中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第10講四邊形試題

1、第十講 四邊形10.1 多邊形基礎(chǔ)盤點(diǎn)多邊形的內(nèi)（外）角和：邊形的內(nèi)角和為（-2）180，外角和為360；正邊形的每個內(nèi)角為，每個外角為多邊形的外角和是固定不變的 考點(diǎn)呈現(xiàn) 考點(diǎn)1 已知邊數(shù)求角度 例1 (2015無錫)八邊形的內(nèi)角和為（） a180 b360 c1080 d1440分析：根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式直接進(jìn)行計算解：當(dāng)n8時，(n2)180（82）180=6180=1080，選c點(diǎn)評：求n邊形的內(nèi)角和，只需將n的值代入公式180(n2)即可 考點(diǎn)2 已知角度求邊數(shù) 例2 (2015南寧)一個正多邊形的內(nèi)角和為540，則這個正多邊形的每一個外角等于（ ）. a60 b72 c90 d1

2、08 分析：先由多邊形的內(nèi)角和求出邊數(shù)，再由正多邊形的每個外角都相等求外角度數(shù) 解：設(shè)此多邊形為n邊形，根據(jù)題意，得180（n2）=540，即可求得n=5.而多邊形的外角和等于360，可知這個正多邊形的每一個外角等于3605=72，故選b 點(diǎn)評：已知多邊形的內(nèi)角和求多邊形的邊數(shù)，常應(yīng)用方程來解決問題 考點(diǎn)3 多邊形對角線 例3 若凸多邊形的內(nèi)角和為12600，則從一個頂點(diǎn)出發(fā)引的對角線條數(shù)是_. 解析：由內(nèi)角和得（n-2）1800=12600,解得n=9.由從多邊形一個頂點(diǎn)出發(fā)引的對角線條數(shù)是n-3，即可知結(jié)論為6. 點(diǎn)評：多邊形每一個頂點(diǎn)引的對角線條數(shù)都是(n-3)條， n邊形的對角線條數(shù)為

3、.誤區(qū)點(diǎn)撥例 一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形的內(nèi)角和為720，那么原多邊形的邊數(shù)為（ ） a.5 b.6 c.7 d.5或6或7錯解：設(shè)這個多邊形截去一個角后的邊數(shù)為n，則180（n-2)=720，解得n=6因為截去一個角后這個多邊形的邊數(shù)增加1，所以原多邊形的邊數(shù)5，選a.剖析：由于不知道這個多邊形截去一個角后的情況，因此要先判斷截去一個角后多邊形的邊數(shù)，再分類討論原多邊形的邊數(shù).一個多邊形截去一個角后，邊數(shù)可能加1，可能不變，也可能減1.錯解誤認(rèn)為只有第一種情況，思考不周造成錯誤. 正解：設(shè)這個多邊形截去一個角后邊數(shù)不變，設(shè)其邊數(shù)為n，則180（n-2)=720，解得n=6，所以

4、原多邊形的邊數(shù)可能是5或6或7，故選d.跟蹤訓(xùn)練 1.（2015麗水）一個多邊形的每個內(nèi)角均為120，則這個多邊形是（ ） a. 四邊形 b. 五邊形 c. 六邊形 d. 七邊形 2.（2015資陽）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是_ 3. (2014畢節(jié))如圖，一個多邊形紙片按圖示的剪法剪去一個內(nèi)角后，得到一個內(nèi)角和為2340的新多邊形，則原多邊形的邊數(shù)為( ) a13 b14 c15 d16 10.2平行四邊形基礎(chǔ)盤點(diǎn)平行四邊形性質(zhì)：（1）平行四邊形的對邊平行且相等；（2）平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)；（3）平行四邊形的對角線互相平分；（4）平行四邊形是中心對稱圖形

5、，對稱中心是對角線的交點(diǎn).平行四邊形判定：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形考點(diǎn)呈現(xiàn) 考點(diǎn)1 平行四邊形的性質(zhì) 例1 （1）（2015梅州）如圖1，在abcd中，be平分abc，bc=6，de=2，則abcd的周長等于 （2）（2015大連）如圖2，在abcd中，點(diǎn)o是對角線ac、bd的交點(diǎn)，ac垂直于bc，且ab=10cm，ad=8cm，則ob= cm 圖1 圖2分析：（1）根據(jù)abcd可得aebc，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得出abe=aeb，

6、繼而可得ab=ae，然后根據(jù)已知可求得結(jié)果；（2）根據(jù)abcd可得bc=ad，ao=oc，bo=do，則可在rtabc中求出ac，進(jìn)而得到oc，再在rtboc中求ob解：（1）因為四邊形abcd為平行四邊形，所以aebc，ad=bc，所以aeb=ebc又be平分abc，所以abe=ebc，所以abe=aeb，所以ab=ae.所以ae+de=ad=bc=6，所以ae+2=6，所以ae=4，所以ab=cd=4，所以abcd的周長為4+4+6+6=20. （2）因為ac垂直于bc，ab=10cm，bc=ad=8cm，所以ac=，所以oc=ac=3cm，ob=（cm）.點(diǎn)評：解決第（1）題的關(guān)鍵是根據(jù)

7、平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得出abe=aeb，解決第（2）題的關(guān)鍵是運(yùn)用平行四邊形的對角線互相平分和勾股定理 考點(diǎn)2 平行四邊形的判定 例2 （1）（2015廣州）下列命題中：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形真命題的個數(shù)有（ ） a3 b2 c1 d0 （2）（2015綿陽）如圖3，在四邊形abcd中，對角線ac、bd相交于點(diǎn)e，cbd90，bc4，beed3，ac10，則四邊形abcd的面積為（ ） a6 b12 c20 d24 圖3分析：（1）利用平行四邊形的判定方法進(jìn)行判斷即可；（2）先在rtbe

8、c中求出ce，得到e為ac的中點(diǎn)，進(jìn)而四邊形abcd是平行四邊形，即可利用s四邊形abcd=bcbd求解解：（1）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，正確，是真命題；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，正確，是真命題；一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形，錯誤，例如等腰梯形，也符合一組對邊平行，另一組對邊相等故選b；（2）因為cbd90，所以bec是直角三角形.又bc4，be3，所以因為ac=10，所以e為ac的中點(diǎn).又be=ed=3，所以四邊形abcd是平行四邊形.而且dbc是直角三角形，所以s四邊形abcd=bcbd=46=24.故選d點(diǎn)評：在平行四邊形的判定方法中，只要稍微

9、改動一下說法，就可能成為假命題，若不注意，就會出現(xiàn)似是而非的錯誤.務(wù)必準(zhǔn)確掌握判定定理 考點(diǎn)3 平行四邊形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用 例3 （2015遂寧）如圖4，在abcd中，點(diǎn)e，f在對角線bd上且bedf求證：四邊形aecf是平行四邊形.圖4分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得對角線互相平分，再根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可證明結(jié)論 證明：如圖4，連接ac，并交對角線bd于點(diǎn)o因為四邊形abcd是平行四邊形，所以oa=oc，ob=od因為bedf，所以oe=of所以四邊形aecf是平行四邊形點(diǎn)評：本題證明四邊形bedf是平行四邊形的方法很多，這里用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”

10、來判定最簡捷，你不妨寫出其他證明方法，做一個對比判定四邊形是平行四邊形?？蛇叀⒔?、對角線三個方面入手，但有簡繁之分，在解題時注意比較選擇誤區(qū)點(diǎn)撥例1 在abcd中，ad=bd，be是ad邊上的高，ebd=20，則a的度數(shù)為_ 圖5 圖6錯解：如圖5，因為ebd=20，所以edb=70又ad=bd，所以a= 剖析：有些考生由于思維定式，考慮問題不全面，缺少分類，誤以為高be一定在abd的內(nèi)部， 其實高be也可能在abd的外部，如圖6所示，因此應(yīng)分類求解正解：（1）當(dāng)高be在abd的內(nèi)部時，同錯解可得a=55；（2）當(dāng)高be在abd的外部時，因為ebd=20，所以edb=70，所以adb=110又

11、ad=bd，所以a=綜合（1）（2）可知a的度數(shù)為55或35.例2 （2015廣州）已知在四邊形abcd中，a=c，b=d求證：四邊形abcd是平行四邊形 錯解：如圖7，連接bd，則1+3=180-a，2+4=180-c因為a=c，所以1+3=2+4，所以1=4，2=3， 所以abcd，bcad，所以四邊形abcd是平行四邊形圖7剖析：上述錯解中，由1+3=2+4并不能得到1=4，2= 3，這種推理其實是不自覺地默認(rèn)了四邊形abcd是平行四邊形，犯了“循環(huán)論證”的錯誤 正解：因為a=c，b=d，a+b+c+d=360，所以a+b=180，所以adbc.同理，abcd，所以四邊形abcd是平行四

12、邊形跟蹤訓(xùn)練1.（2015寧波）如圖，abcd中，e，f是對角線bd上的兩點(diǎn)，如果添加一個條件，使abecdf，則添加的條件不能為（ ）a. be=df b. bf=de c. ae=cf d. 1=2 第1題圖 第2題圖 第3題圖 2.（2015牡丹江）如圖，四邊形abcd的對角線相交于點(diǎn)o，ao=co，請?zhí)砑右粋€條件_（只添一個即可），使四邊形abcd是平行四邊形. 3.（2015哈爾濱）如圖，在口abcd中，點(diǎn)0是對角線ac的中點(diǎn)，ef過點(diǎn)0，與ad、bc分別相交于點(diǎn)e、f，gh過點(diǎn)0，與ab、cd分別相交于點(diǎn)g、h，連接eg、fg、fh、eh. (1)求證：四邊形egfh是平行四邊形

13、(2)如圖，若ef/ab，gh/bc，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中與四邊形aghd面積相等的所有平行四邊形（四邊形aghd除外）.10.3 特殊的平行四邊形基礎(chǔ)盤點(diǎn)1. 矩形性質(zhì)：（1）矩形的四個角都是直角；（2）矩形的對角線相等；（3）矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸判定：（1）定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）三個角都是直角的四邊形是矩形；（3）對角線相等的平行四邊形是矩形 2.菱形性質(zhì)：（1）菱形的四條邊都相等；（2）菱形的對角線互相垂直；（3）菱形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸；（4）菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半判定：（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱

14、形；（2）四條邊都相等的四邊形是菱形；（3）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 3.正方形性質(zhì)：（1）正方形的四條邊都相等； （2）正方形的四個角都是直角；（3） 正方形的對角線互相垂直平分且相等；（4） 正方形是軸對稱圖形，有四條對稱軸 判定：（1）有一個角是直角的菱形是正方形； （2）有一組鄰邊相等的矩形是正方形考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)1 矩形的性質(zhì) 例1 （2015無錫）如圖1，已知矩形abcd的對角線長為8cm，e，f，g，h分別是ab，bc，cd，da的中點(diǎn)，則四邊形efgh的周長等于_cm 圖1分析：連接ac，bd，根據(jù)三角形的中位線求出hg、gf、ef、eh的長即可 解析：連接ac，bd，因為

15、四邊形abcd是矩形，所以ac=bd=8cm.因為e，f，g，h分別是ab，bc，cd、da的中點(diǎn)，所以hg=ef=ac=4cm，eh=fg=bd=4cm，所以四邊形efgh的周長位4cm+4cm+4cm+4cm=16cm 點(diǎn)評：解題的關(guān)鍵是能求出四邊形各邊的長，注意：矩形的對角線相等，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半 考點(diǎn)2 矩形的判定 例2（2015臨沂）如圖2，四邊形abcd為平行四邊形，延長ad到e，使de=ad，連接eb，ec，db，添加一個條件，不能使四邊形dbce成為矩形的是（ ） a.ab=be b.bedc c.adb=90 d. cede 圖2分析：根據(jù)矩形

16、的判定方法來分析判斷 解：因為四邊形abcd為平行四邊形，所以adbc.因為de=ad，所以debc， 所以四邊形edbc為平行四邊形.假若ab=be，因為ab=be，ad=de，bd=bd，所以adbedb， 所以bde=90，所以四邊形edbc為矩形；假若bedc，則只能得到四邊形edbc為菱形；假若adb=90，則edb=90，所以四邊形edbc為矩形；假若cede，則dec=90，四邊形edbc為矩形.故選b. 點(diǎn)評：本題中要謹(jǐn)防將矩形的判定方法與菱形的判定方法相混淆而產(chǎn)生錯誤.考點(diǎn)3 菱形的性質(zhì) 例3 （2015漳州）如圖3，在矩形abcd中，點(diǎn)e在邊cd上，將該矩形沿ae折疊，使點(diǎn)

17、d落在邊bc上的點(diǎn)f處，過點(diǎn)f作fgcd，交ae于點(diǎn)g，連接dg （1）求證：四邊形defg為菱形； （2）若cd=8，cf=4，求的值圖3分析：（1）由翻折得到edef，gdgf，再證明fefg， 即可運(yùn)用菱形的不同判定方法得到多種證法；（2）設(shè)dex，則ec8x，在rtefc中利用勾股定理求出x，即可求出的值 解：（1）如圖3，由軸對稱性質(zhì)，得12，edef，gdgf因為fgcd，所以13，則23，所以fefg，所以edefgdgf，所以四邊形defg為菱形 （2）設(shè)dex，由軸對稱，得fedex，ec8x.在rtefc中，fc2ec2ef2，即42（8x）2x2，解得x5，ce8x3，所

18、以 點(diǎn)評：菱形的判定方法較多，在解題中要根據(jù)具體情況來選擇.重視對題目進(jìn)行一題多解的研究，從多中取好，好中取優(yōu)，進(jìn)而提高我們分析問題和解決問題的能力考點(diǎn)4 正方形的性質(zhì) 例4 （2015涼山州）如圖4，在正方形abcd中，g是bc上任意一點(diǎn)，連接ag，deag于e，bfde交ag于f，探究線段af，bf，ef三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由 圖4分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得ab=ad，dab=abc=90，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得ade=baf，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得bf與ae的關(guān)系，再根據(jù)等量代換，可得答案 解：線段af，bf，ef三者之間的數(shù)量關(guān)系af=bf+ef. 理由如下：因為四邊

19、形abcd是正方形，所以ab=ad，dab=abc=90因為deag于e，bfde交ag于f，所以aed=def=afb=90，所以ade+dae=90，dae+baf=90，所以ade=baf在abf和dae中，所以abfdae，所以bf=ae所以af=bf+ef 點(diǎn)評：正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形，因此在解決正方形的有關(guān)問題時，要充分利用解決矩形和菱形問題時的方法與技巧在探索線段af、bf、ef三者之間的數(shù)量關(guān)系時，可通過觀察猜想出結(jié)論考點(diǎn)5 正方形的判定 例5（2015日照）小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個條件：ab=bc，abc=90，ac=bd，acbd中

20、選兩個作為補(bǔ)充條件，使平行四邊形abcd成為正方形（如圖5）現(xiàn)有下列四種選法，你認(rèn)為其中錯誤的是（ ） a b c d 圖5 分析：利用矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系與區(qū)別，結(jié)合正方形的判定方法分別判斷得出結(jié)論 解：因為四邊形abcd是平行四邊形，當(dāng)ab=bc時，平行四邊形abcd是菱形，當(dāng)abc=90時，菱形abcd是正方形，故選項a不符合要求；因為四邊形abcd是平行四邊形，所以當(dāng)abc=90時，平行四邊形abcd是矩形，當(dāng)ac=bd時，這是矩形的性質(zhì)，無法得出四邊形abcd是正方形，故選項b符合要求；因為四邊形abcd是平行四邊形，當(dāng)ab=bc時，平行四邊形abcd是菱形，當(dāng)ac=bd時，

21、菱形abcd是正方形，故選項c不符合要求；因為四邊形abcd是平行四邊形，所以當(dāng)abc=90時，平行四邊形abcd是矩形，當(dāng)acbd時，矩形abcd是正方形，故選項d不符合要求故選b 點(diǎn)評：正確掌握正方形的判定方法是解題關(guān)鍵在abcd的基礎(chǔ)上，需要再同時具備矩形和菱形的特征，平行四邊形abcd即可成為正方形 考點(diǎn)6 四邊形綜合題例6 （2015泰州）如圖6，正方形abcd的邊長為8cm，e、f、g、h分別是ab、bc、cd、da上的動點(diǎn)，且ae=bf=cg=dh.（1）求證：四邊形efgh是正方形；（2）判斷直線eg是否經(jīng)過某一定點(diǎn)，說明理由； （3）四邊形efgh的面積是否存在最小值？若存在

22、，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由. 圖6分析：（1）由正方形的性質(zhì)得出a=b=c=d=90，ab=bc=cd=da，證出ah=be=cf=dg，由sas證明aehbfecgfdhg，得出eh=fe=gf=gh（也可以由勾股定理得到），aeh=bfe，證出四邊形efgh是菱形，再證明hef=90，即可得出結(jié)論；（2）連接ac、eg，交點(diǎn)為o；先證明aoecog，得出oa=oc，證明點(diǎn)o為對角線ac、bd的交點(diǎn)，即o為正方形的中心；（3）設(shè)四邊形efgh面積為s，be=xcm，則bf=（8x）cm，由勾股定理得出s=x2+（8x）2=2（x4）2+32，s是x的二次函數(shù)，容易得出四邊形ef

23、gh面積的最小值解：（1）因為四邊形abcd是正方形，所以a=b=c=d=90，ab=bc=cd=da.因為ae=bf=cg=dh，所以ah=be=cf=dg.在aeh、bfe、cgf和dhg中，所以aehbfecgfdhg，所以eh=fe=gf=gh，aeh=bfe，所以四邊形efgh是菱形.所以bef+bfe=90，所以bef+aeh=90，所以hef=90，所以四邊形efgh是正方形. （2）直線eg經(jīng)過一個定點(diǎn)，這個定點(diǎn)為正方形的中心（ac、bd的交點(diǎn)）.理由如下：連接ac、eg，交點(diǎn)為o，如圖6所示，因為四邊形abcd是正方形，所以abcd，所以oae=ocg.在aoe和cog中，所

24、以aoecog，所以oa=oc，即o為ac的中點(diǎn).因為正方形的對角線互相平分，所以o為對角線ac、bd的交點(diǎn)，即o為正方形的中心； （3） 設(shè)四邊形efgh面積為s，設(shè)be=xcm，則bf=（8x）cm.根據(jù)勾股定理，得ef2=be2+bf2=x2+（8x）2，所以s=x2+（8x）2=2（x4）2+32.因為20，所以s有最小值，當(dāng)x=4時，s最小值=32，所以四邊形efgh的面積存在最小值，最小值為32cm2 點(diǎn)評：本題的解法很多，第（1）題系統(tǒng)復(fù)習(xí)了全等三角形、勾股定理、平行四邊形、菱形、矩形及正方形等知識；第（2）題是第（1）題的延伸，要判定直線eg是否經(jīng)過一個定點(diǎn)，由合情推理容易猜想

25、到直線eg一定經(jīng)過正方形abcd對角線的交點(diǎn)，再運(yùn)用演繹推理來進(jìn)行說理，同時綜合復(fù)習(xí)了全等三角形、平行四邊形、正方形、一次函數(shù)等知識；第（3）題是第（1）題的拓展，要求正方形efgh面積的最小值，方法多元，從幾何角度思考，可運(yùn)用菱形的面積公式與垂線段最短的性質(zhì)；從代數(shù)角度思考，可運(yùn)用乘法公式與函數(shù)的有關(guān)知識.請你按照上述提示來對本題進(jìn)行一題多解的研究，并與同伴交流誤區(qū)點(diǎn)撥 例1（2015哈爾濱）在矩形abcd中，ad=5,ab=4，點(diǎn)e,f在直線ad上，且四邊形bcfe為菱形，若線段ef的中點(diǎn)為點(diǎn)m，則線段am的長為_ 錯解：如圖，在rtaeb中，由勾股定理得ae=3,因為ef=5，m是ef的

26、中點(diǎn)，所以em=2.5，所以am=3+2.5=5.5 剖析：由于四邊形bcfe為菱形，因此be=bc=5，而ad=4，因此以點(diǎn)b為圓心，5為半徑畫弧與直線ad應(yīng)該有兩個交點(diǎn)，進(jìn)而線段am的長應(yīng)該有兩個，錯解只考慮了其中的一種情況，犯了以偏概全的錯誤 正解：因為矩形abcd中，ad=5,ab=4，所以bc=ad=5，bad=90；因為四邊形bcfe是菱形，所以be=bc=5，以點(diǎn)b為圓心，5為半徑畫弧交直線ad于點(diǎn)e：（1） 當(dāng)點(diǎn)e在線段ad上時，同錯解有am=5.5； （2）當(dāng)點(diǎn)e在射線da上時，如圖22，在rtaeb中，由勾股定理，得ae=3.因為ef=5，m是ef的中點(diǎn)，所以em=2.5，

27、所以am=3-2.5=0.5因此線段am的長為5.5或0.5.跟蹤訓(xùn)練 1.（2015瀘州）矩形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是（ ） a.兩組對邊分別平行 b.兩組對角分別相等 c.對角線互相平分 d. 對角線相等 2.（2015青島）如圖，菱形abcd的對角線ac、bd相交于o點(diǎn)，e、f分別是ab、bc邊上的中點(diǎn)，連接ef.若ef=，bd=4，則菱形abcd的周長為（ ） a.4 b. c. d.28 第2題圖 第3題圖 3.（2015長春）如圖，點(diǎn)e在正方形abcd的邊cd上，若abe的面積為8，ce3，則線段be的長為_ 4.（2015內(nèi)江）如圖，將abcd的邊ab延長至e，使ab=be，連接de，ec，de交bc于點(diǎn)o.（1）求證：abdbec； （2）連接bd，若bod=2a，求證：四邊形becd是矩形. 第4題圖 5.（2015長