高中數(shù)學(xué) 第一講 不等式和絕對值不等式 1.2 絕對值不等式(第2課時(shí))課堂探究學(xué)案 新人教A版選修

1、1.2 絕對值不等式 2課堂探究幾個(gè)特殊的含絕對值的不等式的區(qū)別剖析：(1)|x4|x3|a有解，則a的取值范圍是_；(2)|x4|x3|a的解集為R，則a的取值范圍是_；(3)|x4|x3|a的解集為，則a的取值范圍是_；(4)|x4|x3|a的解集為R，則a的取值范圍是_處理以上問題，我們可以與函數(shù)y|x4|x3|，y|x4|x3|的最值(值域)等聯(lián)系起來，第一個(gè)函數(shù)的值域?yàn)?,1，而第二個(gè)函數(shù)的最小值為1，即|x4|x3|1，所以(1)|x4|x3|a有解，只需a1；|x4|x3|a的解集是R，則說明是恒成立問題，所以a|x4|x3|min1，即a1；|x4|x3|a的解集為，說明a|x

2、4|x3|min1，所以a1；|x4|x3|a的解集為R，說明a|x4|x3|min1.以上這幾種不等式問題，實(shí)質(zhì)是與兩種函數(shù)的值域或最值相聯(lián)系的問題，當(dāng)然也可以借助函數(shù)的圖象，用數(shù)形結(jié)合來解得a的范圍而理解這幾種表述方式對掌握本節(jié)知識(shí)有很好的幫助 題型一 解|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型的不等式【例1】不等式|3x2|4的解集是()Ax|x2 Bx|xCx|x或x2 Dx|x2解析：可以利用|axb|c(c0)型不等式的解法進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，或者利用數(shù)形結(jié)合法方法一：由|3x2|4，得3x24或3x24.即x或x2.所以原不等式的解集為.方法二：(數(shù)形結(jié)合法)畫出函數(shù)y|3x2|的

3、圖象，如下圖所示：由|3x2|4，解得x2或x.在同一坐標(biāo)系中畫出直線y4，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)與.所以|3x2|4時(shí)，x或x2.所以原不等式的解集為.答案：C【例2】不等式|5xx2|6的解集為()Ax|x2或x3Bx|1x2或3x6Cx|1x6Dx|2x3解析：可以利用|x|a(a0)的結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后解一元二次不等式，取交集可得結(jié)果，本題還可以用數(shù)形結(jié)合法求結(jié)果方法一：由|5xx2|6，得|x25x|6.6x25x6.1x2或3x6.原不等式的解集為x|1x2或3x6方法二：作函數(shù)y=x25x的圖象，如下圖所示|x25x|6表示函數(shù)圖象中直線y=6和直線y=6之間相應(yīng)部分的自變量的

4、集合解方程x25x=6，得x1=1，x2=6.解方程x25x=6，得x1=2，x2=3.即得到不等式的解集是x|1x2或3x6答案：B反思 形如|f(x)|a，|f(x)|a(aR)型不等式的簡單解法：當(dāng)a0時(shí)，|f(x)|aaf(x)a.|f(x)|af(x)a或f(x)a.當(dāng)a0時(shí)，|f(x)|a無解|f(x)|a|f(x)|0.當(dāng)a0時(shí)，|f(x)|a無解|f(x)|af(x)有意義.題型二 解|f(x)|g(x)型的不等式【例3】解不等式|xx22|x23x4.解：|xx22|x2x2|，而x2x220，|xx22|x2x2|x2x2，故原不等式等價(jià)于x2x2x23x4.x3.原不等式

5、的解集為x|x3反思 本題形如|f(x)|g(x)，我們可以借助形如|axb|c的解法轉(zhuǎn)化為f(x)g(x)或f(x)g(x)，當(dāng)然|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)而如果f(x)的正負(fù)能確定的話，也可以直接去掉絕對值再解不等式.題型三 解|xa|xb|c(c0)型的不等式【例4】解不等式|x1|x1|3.分析：本題可以用分段討論法或數(shù)形結(jié)合法求解，對于形如|xa|xb|的代數(shù)式，可以認(rèn)為是分段函數(shù)解法一：如下圖，設(shè)數(shù)軸上與1,1對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，則A，B兩點(diǎn)間的距離為2，因此區(qū)間1,1上的數(shù)都不是不等式的解設(shè)在A點(diǎn)左側(cè)有一點(diǎn)A1到A，B兩點(diǎn)的距離和為3，A1對應(yīng)數(shù)軸上的x.所以

6、1x1x3，得x.同理設(shè)B點(diǎn)右側(cè)有一點(diǎn)B1到A，B兩點(diǎn)的距離和為3，B1對應(yīng)數(shù)軸上的x，所以x1x(1)3.所以x.從數(shù)軸上可看到，點(diǎn)A1，B1之間的點(diǎn)到A，B的距離之和都小于3；點(diǎn)A1的左側(cè)或點(diǎn)B1的右側(cè)的任意點(diǎn)到A，B的距離之和都大于3，所以原不等式的解集是.解法二：當(dāng)x1時(shí)，原不等式可以化為(x1)(x1)3，解得x.當(dāng)1x1時(shí)，原不等式可以化為x1(x1)3，即23.不成立，無解當(dāng)x1時(shí)，原不等式可以化為x1x13，解得x.綜上，可知原不等式的解集為.解法三：將原不等式轉(zhuǎn)化為|x1|x1|30.構(gòu)造函數(shù)y|x1|x1|3，即y作出函數(shù)的圖象(如圖)函數(shù)的零點(diǎn)是.從圖象可知，當(dāng)x或x時(shí)，

7、y0，即|x1|x1|30.所以原不等式的解集為.反思 |xa|xb|c、|xa|xb|c(c0)型不等式的三種解法：分區(qū)間(分類)討論法、圖象法和幾何法分區(qū)間討論的方法具有普遍性，但較麻煩；幾何法和圖象法直觀，但只適用于數(shù)據(jù)較簡單的情況(1)分區(qū)間討論的關(guān)鍵在于對絕對值代數(shù)意義的理解，即|x|，也即x為非負(fù)數(shù)時(shí)，|x|為x；x為負(fù)數(shù)時(shí)，|x|為x，即x的相反數(shù)(2)|xa|xb|c、|xa|xb|c(c0)型不等式的圖象解法和畫出函數(shù)f(x)|xa|xb|c的圖象是密切相關(guān)的，其圖象是折線，正確地畫出其圖象的關(guān)鍵是寫出f(x)的分段表達(dá)式不妨設(shè)ab，于是f(x).這種圖象法的關(guān)鍵是合理構(gòu)造函

8、數(shù)，正確畫出函數(shù)的圖象，求出函數(shù)的零點(diǎn)，體現(xiàn)了函數(shù)與方程結(jié)合、數(shù)形結(jié)合的思想(3)幾何解法的關(guān)鍵是理解絕對值的幾何意義.題型四 含有參數(shù)的絕對值不等式的解法【例5】已知函數(shù)f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集為x|1x5，求實(shí)數(shù)a的值；(2)在(1)的條件下，若f(x)f(x5)m對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)由f(x)3，得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集為x|1x5，所以解得a2.所以實(shí)數(shù)a的值為2.(2)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x2|.設(shè)g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|所以當(dāng)x3時(shí)，g(x)5；當(dāng)3x2時(shí)，g(x)5；當(dāng)x2時(shí)，g(x)5.綜上可得，g(x)的最小值為5.從而，若f(x)f(x