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1、第二節(jié) 二重積分的計算,一、利用直角坐標系計算二重積分,三、利用極坐標系計算二重積分,二、利用積分域和被積函數(shù)的對稱性 計算二重積分,1,先將二重積分化為二次積分,然后先后計算兩次定積分求得二重積分的值.,2,如果積分區(qū)域 D 可表示為:,其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).,一、利用直角坐標系計算二重積分1、x型區(qū)域,則 D 稱為 x型 區(qū)域 .,3,應(yīng)用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得,4,如果積分區(qū)域 D 可表示為:,其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).,2、y型區(qū)域,則 D 稱為 y型 區(qū)域 .,5,x型區(qū)域的特點: 穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.,y型區(qū)
2、域的特點:穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.,6,1) 如果積分區(qū)域 D 可表示為 x型 區(qū)域又可表示為 y型 區(qū)域 ,且 f(x,y)在D 上連續(xù),則有:,3、其他情形,采用哪一種次序積分就取決于被積函數(shù)的結(jié)構(gòu).,7,2) 如果積分區(qū)域 D 不是 x型 區(qū)域也不是 y型 區(qū)域 ,可用平行坐標軸的直線段分割,把D 分割為若干個兩類標準區(qū)域,在每個標準區(qū)域上計算二重積分,再根據(jù)重積分對區(qū)域可加性, 在各個標準區(qū)域上的積分之和就是D 上的二重積分.,若區(qū)域如圖,,在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式,則必須分割.,8,例1,解,求曲線的交點:,畫出草圖并將區(qū)域?qū)懗刹坏仁叫问剑?/p>
3、,計算:,9,計算二重積分的幾點說明:,1) 化二重積分為二次積分的關(guān)鍵是:確定二次積分的上、下限,而二次積分中的上、下限又是由區(qū)域 D 的幾何形狀確定的,因此計算二重積分應(yīng)先畫出積分區(qū)域 D 的圖形.,2) 第一次積分的上、下限是函數(shù)或常數(shù),而第二次積分中的上、下限一定是常數(shù),且下限要小于上限.,3) 積分次序選擇的原則是兩次積分都能夠積出來,且區(qū)域的劃分要盡量地簡單.,10,解,如圖,11,解,積分區(qū)域如圖,12,解,積分區(qū)域如圖,13,解,14,解,15,16,17,例11,解,先去掉絕對值符號,如圖,18,二、利用積分域和被積函數(shù)的對稱性計算二重積分,19,20,21,22,A,23,
4、24,25,三、利用極坐標系計算二重積分,26,二重積分化為二次積分的公式(),1、極點O在D的外部,區(qū)域特征如圖,27,區(qū)域特征如圖,28,二重積分化為二次積分的公式(),區(qū)域特征如圖,2、極點O在D的邊界上,29,極坐標系下區(qū)域的面積,二重積分化為二次積分的公式(),區(qū)域特征如圖,3、極點O在D的內(nèi)部,30,31,32,法二:,積分區(qū)域關(guān)于 x 軸對稱,33,解,34,解,35,解,36,37,38,解,39,解,40,解,41,42,43,二重積分在直角坐標下的計算公式,(在積分中要正確選擇積分次序),四、小結(jié),y型,x型,(在積分中注意使用對稱性),44,二重積分在極坐標下的計算公式,(在積分中注意使用對稱性),45,思考題,46,思考題解答,47,48,思考題,49,思
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