電路的拉普拉斯變換分析法

1、第7章 電路的拉普拉斯變換分析法,7.1 拉普拉斯變換的定義,7.2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì),7.3 拉普拉斯反變換,7.4 復(fù)頻域電路,7.5 電路的拉普拉斯變換分析法,7.1 拉普拉斯變換的定義,拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換）是求解常系數(shù)線性微分方程的工具。,設(shè)一個(gè)變量t的函數(shù)f(t)，在任意區(qū)間能夠滿足狄利赫利條件（一般電子技術(shù)中處理的函數(shù)都滿足這一條件）,拉氏正變換,f(t)：原函數(shù)；F(S)：f(t)的象函數(shù)。,積分下線 0- 后面討論中寫成0,拉氏正變換,例,用定義求f(t)象函數(shù)。其中a為實(shí)數(shù)，且a0。,解,根據(jù)拉氏變換的定義,=0,稱為收斂域,拉氏反變換,拉氏正變換 拉氏反變換,

2、拉氏變換對(duì),由F(s)到f(t)的變換稱為拉普拉斯反變換，簡稱拉氏反變換,下面來討論一些常見函數(shù)的拉普拉斯變換,工程中常見的函數(shù)(除少數(shù)例外)有下列兩類:(1) t的指數(shù)函數(shù)；(2) t的正整冪函數(shù)。許多常用的函數(shù)如階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、衰減正弦函數(shù)等，都可由這兩類函數(shù)導(dǎo)出。,7.1.1 指數(shù)函數(shù),(a為常數(shù)),由定義可得 的拉普拉斯變換為,由此可導(dǎo)出一些常用函數(shù)的變換 ：,1、單位階躍函數(shù)e ( t ),a=0,2、正弦函數(shù) sin w t e ( t ),故有,3、余弦函數(shù) cos w t e ( t ),故有,4、衰減正弦函數(shù),故有,5、衰減余弦函數(shù),與衰減正弦函數(shù)相類似可得,6、雙曲線正

3、弦函數(shù) sh bt e ( t ),故有,7、雙曲線余弦函數(shù) ch bt e ( t ),與雙曲線正弦函數(shù)相類似可得,由定義可得 的拉普拉斯變換為,設(shè),則,亦即,依次類推，則得,當(dāng)n=1時(shí)，有,7.1.3 沖激函數(shù) A d（t）,沖激函數(shù)的定義,可得,對(duì)于單位沖激函數(shù)來說，可令上式 A=1，即得：,書中表7 1給出了一些常見函數(shù)的拉普拉斯變換,拉氏變換法的實(shí)質(zhì)就是將微分方程經(jīng)數(shù)學(xué)變換轉(zhuǎn)變成代數(shù)方程，然后進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，再將所得的結(jié)果變換回去。它和應(yīng)用對(duì)數(shù)計(jì)算數(shù)的乘除相類似。不同的只是在對(duì)數(shù)運(yùn)算中變換的對(duì)象是數(shù)，而在拉氏變換中變換的對(duì)象是函數(shù)。,（2）對(duì)于常用的階躍函數(shù)、沖激函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及一些超

4、越函數(shù)等經(jīng)變換以后，可轉(zhuǎn)換成為簡單的初等函數(shù)。,拉氏變換法的優(yōu)點(diǎn)：,（1）求解過程得以簡化，又同時(shí)給出微分方程的特解及齊次方程的通解，而且初始條件能自動(dòng)包含在變換式中，對(duì)于換路起始時(shí)有突變現(xiàn)象的問題處理更方便；,7.2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì),拉普拉斯變換有許多重要性質(zhì)。利用這些基本性質(zhì)可以方便地求出一些較為復(fù)雜函數(shù)的象函數(shù)，同時(shí)通過這些基本性質(zhì)可以將電路在時(shí)域內(nèi)的線性常微分方程變換為復(fù)頻域內(nèi)的線性代數(shù)方程。從而得到復(fù)頻域中的等效電路。,7.2.1 線性特性,若 f1(t),F1(s),f2(t),F2(s),則,a1，a2為任意常數(shù),證明,求函數(shù)的象函數(shù),例,解,7.2.2 尺度變換,若 f

5、 (t),F (s),則 f1(at),a為大于零的實(shí)數(shù),證明,令x=at,7.2.3 時(shí)間變換,若 f (t),F (s),證明,令,t0 為常數(shù),則,例,解,求圖中所示的鋸齒波的拉普拉斯變換,=,+,+,由線性性質(zhì),時(shí)間平移特性還可以用來求取有始周期函數(shù)(t0時(shí)呈現(xiàn)周期性的函數(shù) ,在t0范圍函數(shù)值為零)的拉普拉斯變換,f (t)為有始周期函數(shù)，其周期為T， f 1(t)、 f 2(t) 分別表示函數(shù)的第一周期，第二周期，的函數(shù),，,由于是周期函數(shù)，因此 f 2(t)可看成是 f 1(t)延時(shí)一個(gè)周期構(gòu)成的， f 3(t)可看成是 f 1(t)延時(shí)二個(gè)周期構(gòu)成的，依此類推則有,根據(jù)平移特性，

6、若,則,f (t)為有始周期函數(shù)，其周期為T，拉普拉斯變換等于第一周期單個(gè)函數(shù)的拉普拉斯變換乘以周期因子,例,求圖中半波正弦函數(shù)的拉普拉斯變換,解,先求第一個(gè)半波f 1(t)的拉普拉斯變換,|,有始正弦函數(shù)的拉普拉斯變換為,故根據(jù)時(shí)間平移特性可得,半波正弦周期函數(shù)的拉普拉斯變換為,7.2.4 頻率平移特性,若 f (t),F (s),則,證明,7.2.5 時(shí)域微分特性,若 f (t),F (s),則,證明,由上式應(yīng)用分部積分法，有,式中,于是可得,應(yīng)用上式的結(jié)果可得,依此類推，可得,如果f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的初值為零。則上式變?yōu)?例,解,若電容元件C的端電壓uC(t)的拉氏變換式為UC(s),

7、求電容C中電流的象函數(shù)IC(s)。,應(yīng)用微分性質(zhì),IC(s)=LiC(t)=LC, =CsUC(s) uC(0-)= CsUC(s) CuC(0-),如果C的端電壓初始值uC(0-)=0,IC(s) = CsUC(s),則有,7.2.6 時(shí)域微分特性,若 f (t),F (s),則,證明,對(duì)上式進(jìn)行分部積分，得,=0,則,如函數(shù)的積分區(qū)間不由0開始而是由-開始,則因?yàn)?故有,將積分性質(zhì)廣到多重積分,同前面樣，此處的0意味著0-,書中表7 2列出了拉普拉斯變換的基本性質(zhì)。,則有,7.3 拉普拉斯反變換,利用拉普拉斯變換法對(duì)電路進(jìn)行暫態(tài)分析，最終結(jié)果必須返回時(shí)域，就是說還要進(jìn)行拉普拉斯反變換。,求

8、拉氏反變換最簡單的方法是查拉氏變換表,因?yàn)樽儞Q表中只列出了常用的一些函數(shù)，它不可能將一切函數(shù)都包括在內(nèi)。因此，下面介紹一種基本的方法，部分分式法。,利用拉普拉斯變換分析電路的暫態(tài)過程時(shí)所遇到的象函數(shù)一般都是s的實(shí)系數(shù)有理函數(shù)，它的結(jié)果可表示成兩個(gè)多項(xiàng)式之比，即,式中的諸系數(shù)an , bn 都是實(shí)數(shù)，m、n都是正整數(shù)。,如mn時(shí)，可以將假分式可分解為多項(xiàng)式與真分式之和。,N(S)=0的根被稱為F(S)的零點(diǎn)； D(S)=0的根被稱為F(S)的極點(diǎn)。,為了分解F(s)為部分分式，只需討論D(s)=0的根。,7.3.1 D(s)=0均為單根，即無重根的情況（設(shè)mn）,因D(s)是s的n次多項(xiàng)式，故可

9、分解因式如下,由于D(s)無重根，故sn都不相等， F(S)寫成部分分式的形式為,A1，A2，. Ak. An為待定系數(shù)，稱為F(s)在各極點(diǎn)處的留數(shù)。,Ak 如何確定？,令,將等式的兩邊乘以(s-sk),在求出了部分分式的 Ak各值之后，就可以逐項(xiàng)對(duì)部分分式求拉氏反變換，得,F(s)的原函數(shù)為,由此可見，象函數(shù)的拉氏反變換，可表示為若干指數(shù)函數(shù)項(xiàng)之和,例1,解,求 的原函數(shù)。,首先將F(s)化為真分式,將分母進(jìn)行因式分解,將F(s)中的真分式寫成部分分式,求真分式中各部分分式的系數(shù),于是F(s )可展開為,其原函數(shù)為,注意：在對(duì)假分式進(jìn)行反變換時(shí)，應(yīng)首先將假分式變?yōu)檎娣质剑缓笤龠M(jìn)行部分分式

10、分解。,例,解,求 的原函數(shù)。,先將分母分解因式,得,是一對(duì)共軛復(fù)數(shù),方法一,由,由于 為一對(duì)共軛值， A1，A2則也必為共軛值， 所以A2可由A1直接求得。,于是,對(duì)上式逐項(xiàng)求反變換，并加以整理得,方法二,當(dāng)D(s)為二次三項(xiàng)式，且D(s)=0的根為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)時(shí)，還可以使用更簡便的方法求原函數(shù)。即將分母配成二項(xiàng)式的平方，將一對(duì)共軛復(fù)根作為一個(gè)整體來考慮。,F(s)可配方為,直接查閱拉普拉斯變換表可得,計(jì)算步驟大為簡化,例,解,求 的原函數(shù)。,象函數(shù)F(s)不是有理函數(shù)，部分分式分解的方法無法直接應(yīng)用，這時(shí)可先將F(s)改寫成,其中,分別都是有理函數(shù)，可用部分分式法分解,根據(jù)時(shí)間平移性質(zhì)可知

11、 的原函數(shù)，就等于F2(s)的原函數(shù)再平移2個(gè)時(shí)間單位的結(jié)果。,分別求F1(s)，F(xiàn)2(s)的原函數(shù),于是可得,7.3.2 D(s)=0的根有重根的情況（設(shè)mn）,設(shè)D(s)=0在s=s1處有p階重根，這時(shí)可將F(s)寫成下面的形式,把F(s)展開成部分分式,A2，A3，. An-p 各留數(shù)仍可照無重根的情況求取,A12、A13、. A1p各留數(shù)，不能再采用這種方法。因?yàn)檫@樣將使導(dǎo)數(shù)分母中出現(xiàn)“0”值，而得不出結(jié)果。,留數(shù)A11的求取，可將等式的兩邊乘以 令s=s1,于是,為此，引入輔助函數(shù),對(duì)s微分得,顯然,同理,依此類推，得一般形式為,確定了系數(shù)，就可根據(jù)拉普拉斯變換直接，求取原函數(shù)。,所

12、以F(s)對(duì)應(yīng)的原函數(shù),因?yàn)?例,解,D(s)=0有四個(gè)根，一個(gè)二重根s1= 1和s2=0，s3= 3 兩個(gè)單根,其中各待定系數(shù)分別確定如下,故部分分式可表示為,故得,取反變換得,以上介紹了用部分分式法求拉氏反變換的基本方法。在分析具體問題時(shí)，可根據(jù)F(s)的分母有無重根分別用前述兩種方法求各極點(diǎn)的留數(shù)，只要這些留數(shù)一經(jīng)求得，就能得出反變換。,7.4 復(fù)頻域電路,用拉氏變換分析電路暫態(tài)時(shí)可不必寫出微分方程再進(jìn)行變換，可先將時(shí)域電路變成復(fù)頻域電路模型，再根據(jù)復(fù)頻域電路直接寫出運(yùn)算形式的電路方程，使計(jì)算過程更為簡化。,根據(jù)元件電壓、電流的時(shí)域關(guān)系，可以推導(dǎo)出各元件電壓電流關(guān)系的運(yùn)算形式。,7.4.

13、1 電阻元件,在時(shí)域中，有,設(shè),，,等式兩邊取拉氏變換，得,時(shí)域形式,復(fù)頻域形式,7.4.2 電容元件,在時(shí)域中，有,令,對(duì)等式取拉氏變換并應(yīng)用積分性質(zhì)得,容端電壓的象函數(shù)（稱象電壓）由兩部分組成：第一部分是電流的象函數(shù)（稱象電流）與運(yùn)算形式的容抗（簡言容抗）的積；第二部分相當(dāng)于某階躍電壓的象函數(shù)，稱為內(nèi)運(yùn)算電壓源。,電容C在復(fù)頻域中串聯(lián)形式的電路模型,象電流也由兩部分組成：第一部分是sC（稱容納）和象電壓UC(s)的乘積；第二部分相當(dāng)于某電流源的象函數(shù)，稱內(nèi)運(yùn)算電流源 。,電容C在復(fù)頻域中并聯(lián)形式的電路模型,7.4.3 電感元件,在時(shí)域中，有,令Lu (t)=U (s),Li(t)=I(s)

14、，對(duì)上式取拉氏變換,或,感抗,內(nèi)運(yùn)算電壓源,內(nèi)運(yùn)算電流源,串聯(lián)形式的電路模型,并聯(lián)形式的電路模型,7.4.4 互感元件,在時(shí)域中，有,對(duì)等式兩邊取拉氏變換有,互感運(yùn)算阻抗,附加電壓源的方向與電流i1、i2的參考方向有關(guān)。,附加的電壓源,耦合電感元件,復(fù)頻域形式,7.4.5 受控源,線性受控源電路，在時(shí)域電路中滿足,U1(s)= I1(s)R，U2(s)= U1(s),u1=i1R，u2=u1,對(duì)等式兩邊取拉氏變換有,線性受控源,受控源的復(fù)頻域形式,把時(shí)域電路變換成它的等效運(yùn)算電路（復(fù)頻域電路）,以RLC串聯(lián)電路為例,RLC串聯(lián)電路,等效運(yùn)算電路,由等效運(yùn)算電路可直接寫出電路的運(yùn)算形式的代數(shù)方程

15、,即,RLC串聯(lián)電路的運(yùn)算阻抗,RLC串聯(lián)電路的運(yùn)算導(dǎo)納,式中,或者,運(yùn)算形式的歐姆定律,在零值初始條件下，i(0-)=0，uC(0-)=0，則有,在畫復(fù)頻域電路時(shí)，應(yīng)注意電路中的電壓、電流均用象函數(shù)表示，同時(shí)元件用運(yùn)算阻抗或運(yùn)算導(dǎo)納表示，且電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。,例,時(shí)域電路,復(fù)頻域電路,7.5 電路的拉普拉斯變換分析法,拉普拉斯變換法把時(shí)間函數(shù)變換為對(duì)應(yīng)的象函數(shù)，把線性電路的求解歸結(jié)為求解以象函數(shù)為變量的線性代數(shù)方程。,對(duì)任一回路,對(duì)任一節(jié)點(diǎn),對(duì)于復(fù)頻域電路 ，兩類約束關(guān)系為,應(yīng)用拉氏變換分析線性電路的步驟：,（4）通過拉氏反變換得出時(shí)域中響應(yīng)電壓和電流。,（2）畫出換路

16、后的等值運(yùn)算電路；,（3）應(yīng)用電路分析方法求出響應(yīng)電壓、電流的象函數(shù)；,（1）求出換路前電路中所有電容元件上的初始電壓uc (0-) 和所有電感元件上的初始電流iL (0-)；,例1,解,電路如圖所示， ，開關(guān)s閉合前電路處于穩(wěn)態(tài)，在t = 0時(shí)開關(guān)S閉合，求電路中iL及uC,開關(guān)閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，所以,已知,可得運(yùn)算電路,設(shè)回路電流為I1(s)、I2(s), 應(yīng)用回路電流法，可列出方程為,解得,求其反變換得原函數(shù)為,電容上的電壓為,一般來說，二階或二階以上的電路不用時(shí)域分析，而采用復(fù)頻域法求解更簡便。,求其反變換得原函數(shù)為,解,例2,如圖 所示電路，電路原處于穩(wěn)態(tài)，t = 0時(shí)開關(guān)S打開。求t 0時(shí)的電流i1(t)、i2(t),電感L1中的初始電流為,i1(0-)=5A，i2(0-)=0,S打開后,故,運(yùn)算電路,電流隨時(shí)間變化的曲線,開關(guān)打開時(shí)，L1和L2中的電流都被強(qiáng)制為同一電流，其數(shù)值為,顯然,可見兩個(gè)