可利用s四邊形abcd=bcbd求解解:(1)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,正確,是真命題;兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形,正確,是真命題;一組對邊平行,另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形,錯誤,例如等腰梯形,也符合一組對邊平行,另一組對邊相等故選b;(2)因為cbd90,所以bec是直角三角形.又bc4,be3,所以因為ac=10,所以e為ac的中點(diǎn).又be=ed=3,所以四邊形abcd是平行四邊形.而且dbc是直角三角形,所以s四邊形abcd=bcbd=46=24.故選d點(diǎn)評:在平行四邊形的判定方法中,只要稍微
9、改動一下說法,就可能成為假命題,若不注意,就會出現(xiàn)似是而非的錯誤.務(wù)必準(zhǔn)確掌握判定定理 考點(diǎn)3 平行四邊形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用 例3 (2015遂寧)如圖4,在abcd中,點(diǎn)e,f在對角線bd上且bedf求證:四邊形aecf是平行四邊形.圖4分析:根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),可得對角線互相平分,再根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,可證明結(jié)論 證明:如圖4,連接ac,并交對角線bd于點(diǎn)o因為四邊形abcd是平行四邊形,所以oa=oc,ob=od因為bedf,所以oe=of所以四邊形aecf是平行四邊形點(diǎn)評:本題證明四邊形bedf是平行四邊形的方法很多,這里用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”
10、來判定最簡捷,你不妨寫出其他證明方法,做一個對比判定四邊形是平行四邊形??蛇叀⒔?、對角線三個方面入手,但有簡繁之分,在解題時注意比較選擇誤區(qū)點(diǎn)撥例1 在abcd中,ad=bd,be是ad邊上的高,ebd=20,則a的度數(shù)為_ 圖5 圖6錯解:如圖5,因為ebd=20,所以edb=70又ad=bd,所以a= 剖析:有些考生由于思維定式,考慮問題不全面,缺少分類,誤以為高be一定在abd的內(nèi)部, 其實高be也可能在abd的外部,如圖6所示,因此應(yīng)分類求解正解:(1)當(dāng)高be在abd的內(nèi)部時,同錯解可得a=55;(2)當(dāng)高be在abd的外部時,因為ebd=20,所以edb=70,所以adb=110又
11、ad=bd,所以a=綜合(1)(2)可知a的度數(shù)為55或35.例2 (2015廣州)已知在四邊形abcd中,a=c,b=d求證:四邊形abcd是平行四邊形 錯解:如圖7,連接bd,則1+3=180-a,2+4=180-c因為a=c,所以1+3=2+4,所以1=4,2=3, 所以abcd,bcad,所以四邊形abcd是平行四邊形圖7剖析:上述錯解中,由1+3=2+4并不能得到1=4,2= 3,這種推理其實是不自覺地默認(rèn)了四邊形abcd是平行四邊形,犯了“循環(huán)論證”的錯誤 正解:因為a=c,b=d,a+b+c+d=360,所以a+b=180,所以adbc.同理,abcd,所以四邊形abcd是平行四
12、邊形跟蹤訓(xùn)練1.(2015寧波)如圖,abcd中,e,f是對角線bd上的兩點(diǎn),如果添加一個條件,使abecdf,則添加的條件不能為( )a. be=df b. bf=de c. ae=cf d. 1=2 第1題圖 第2題圖 第3題圖 2.(2015牡丹江)如圖,四邊形abcd的對角線相交于點(diǎn)o,ao=co,請?zhí)砑右粋€條件_(只添一個即可),使四邊形abcd是平行四邊形. 3.(2015哈爾濱)如圖,在口abcd中,點(diǎn)0是對角線ac的中點(diǎn),ef過點(diǎn)0,與ad、bc分別相交于點(diǎn)e、f,gh過點(diǎn)0,與ab、cd分別相交于點(diǎn)g、h,連接eg、fg、fh、eh. (1)求證:四邊形egfh是平行四邊形
13、(2)如圖,若ef/ab,gh/bc,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖中與四邊形aghd面積相等的所有平行四邊形(四邊形aghd除外).10.3 特殊的平行四邊形基礎(chǔ)盤點(diǎn)1. 矩形性質(zhì):(1)矩形的四個角都是直角;(2)矩形的對角線相等;(3)矩形是軸對稱圖形,有兩條對稱軸判定:(1)定義:有一個角是直角的平行四邊形是矩形;(2)三個角都是直角的四邊形是矩形;(3)對角線相等的平行四邊形是矩形 2.菱形性質(zhì):(1)菱形的四條邊都相等;(2)菱形的對角線互相垂直;(3)菱形是軸對稱圖形,有兩條對稱軸;(4)菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半判定:(1)定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱
14、形;(2)四條邊都相等的四邊形是菱形;(3)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 3.正方形性質(zhì):(1)正方形的四條邊都相等; (2)正方形的四個角都是直角;(3) 正方形的對角線互相垂直平分且相等;(4) 正方形是軸對稱圖形,有四條對稱軸 判定:(1)有一個角是直角的菱形是正方形; (2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)1 矩形的性質(zhì) 例1 (2015無錫)如圖1,已知矩形abcd的對角線長為8cm,e,f,g,h分別是ab,bc,cd,da的中點(diǎn),則四邊形efgh的周長等于_cm 圖1分析:連接ac,bd,根據(jù)三角形的中位線求出hg、gf、ef、eh的長即可 解析:連接ac,bd,因為
15、四邊形abcd是矩形,所以ac=bd=8cm.因為e,f,g,h分別是ab,bc,cd、da的中點(diǎn),所以hg=ef=ac=4cm,eh=fg=bd=4cm,所以四邊形efgh的周長位4cm+4cm+4cm+4cm=16cm 點(diǎn)評:解題的關(guān)鍵是能求出四邊形各邊的長,注意:矩形的對角線相等,三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半 考點(diǎn)2 矩形的判定 例2(2015臨沂)如圖2,四邊形abcd為平行四邊形,延長ad到e,使de=ad,連接eb,ec,db,添加一個條件,不能使四邊形dbce成為矩形的是( ) a.ab=be b.bedc c.adb=90 d. cede 圖2分析:根據(jù)矩形
16、的判定方法來分析判斷 解:因為四邊形abcd為平行四邊形,所以adbc.因為de=ad,所以debc, 所以四邊形edbc為平行四邊形.假若ab=be,因為ab=be,ad=de,bd=bd,所以adbedb, 所以bde=90,所以四邊形edbc為矩形;假若bedc,則只能得到四邊形edbc為菱形;假若adb=90,則edb=90,所以四邊形edbc為矩形;假若cede,則dec=90,四邊形edbc為矩形.故選b. 點(diǎn)評:本題中要謹(jǐn)防將矩形的判定方法與菱形的判定方法相混淆而產(chǎn)生錯誤.考點(diǎn)3 菱形的性質(zhì) 例3 (2015漳州)如圖3,在矩形abcd中,點(diǎn)e在邊cd上,將該矩形沿ae折疊,使點(diǎn)
17、d落在邊bc上的點(diǎn)f處,過點(diǎn)f作fgcd,交ae于點(diǎn)g,連接dg (1)求證:四邊形defg為菱形; (2)若cd=8,cf=4,求的值圖3分析:(1)由翻折得到edef,gdgf,再證明fefg, 即可運(yùn)用菱形的不同判定方法得到多種證法;(2)設(shè)dex,則ec8x,在rtefc中利用勾股定理求出x,即可求出的值 解:(1)如圖3,由軸對稱性質(zhì),得12,edef,gdgf因為fgcd,所以13,則23,所以fefg,所以edefgdgf,所以四邊形defg為菱形 (2)設(shè)dex,由軸對稱,得fedex,ec8x.在rtefc中,fc2ec2ef2,即42(8x)2x2,解得x5,ce8x3,所
18、以 點(diǎn)評:菱形的判定方法較多,在解題中要根據(jù)具體情況來選擇.重視對題目進(jìn)行一題多解的研究,從多中取好,好中取優(yōu),進(jìn)而提高我們分析問題和解決問題的能力考點(diǎn)4 正方形的性質(zhì) 例4 (2015涼山州)如圖4,在正方形abcd中,g是bc上任意一點(diǎn),連接ag,deag于e,bfde交ag于f,探究線段af,bf,ef三者之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由 圖4分析:根據(jù)正方形的性質(zhì),可得ab=ad,dab=abc=90,根據(jù)余角的性質(zhì),可得ade=baf,根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì),可得bf與ae的關(guān)系,再根據(jù)等量代換,可得答案 解:線段af,bf,ef三者之間的數(shù)量關(guān)系af=bf+ef. 理由如下:因為四邊
19、形abcd是正方形,所以ab=ad,dab=abc=90因為deag于e,bfde交ag于f,所以aed=def=afb=90,所以ade+dae=90,dae+baf=90,所以ade=baf在abf和dae中,所以abfdae,所以bf=ae所以af=bf+ef 點(diǎn)評:正方形是特殊的矩形,又是特殊的菱形,因此在解決正方形的有關(guān)問題時,要充分利用解決矩形和菱形問題時的方法與技巧在探索線段af、bf、ef三者之間的數(shù)量關(guān)系時,可通過觀察猜想出結(jié)論考點(diǎn)5 正方形的判定 例5(2015日照)小明在學(xué)習(xí)了正方形之后,給同桌小文出了道題,從下列四個條件:ab=bc,abc=90,ac=bd,acbd中
20、選兩個作為補(bǔ)充條件,使平行四邊形abcd成為正方形(如圖5)現(xiàn)有下列四種選法,你認(rèn)為其中錯誤的是( ) a b c d 圖5 分析:利用矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系與區(qū)別,結(jié)合正方形的判定方法分別判斷得出結(jié)論 解:因為四邊形abcd是平行四邊形,當(dāng)ab=bc時,平行四邊形abcd是菱形,當(dāng)abc=90時,菱形abcd是正方形,故選項a不符合要求;因為四邊形abcd是平行四邊形,所以當(dāng)abc=90時,平行四邊形abcd是矩形,當(dāng)ac=bd時,這是矩形的性質(zhì),無法得出四邊形abcd是正方形,故選項b符合要求;因為四邊形abcd是平行四邊形,當(dāng)ab=bc時,平行四邊形abcd是菱形,當(dāng)ac=bd時,
21、菱形abcd是正方形,故選項c不符合要求;因為四邊形abcd是平行四邊形,所以當(dāng)abc=90時,平行四邊形abcd是矩形,當(dāng)acbd時,矩形abcd是正方形,故選項d不符合要求故選b 點(diǎn)評:正確掌握正方形的判定方法是解題關(guān)鍵在abcd的基礎(chǔ)上,需要再同時具備矩形和菱形的特征,平行四邊形abcd即可成為正方形 考點(diǎn)6 四邊形綜合題例6 (2015泰州)如圖6,正方形abcd的邊長為8cm,e、f、g、h分別是ab、bc、cd、da上的動點(diǎn),且ae=bf=cg=dh.(1)求證:四邊形efgh是正方形;(2)判斷直線eg是否經(jīng)過某一定點(diǎn),說明理由; (3)四邊形efgh的面積是否存在最小值?若存在
22、,請求出這個最小值;若不存在,請說明理由. 圖6分析:(1)由正方形的性質(zhì)得出a=b=c=d=90,ab=bc=cd=da,證出ah=be=cf=dg,由sas證明aehbfecgfdhg,得出eh=fe=gf=gh(也可以由勾股定理得到),aeh=bfe,證出四邊形efgh是菱形,再證明hef=90,即可得出結(jié)論;(2)連接ac、eg,交點(diǎn)為o;先證明aoecog,得出oa=oc,證明點(diǎn)o為對角線ac、bd的交點(diǎn),即o為正方形的中心;(3)設(shè)四邊形efgh面積為s,be=xcm,則bf=(8x)cm,由勾股定理得出s=x2+(8x)2=2(x4)2+32,s是x的二次函數(shù),容易得出四邊形ef
23、gh面積的最小值解:(1)因為四邊形abcd是正方形,所以a=b=c=d=90,ab=bc=cd=da.因為ae=bf=cg=dh,所以ah=be=cf=dg.在aeh、bfe、cgf和dhg中,所以aehbfecgfdhg,所以eh=fe=gf=gh,aeh=bfe,所以四邊形efgh是菱形.所以bef+bfe=90,所以bef+aeh=90,所以hef=90,所以四邊形efgh是正方形. (2)直線eg經(jīng)過一個定點(diǎn),這個定點(diǎn)為正方形的中心(ac、bd的交點(diǎn)).理由如下:連接ac、eg,交點(diǎn)為o,如圖6所示,因為四邊形abcd是正方形,所以abcd,所以oae=ocg.在aoe和cog中,所
24、以aoecog,所以oa=oc,即o為ac的中點(diǎn).因為正方形的對角線互相平分,所以o為對角線ac、bd的交點(diǎn),即o為正方形的中心; (3) 設(shè)四邊形efgh面積為s,設(shè)be=xcm,則bf=(8x)cm.根據(jù)勾股定理,得ef2=be2+bf2=x2+(8x)2,所以s=x2+(8x)2=2(x4)2+32.因為20,所以s有最小值,當(dāng)x=4時,s最小值=32,所以四邊形efgh的面積存在最小值,最小值為32cm2 點(diǎn)評:本題的解法很多,第(1)題系統(tǒng)復(fù)習(xí)了全等三角形、勾股定理、平行四邊形、菱形、矩形及正方形等知識;第(2)題是第(1)題的延伸,要判定直線eg是否經(jīng)過一個定點(diǎn),由合情推理容易猜想
25、到直線eg一定經(jīng)過正方形abcd對角線的交點(diǎn),再運(yùn)用演繹推理來進(jìn)行說理,同時綜合復(fù)習(xí)了全等三角形、平行四邊形、正方形、一次函數(shù)等知識;第(3)題是第(1)題的拓展,要求正方形efgh面積的最小值,方法多元,從幾何角度思考,可運(yùn)用菱形的面積公式與垂線段最短的性質(zhì);從代數(shù)角度思考,可運(yùn)用乘法公式與函數(shù)的有關(guān)知識.請你按照上述提示來對本題進(jìn)行一題多解的研究,并與同伴交流誤區(qū)點(diǎn)撥 例1(2015哈爾濱)在矩形abcd中,ad=5,ab=4,點(diǎn)e,f在直線ad上,且四邊形bcfe為菱形,若線段ef的中點(diǎn)為點(diǎn)m,則線段am的長為_ 錯解:如圖,在rtaeb中,由勾股定理得ae=3,因為ef=5,m是ef的
26、中點(diǎn),所以em=2.5,所以am=3+2.5=5.5 剖析:由于四邊形bcfe為菱形,因此be=bc=5,而ad=4,因此以點(diǎn)b為圓心,5為半徑畫弧與直線ad應(yīng)該有兩個交點(diǎn),進(jìn)而線段am的長應(yīng)該有兩個,錯解只考慮了其中的一種情況,犯了以偏概全的錯誤 正解:因為矩形abcd中,ad=5,ab=4,所以bc=ad=5,bad=90;因為四邊形bcfe是菱形,所以be=bc=5,以點(diǎn)b為圓心,5為半徑畫弧交直線ad于點(diǎn)e:(1) 當(dāng)點(diǎn)e在線段ad上時,同錯解有am=5.5; (2)當(dāng)點(diǎn)e在射線da上時,如圖22,在rtaeb中,由勾股定理,得ae=3.因為ef=5,m是ef的中點(diǎn),所以em=2.5,
27、所以am=3-2.5=0.5因此線段am的長為5.5或0.5.跟蹤訓(xùn)練 1.(2015瀘州)矩形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是( ) a.兩組對邊分別平行 b.兩組對角分別相等 c.對角線互相平分 d. 對角線相等 2.(2015青島)如圖,菱形abcd的對角線ac、bd相交于o點(diǎn),e、f分別是ab、bc邊上的中點(diǎn),連接ef.若ef=,bd=4,則菱形abcd的周長為( ) a.4 b. c. d.28 第2題圖 第3題圖 3.(2015長春)如圖,點(diǎn)e在正方形abcd的邊cd上,若abe的面積為8,ce3,則線段be的長為_ 4.(2015內(nèi)江)如圖,將abcd的邊ab延長至e,使ab=be,連接de,ec,de交bc于點(diǎn)o.(1)求證:abdbec; (2)連接bd,若bod=2a,求證:四邊形becd是矩形. 第4題圖 5.(2015長
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