多元函數(shù)微分學的幾何應(yīng)用 (2)ppt課件

1、二、空間曲線的切線與法平面,第六節(jié),一、一元向量值函數(shù)及其導數(shù),三、曲面的切平面與法線,多元函數(shù)微分學的幾何應(yīng)用,第八章,1,一、一元向量值函數(shù)及其導數(shù),引例: 已知空間曲線 的參數(shù)方程:, 的向量方程,對 上的動點M ,即 是,此方程確定映射,稱此映射為一元向量,的終點M,的軌跡 ,此軌跡稱為向量值函數(shù)的終端曲線 .,值函數(shù).,要用向量值函數(shù)研究曲線的連續(xù)性和光滑性，就需要引進向 量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導數(shù)的概念.,2,定義: 給定數(shù)集 D R , 稱映射,為一元向量,值函數(shù)（簡稱向量值函數(shù)）, 記為,定義域,自變量,因變量,向量值函數(shù)的極限、連續(xù)和導數(shù)都與各分量的極限、,連續(xù)和導數(shù)密切相關(guān)

2、,進行討論.,極限：,連續(xù)：,導數(shù)：,因此下面僅以 n = 3 的情形為代表,3,向量值函數(shù)導數(shù)的幾何意義:,在 R3中, 設(shè),的終端曲線為 ,切線的生成 點擊圖中任意點動畫開始或暫停,表示終端曲線在t0處的,切向量,其指向與t 的增長方,向一致., 則,4,向量值函數(shù)導數(shù)的物理意義:,設(shè),表示質(zhì)點沿光滑曲線運動的位置向量, 則有,速度向量：,加速度向量：,5,例2. 設(shè)空間曲線 的向量方程為,求曲線 上對應(yīng)于,解:,的點處的單位切向量.,故所求單位切向量為,其方向與 t 的增長方向一致,另一與 t 的增長方向相反的單位切向量為,= 6,6,二、空間曲線的切線與法平面,過點 M 與切線垂直的平

3、面稱為曲線在該點的法平面.,置.,空間光滑曲線在點 M 處的切線為此點處割線的極限位,給定光滑曲線, 在,點法式可建立曲線的法平面方程,利用,點M (x, y, z) 處的切向量及法平面的 法向量均為,點向式可建立曲線的切線方程,7,1. 曲線方程為參數(shù)方程的情況,因此曲線 在點 M 處的,則 在點M 的切向量為,法平面方程,給定光滑曲線,為0,切線方程,8,例3. 求曲線,在點 M (1, 1, 1) 處的切線,方程與法平面方程.,解：,點(1, 1, 1) 對應(yīng)于,故點M 處的切向量為,因此所求切線方程為,法平面方程為,即,9,(2) 光滑曲線的方程為,切向量,法平面方程,切線方程,10,

4、11,2. 曲線為一般式的情況,光滑曲線,曲線上一點, 可表示為,處的切向量為,法平面方程,切線方程,12,例5. 求曲線,在點,M ( 1,2, 1) 處的切線方程與法平面方程.,解法2 方程組兩邊對 x 求導, 得,曲線在點 M(1,2, 1) 處有:,切向量,解得,13,切線方程,即,法平面方程,即,點 M (1,2, 1) 處的切向量,14,三、曲面的切平面與法線,設(shè) 有光滑曲面,通過其上定點,對應(yīng)點 M,切線方程為,不全為0 .,則 在,且,點 M 的切向量為,任意引一條光滑曲線,下面證明:,此平面稱為 在該點的切平面., 上過點 M 的任何曲線在該點的切線都,在同一平面上.,15,

5、證:,在 上,得,令,由于曲線 的任意性 ,表明這些切線都在以,為法向量,的平面上 ,從而切平面存在 .,16,曲面 在點 M 的法向量:,法線方程,切平面方程,過M點且垂直于切平面的直線,稱為曲面 在點 M 的法線.,17,曲面,時,則在點,故當函數(shù),法線方程,令,特別, 當光滑曲面 的方程為顯式,在點,有連續(xù)偏導數(shù)時,切平面方程,法向量,18,法向量,用,將,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分別記為,則,向上,復習,19,例6. 求球面,在點(1 , 2 , 3) 處的切,平面及法線方程.,解: 令,所以球面在點 (1 , 2 , 3) 處有:,切平面方程,即,法

6、線方程,法向量,即,(可見法線經(jīng)過原點，即球心),20,所以曲面在點 (2 , 1 , 0) 處有:,切平面方程,即,法線方程,法向量,解: 令,21,例8. 確定正數(shù) 使曲面,在點,解: 二曲面在 M 點的法向量分別為,二曲面在點 M 相切, 故,又點 M 在球面上,于是有,相切.,與球面, 因此有,22,1. 空間曲線的切線與法平面,切線方程,法平面方程,1) 參數(shù)式情況.,空間光滑曲線,切向量,內(nèi)容小結(jié),23,(2) 光滑曲線的方程為,切向量,法平面方程,切線方程,24,2. 曲線為一般式的情況,光滑曲線,曲線上一點, 可表示為,處的切向量為,法平面方程,切線方程,25,空間光滑曲面,曲面 在點,法線方程,1) 隱式情況 .,的法向量,切平面方程,曲面的切平面與法線,26,空間光滑曲面,切平面方程,法線方程,2) 顯式情況.,法線的方向余弦,法向量,27,思考與練習,1. 如果平面,與橢球面,相切,提示: 設(shè)切點為,則,(二法向量平行),(切點在平面上)