高中數(shù)學 第三章 圓錐曲線與方程 高考七大高頻考點例析教學案 北師大版選修

1、第三章 圓錐曲線與方程高考七大高頻考點例析對應(yīng)學生用書P68命題及其關(guān)系考查方式以四種命題、邏輯聯(lián)結(jié)詞為主要內(nèi)容考查四種命題之間的關(guān)系及含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，主要以選擇題、填空題為主，屬容易題備考指要1.要掌握互為逆否的兩個命題是等價的，對某些命題的判斷可以轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題2.命題pq中，p，q有真則真；命題pq中，p，q有假則假.例1(2012重慶高考)命題“若p則q”的逆命題是()A若q則pB若綈p則綈qC若綈q則綈p D若p則綈q解析根據(jù)逆命題的概念可知，“若p則q”的逆命題為“若q則p”答案A1設(shè)集合Ax|2ax0，p：1A，q：2A.若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題

2、，則a的取值范圍是()A(0,1)(2，) B(0,1)2，)C(1,2 D1,2解析：若p為真，則2a11.若q為真，則2a22.依題意，得p假q真，或p真q假即或10，0，R)，則“f(x)是奇函數(shù)”是“”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析f(x)是奇函數(shù)k，kZ；f(x)是奇函數(shù)，所以“f(x)是奇函數(shù)”是“”的必要不充分條件答案B3命題p2xx，命題qx2x，則命題p是q的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：命題pA0，)，命題qB0，)(，1故AB，所以p是q的充分不必要條件答案：A4(山東高考

3、)給定兩個命題p，q.若綈 p是q的必要而不充分條件，則p是綈q的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：因為綈 p是q的必要而不充分條件，所以綈q是p的必要而不充分條件，即p是綈q的充分而不必要條件答案：A全稱量詞與存在量詞考查方式主要考查全稱命題與特稱命題的真假判斷，以及含有一個量詞的命題的否定，題型主要是選擇題、填空題備考指要1.全稱命題的真假判定：要判定一個全稱命題為真，必須對限定集合M中每一個x驗證p(x)成立，一般用代數(shù)推理的方法加以證明要判定一個全稱命題為假，只需舉出一個反例即可2.特稱命題的真假判定：要判定一個特稱命題為真，只要在限定

4、集合M中，能找到一個x，使p(x)成立即可否則，這一特稱命題為假3.全稱命題的否定一定是特稱命題，特稱命題的否定一定是全稱命題，首先改變量詞，把全稱量詞改為存在量詞，把存在量詞改為全稱量詞，然后再把判斷詞加以否定4.注意命題的否定與否命題的區(qū)別.例3命題“對任意xR，都有x20”的否定為()A存在xR，都有x20B對任意xR，都有x20C存在xR，都有x20D不存在xR，使得x20解析由含有全稱量詞的命題的否定形式可知，該命題的否定為：存在xR，使得x20.答案A5(湖北高考)命題“存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是()A任意一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)B任意一個無理數(shù)，它的平方不是有

5、理數(shù)C存在一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D存在一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)解析：“存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是“任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)”答案：B6(遼寧高考改編)已知命題p：對任意x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0，則綈p是()A存在x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0B對任意x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0C存在x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0D對任意x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0解析：命題p的否定為“存在x1，x2R，(f(x2)f(x1)(x2x1)0)的焦點為F，點M在C上，

6、|MF|5，若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為()Ay24x或y28x By22x或y28x Cy24x或y216x Dy22x或y216x解析：由題意知：F，準線方程為x，則由拋物線的定義知，xM5，設(shè)以MF為直徑的圓的圓心為，所以圓的方程為22，又因為過點(0,2)，所以yM4，又因為點M在C上，所以162p，解得p2或p8，所以拋物線C的方程為y24x或y216x.答案：C12(浙江高考)已知橢圓C1：1(ab0)與雙曲線C2：x21有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點若C1恰好將線段AB三等分，則()Aa2 Ba213Cb2 Db22解析：

7、對于直線與橢圓、圓的關(guān)系，如圖所示，設(shè)直線AB與橢圓C1的一個交點為C(靠近A的交點)，則|OC|，tanCOx2，sinCOx，cosCOx，則C的坐標為，代入橢圓方程得1，a211b2.5a2b2，b2.答案：C直線與圓錐曲線的位置關(guān)系考查方式直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考的熱點，涉及求弦長、焦點弦、中點弦、取值范圍、最值定點、定值等問題，題型以解答題為主，這類題目綜合性強，難度較大，注重與一元二次方程中根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、函數(shù)的單調(diào)性、不等式、平面向量等知識綜合備考指要處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，常用聯(lián)立方程組消元法得到一元二次方程，要注意直線的斜率不存在的情形，分析解決這類

8、問題，往往利用數(shù)形結(jié)合的思想，以及“設(shè)而不求”的方法，由于運算量較大，要注意運算結(jié)果的準確性.例7(陜西高考)已知動圓過定點A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為8.(1)求動圓圓心的軌跡C的方程；(2)已知點B(1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是PBQ的角平分線，證明直線l過定點解(1)如圖，設(shè)動圓圓心O1(x，y)，由題意，|O1A|O1M|.當O1不在y軸上時，過O1作O1HMN交MN于H，則H是MN的中點，|O1M| .又|O1A| ， .化簡得y28x(x0)當O1在y軸上時，O1與O重合，點O1的坐標(0,0)也滿足方程y28x，動圓圓心的軌跡

9、C的方程為y28x.(2)如圖，由題意，設(shè)直線l的方程為ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20.其中32kb640.由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1x2.x1x2.x軸是PBQ的角平分線，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，將代入并整理得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb.此時0，直線l的方程為yk(x1)，即直線l過定點(1,0)13已知斜率為1的直線l與雙曲線C：1(a0，b0)相交于B，D兩點，且BD的中點為M(1,3)，則雙曲線

10、的離心率為_解析：由題意知l的方程為yx2，代入C的方程并化簡，得(b2a2)x24a2x4a2a2b20.設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1x2.由M(1,3)為BD的中點知2，即b23a2.故c2a，e2.答案：214(陜西高考)已知橢圓C1：y21，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率(1)求橢圓C2的方程；(2)設(shè)O為坐標原點，點A，B分別在橢圓C1和C2上，2，求直線AB的方程解：(1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為1(a2)，其離心率為，故，則a4，故橢圓C2的方程為1.(2)法一：A，B兩點的坐標分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，

11、B三點共線且點A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為ykx.將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，將ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x，又由2，得x4x，即，解得k1，故直線AB的方程為yx或yx.法二：A，B兩點的坐標分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為ykx.將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，由2，得x，y，將x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k1，故直線AB的方程為yx或yx.15(江西高考)如圖，橢圓C：1(ab0)經(jīng)過點P，離心率e，直線l的方程

12、為x4.(1)求橢圓C的方程；(2)AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦(不經(jīng)過點P)，設(shè)直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3，問：是否存在常數(shù)，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，請說明理由解：(1)由P在橢圓上，得1.依題設(shè)知a2c，則b23c2.將代入，解得c21，a24，b23.故橢圓C的方程為1.(2)法一：由題意可設(shè)AB的斜率為k，則直線AB的方程為yk(x1)代入橢圓方程3x24y212，并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x2，x1x2.在方程中令x4，得M的坐標為(4,3k)從而k

13、1，k2，k3k.注意到A，F(xiàn)，B三點共線，則有kkAFkBF，即有k.所以k1k22k.將代入，得k1k22k2k1.又k3k，所以k1k22k3.故存在常數(shù)2符合題意法二：設(shè)B(x0，y0)(x01)，則直線FB的方程為y(x1)，令x4，求得M，從而直線PM的斜率為k3，聯(lián)立得A，則直線PA的斜率為k1，直線PB的斜率為k2，所以k1k22k3，故存在常數(shù)2符合題意模塊綜合檢測(時間 90分鐘，滿分 120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1命題“若x21，則1x1”的逆否命題是()A若x21，則x1或x1B若1x1

14、，則x21或x1D若x1或x1，則x21解析：命題“若p則q”的逆否命題為“若綈q則綈p”故應(yīng)選D.答案：D2有下面三個判斷，其中正確的個數(shù)是()命題：“設(shè)a，bR，若ab6，則a3或b3”是一個真命題；若“p或q”為真命題，則p，q均為真命題；命題“對任意a，bR，都有a2b22(ab1)成立”的否定是“存在a，bR，使a2b22(ab1)成立”A0B1C2 D3解析：命題的逆否命題為“設(shè)a，b R，若a3且b3，則ab6”，命題為真若“p或q”為真命題，則p，q至少有一個為真，所以錯誤易知命題錯誤答案：B3(陜西高考)設(shè)a，b為向量，則“|ab|a|b|”是“ab”的()A充分不必要條件

15、B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：a，b為向量，設(shè)a與b的夾角為.由|ab|a|b|cos |a|b|從而得|cos |1，cos 1，所以0或，能夠推得ab，反之也能夠成立，為充分必要條件答案：C4.1的一個焦點為F1，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點M在y軸上，那么點M的縱坐標為()A B.C. D.解析：設(shè)F1為橢圓1的左焦點，F(xiàn)2為右焦點，PF1與y軸的交點為M.M是PF1的中點，MOPF2，PF2x軸又半焦距c3，設(shè)P(x，y)，則x3，代入橢圓方程得1，解得y.M點縱坐標為.答案：A5以1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為()A.1B.1C.1 D.1

16、解析：雙曲線1，即1的焦點為(0，4)，頂點為(0，2)所以對橢圓1而言，a216，c212.b24，因此方程為1.答案：D6.已知正四面體ABCD中，AEAB，CFCD，則直線DE和BF夾角的余弦值為()A. B.C D解析：設(shè)正四面體的棱長為4.正四面體ABCD中，相鄰兩棱夾角為60，對棱互相垂直又，4，|2141613.|，同理|.cos，.答案：A7已知拋物線y28x，過點P(3,2)引拋物線的一弦，使它恰在點P處被平分，則這條弦所在的直線l的方程為()A2xy40 B2xy40C2xy40 D2xy40解析：設(shè)l交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，由y8x1，y8x2，

17、兩式相減得：得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，又P(3,2)是AB的中點，y1y24，直線l的斜率k2，直線l的方程為2xy40.答案：A8P是雙曲線1(a0，b0)上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其焦點，雙曲線的離心率是，且0，若F1PF2的面積是9，則ab的值等于()A4B7C6 D5解析：設(shè)|PF1|x，|PF2|y，則xy18，x2y24c2，故4a2(xy)24c236，又，c5，a4，b3.答案：B9在正棱柱ABCA1B1C1中，AA1AB2，直線AC與平面A1BC的夾角為，平面ABC與平面A1BC的夾角為，則與的大小關(guān)系是()A Bsin .答案：B10設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩個焦點

18、，P是橢圓上的點，且|PF1|PF2|21，則F1PF2的面積等于()A5 B4C3 D1解析：由橢圓方程，得a3，b2，c，|PF1|PF2|2a6，又|PF1|PF2|21，|PF1|4，|PF2|2，由2242(2)2可知，F(xiàn)1PF2是直角三角形，故F1PF2的面積為|PF1|PF2|424.答案：B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把正確的答案填在題中的橫線上)11命題“存在xR，使2x23ax90”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：存在xR,2x23ax90為假命題，任意xR,2x23ax90為真命題，9a24290，即a28，2a2.答案：2，2 12設(shè)點O(

19、0,0,0)，A(1，2,3)，B(1,2,3)，C(1,2，3)，若與的夾角為，則cos _.解析：(1，2,3)，(2,0，6)，cos .答案：13斜率為的直線與雙曲線1(a0，b0)恒有兩個公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是_解析：雙曲線1的漸近線方程為yx，即ba，b23a2，c2a23a2，e213，e2.答案：(2，)14(福建高考)橢圓：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y(xc)與橢圓的一個交點M滿足MF1F22MF2F1，則該橢圓的離心率等于_解析：MF1F2是直線的傾斜角，所以MF1F260，MF2F130，所以MF2F1是直角三角形，在RtMF

20、2F1中，|F2F1|2c，|MF1|c，|MF2|c，所以e1.答案：1三、解答題15(本小題滿分12分)已知p：x28x200，q：x22x1a20.若p是q的充分不必要條件，求正實數(shù)a的取值范圍解：解不等式x28x200得p：Ax|x10或x2解不等式x22x1a20得q：Bx|x1a或x1a，a0依題意，pq但q不能推出p，說明AB.于是，有解得0a3.正實數(shù)a的取值范圍是(0,316(本小題滿分12分)已知拋物線C：y24x，F(xiàn)是拋物線C的焦點，過點F的直線l與C相交于A，B兩點，O為坐標原點(1)如果l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；(2)設(shè)|FA|2|BF|，求直線l的方程

21、解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)y24x，F(xiàn)(1,0)，又直線l的斜率為1，直線l的方程為yx1，代入y24x，得x26x10，由根與系數(shù)的關(guān)系得易得AB的中點，即圓心的坐標為(3,2)，又|AB|x1x2p8，圓的半徑r4，所求的圓的方程為(x3)2(y2)216.(2)|FA|2|BF|，2，而(x11，y1)，(1x2，y2)，易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為yk(x1)，代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，由根與系數(shù)的關(guān)系得x112(1x2)，或k2，直線l的方程為y2(x1)17(本小題滿分12分)如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上，AEEBAFFD4.沿直線EF將AEF翻折成AEF，使平面AEF平面