牛頓-柯特斯求積公式

1、第七章 數(shù)值積分與數(shù)值微分,第一節(jié) 等距節(jié)點的Newton-Cotes求積公式 第二節(jié) 復(fù)化求積公式 第三節(jié)（*） 外推算法 第四節(jié) Gauss型求積公式,引 言,由于被積函數(shù)的原函數(shù)F(x)不可能找到，牛頓-萊布尼茲公式也就無能為力了。,下面推導(dǎo)插值型求積公式,設(shè) x0 ,x1 ,xna,b, pn(x)是f(x)的n次Lagrange 插值多項式,則有,插值型求積公式,其中,截斷誤差或余項為,li(x)為Lagrange插值基函數(shù)。,Ai (i=0,1,n)稱為求積系數(shù)， xi (i=0,1,n)稱為求積節(jié)點。,一、 牛頓柯特斯求積公式的導(dǎo)出,將積分區(qū)間a,b n等分，節(jié)點xi為 xi=a

2、+ih, i=0,1,2,n 其中h=(ba)/n。有,第一節(jié) 等距節(jié)點的牛頓柯特斯求積公式,當(dāng)求積節(jié)點等距分布時，插值型求積公式稱為 牛頓柯特斯(Newton-Cotes) 求積公式。,其中,Ci(n) 稱為柯特斯系數(shù)。,于是牛頓柯特斯求積公式為,引進(jìn)變換 x=a+th , 0tn,xj=a+jh, j=0,1,2,n,二、兩種特殊的數(shù)值求積公式:,（1）梯形公式(n=1) x0 =a, x1=b, h= b- a, c0(1)=c1(1) =1/2,梯形公式的幾何意義 是用四邊梯形x0 ABx1的 面積代替曲邊梯形的面積。,（2）辛卜生公式 (n=2),辛卜生公式又稱為拋物線公式。,x0

3、=a, x1=a+h, x2=b, h= (b-a)/2 C0(2) =1/6 , C1(2) =4/6 , C2(2) =1/6,辛卜生公式的幾何意義是用拋物線y=P2(x)圍成的曲邊梯形面積代替由y=f(x)圍成的曲邊梯形面積圖2。,例 ： 用梯形公式與辛卜生公式,求,的近似值。,解：,辛卜生公式,I=0.7668010,梯形公式,三、牛頓柯特斯系數(shù),例 n=3 為3/8 辛卜生公式,x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b , h= (b-a)/3,n=4為 Cotes 公式,x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=a+3h, x4=b , h= (b-a)

4、/4,例：用Newton-Cotes公式計算 解：當(dāng)n取不同值時，計算結(jié)果如下所示。 I準(zhǔn)=0.9460831,四、代數(shù)精度,定義1：若求積公式 對一 切不高于m次的多項式p(x)都等號成立，即R(p (x)=0; 而對于某個m+1次多項式等號不成立，則稱此公式的 代數(shù)精度為m.,代數(shù)精度求法 從(x)=1,x,x2,x3依次驗證求積公式是否成立，若第一個不成立的等式是xm,則其代數(shù)精度是m-1.,代數(shù)精度越高，數(shù)值求積公式越精確,定義2：若求積公式 對 (x)=1,x,x2,x3xm, 都等號成立，即R(xi)=0;而對于xm+1 等號不成立，則稱此公式 的代數(shù)精度為m.,例1：證明下面數(shù)值

5、求積公式具有1次代數(shù)精度.,所以求積公式具有1次代數(shù)精度。,例2：設(shè)有 成立，確定 A0、 A1 、 A2，使上述數(shù)值求積公式的代數(shù)精度盡可能高，并求代數(shù)精度。,解：分別取(x)=1，x，x2，則有 A0 +A1 + A2=2 -A0 + A2=0 A0 + A2=2/3,解得 A0 =1/3，A1 =4/3， A2=1/3；,取 (x)=x3，左=右=0； (x)=x4，左=-11x4dx=2/5 右=2/3,所以具有3次代數(shù)精度。,Newton-Cotes公式的代數(shù)精度,其中 n+1(x)= (x-x0) (x-x1). (x-xn-1) (x-xn) 即求積公式 至少具有n次代數(shù)精度。,

6、定理1： 由n+1個互異節(jié)點x0 、x1 、x n構(gòu)造的插值型求積公式的代數(shù)精度至少為n。,這里系數(shù)Aj只依賴于求積節(jié)點與積分區(qū)間,與f(x)無關(guān)。 顯然當(dāng)f(x)是任何一個不超過n次的多項式時,余項,由于Newton-Cotes公式是其特殊情形(等距節(jié)點),它的代數(shù)精度至少是n,還可以證明當(dāng)n 為偶數(shù)時Newton-Cotes公式的代數(shù)精度至少是n+1.,定理2：當(dāng)n為偶數(shù)時，由n+1個等距節(jié)點x0 、x1 、 x n構(gòu)造的牛頓-柯特斯求積公式的代數(shù)精度至少為 n+1。,五、Newton-Cotes公式的截斷誤差,帶誤差項的梯形公式是,證：已知辛卜生求積公式的代數(shù)精度為3，因此考慮構(gòu)造一個三次插值多項式p3(x)滿足下列條件,根據(jù)插值余項定理得：,得到截斷誤差,兩邊求定積分得,因此辛卜生求積公式的截斷誤差為,六、Newton-Cotes公式的數(shù)值穩(wěn)定性,初步看來似乎n值越大，代數(shù)精度越高。是不是 n 越大越好呢？答案是否定的?？疾霳ewton-Cotes公式的數(shù)值穩(wěn)定性，即討論舍入誤差對計算結(jié)果的影響。,但是, Newton-Cotes公式的系數(shù)在當(dāng)n=8 時,出現(xiàn)負(fù)數(shù)，說明當(dāng)n8時，穩(wěn)定性將得不到保證,