2006全國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型全國(guó)一等獎(jiǎng)

1、易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型 (2006年獲全國(guó)一等獎(jiǎng))摘 要：本文主要考慮當(dāng)容積一定時(shí)，如何設(shè)計(jì)易拉罐的形狀和尺寸，使得所用材料最省。首先對(duì)易拉罐進(jìn)行測(cè)量，對(duì)問(wèn)題二、問(wèn)題三、問(wèn)題四建立數(shù)學(xué)模型，并利用LINGO軟件結(jié)合所測(cè)的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，得出最優(yōu)易拉罐模型的設(shè)計(jì)。模型一，對(duì)正圓柱體形狀的易拉罐，當(dāng)容積一定時(shí)，以材料體積最小為目標(biāo)，建立材料體積的函數(shù)關(guān)系式，并通過(guò)求二元函數(shù)條件極值得知，當(dāng)圓柱高為直徑兩倍時(shí)，最經(jīng)濟(jì)，并用容積為360 ml進(jìn)行驗(yàn)算，算得，與市場(chǎng)上凈含量為355ml的測(cè)得的數(shù)據(jù)基本接近。模型二，對(duì)上面部分為正圓臺(tái)、下面部分為正圓柱的易拉罐同樣在容積量一定時(shí)，考慮所用材料最省，建

2、立優(yōu)化模型，并通過(guò)LINGO軟件仍用容積為360 ml進(jìn)行驗(yàn)算，算得，高之和約為直徑的兩倍。模型三，考慮到罐底承受的壓力，根據(jù)力學(xué)上橫梁支點(diǎn)的受力與拱橋設(shè)計(jì)的原理，設(shè)計(jì)底部支架（環(huán)形）與一定弧度的拱面，同時(shí)利用黃金分割，將直徑與高之比設(shè)為0.618，建立容積量一定時(shí)材料最省的優(yōu)化模型，再將有關(guān)數(shù)據(jù)代入計(jì)算，得到結(jié)論，現(xiàn)行易拉罐的設(shè)計(jì)從某種意義上不乏是最優(yōu)設(shè)計(jì)。關(guān)鍵詞：優(yōu)化模型 易拉罐 非線性規(guī)劃 正圓柱 正圓臺(tái)一、問(wèn)題重述銷量很大的飲料容器(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的。這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)，而不是偶然。當(dāng)然，對(duì)于單個(gè)的易拉罐來(lái)說(shuō)，這種最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如

3、果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個(gè)易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了?，F(xiàn)針對(duì)以下問(wèn)題，研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題。問(wèn)題一：取一個(gè)飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂(lè)飲料罐，測(cè)量驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說(shuō)明；如果數(shù)據(jù)不是測(cè)量得到的，那么必須注明出處。問(wèn)題二：設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說(shuō)明所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說(shuō)，半徑和高之比，等等。問(wèn)題三：設(shè)易拉罐的中心縱斷面如圖1所示，即上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下面部分是一個(gè)正圓柱。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說(shuō)明你們所測(cè)量的易拉罐的

4、形狀和尺寸。問(wèn)題四：利用所測(cè)量的易拉罐的洞察和想象力，做出關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)。同時(shí)，以做本題以及以前學(xué)習(xí)和實(shí)踐數(shù)學(xué)建模的親身體驗(yàn)，寫(xiě)一篇短文(不超過(guò)1000字，論文中必須包括這篇短文)，闡述什么 圖1是數(shù)學(xué)建模、它的關(guān)鍵步驟，以及難點(diǎn)。 二、問(wèn)題分析在易拉罐設(shè)計(jì)的實(shí)際情況中，我們必須保證罐內(nèi)體積大于飲料的凈含量，同時(shí)考慮到飲料對(duì)罐體各部分的應(yīng)力，需確定罐蓋、罐底和罐壁的厚度，在此情況下的最優(yōu)是使得容積一定時(shí)，所用的材料最省。在問(wèn)題一中對(duì)于各個(gè)部分的數(shù)據(jù)可以直接測(cè)量，利用千分卡對(duì)易拉罐進(jìn)行測(cè)量；問(wèn)題二是對(duì)正圓柱體的易拉罐在容積一定時(shí)，以半徑和高之比為衡量最優(yōu)設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)；問(wèn)題三中，對(duì)比

5、問(wèn)題一中所測(cè)得的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)易拉罐罐蓋、罐底的厚度是罐壁的兩倍，因此我們?cè)诮鉀Q此問(wèn)題時(shí)可以假設(shè)罐蓋、罐底的厚度是罐壁的兩倍，再利用規(guī)劃方法求解由圓臺(tái)和圓柱體組成的易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)。在問(wèn)題四中根據(jù)問(wèn)題二、三的模型所求得的數(shù)據(jù)與測(cè)量的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，以及觀察市場(chǎng)上正規(guī)廠家生產(chǎn)的碳酸和非碳酸飲料易拉罐的異同之處，作出關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)模型。三、模型假設(shè)1、根據(jù)薄壁圓筒的應(yīng)力分析，假設(shè)易拉罐罐蓋、罐底的厚度是罐壁的兩倍。2、易拉罐各接口處的材料忽略不計(jì)。3、易拉罐各部分所用的材料相同。4、單位體積材料的價(jià)格一定。5、相同類型易拉罐的容積相同。四、模型建立與求解目前市場(chǎng)上大部分的易拉罐形狀可以分成兩

6、類：一類主體部分是正圓柱體，正圓柱體上面部分是正圓臺(tái)（如圖2所示）；另一類主體部分是正圓柱體，正圓柱體上面部分與下面部分都是正圓臺(tái)（如圖3所示）。 如圖2 如圖3我們用千分卡尺對(duì)杭州中萃食品有限公司生產(chǎn)的可口可樂(lè)易拉罐進(jìn)行了測(cè)量，分別測(cè)量數(shù)據(jù)如下表。（單位；） 罐高123.7罐柱內(nèi)徑61.29上圓臺(tái)高13.5下圓臺(tái)高7.7罐蓋內(nèi)徑58.17罐底厚0.29罐蓋厚0.29罐底拱高10.11圓柱體高102.5罐壁厚0.135 由上表可知：罐底與罐蓋的厚度大約是柱壁厚度的2倍；高大約為正圓柱直徑的2倍。易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)就是確保盛放飲料時(shí)容器不變形、放置穩(wěn)定、運(yùn)輸安全的前提下，如何設(shè)計(jì)形狀與尺

7、寸才能使一定容積量的易拉罐所用的材料最省，為此我們分別對(duì)問(wèn)題二、問(wèn)題三、問(wèn)題四建立模型如下：模型一：正圓柱體模型假設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體，罐內(nèi)半徑為，罐內(nèi)高為，罐壁厚為，根據(jù)假設(shè)1可知，罐底與罐蓋厚為，所以制作材料的體積為：= 因?yàn)椋薯?xiàng)可以忽略不計(jì)。因而于是，問(wèn)題就是求目標(biāo)函數(shù)在條件下的最優(yōu)解。即min s.t. 利用Lagrange 乘子法求解，作函數(shù)令即消去得：，。唯一的駐點(diǎn)就是問(wèn)題的極值點(diǎn)，也是此問(wèn)題的最優(yōu)解。由上述可知，當(dāng)罐高為罐內(nèi)直徑的兩倍時(shí)，正圓柱體的易拉罐所用的材料最省。這與我們目前市場(chǎng)上的可口可樂(lè)易拉罐的形狀大致相同。若用代入計(jì)算得，這與我們所測(cè)凈含量為的易拉罐高123.7與

8、罐體半徑30.51還是比較接近的（飲料罐不能裝滿飲料，必須留有一定的空間余量）。但也看出兩組數(shù)據(jù)之間也存在一定差異，這是因?yàn)槲覀兯鶞y(cè)量的易拉罐下底并非是一個(gè)圓面，而是一個(gè)向上凸的拱面，接近上、下底部分是兩個(gè)正圓臺(tái)。模型二：主體為正圓柱體，上面部分為正圓臺(tái)模型當(dāng)易拉罐的上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下面部分是正圓柱體時(shí)（如圖4），假設(shè)正圓柱體部分的罐內(nèi)半徑為，罐內(nèi)高為，罐壁厚為；正圓臺(tái)部分上底內(nèi)半徑為，正圓臺(tái)內(nèi)高為。根據(jù)假設(shè)1可知，易拉罐罐底與罐蓋的厚度均為，仍以制作易拉罐的材料最省作為最優(yōu)設(shè)計(jì)。由于考慮到易拉罐各部分材料的厚度不同，因此采用易拉罐所需的材料等于外徑體積減去內(nèi)徑體積進(jìn)行計(jì)算。易拉罐正圓臺(tái)

9、部分所用的材料體積： 圖4 因?yàn)?，故可以忽略，則易拉罐正圓臺(tái)部分的材料體積為：易拉罐正圓柱部分的材料體積：因?yàn)?，故可以忽略。則易拉罐正圓柱所用的材料體積：所以，易拉罐的總材料體積為：要使生產(chǎn)易拉罐的費(fèi)用最省，同理可建立優(yōu)化模型： s.t利用LINGO軟件（附錄一）計(jì)算得出=30.6,mm，；顯然，易拉罐的形狀是正圓柱體。也就是說(shuō)在容積相同的情況下，正圓柱體形的易拉罐要比上面部分是正圓臺(tái)、下面部分是正圓柱體的易拉罐省材，但是問(wèn)題要求設(shè)計(jì)的上面部分是正圓臺(tái)的易拉罐，因此需要進(jìn)一步改進(jìn)。根據(jù)所測(cè)易拉罐的數(shù)據(jù)分析，假設(shè)易拉罐的正圓臺(tái)高為正圓柱高的8%，正圓臺(tái)的上內(nèi)徑為正圓柱內(nèi)徑95%。 s.t利用LI

10、NGO軟件進(jìn)行求解（附錄二），分別得出：=30.87,=29.33, ，這與我們所測(cè)得數(shù)據(jù)比較接近。模型三：易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型對(duì)于盛裝碳酸飲料的容器，不僅要考慮省材，還要考慮盛放與搬運(yùn)中的安全、方便、實(shí)用。如果把易拉罐設(shè)計(jì)成球體，在一定容量的情況下材料最省，但對(duì)于放置、儲(chǔ)存等會(huì)帶來(lái)諸多的不便（球與球之間的空隙大）。根據(jù)幾何原理，罐底為平面放置最穩(wěn)，主體為正圓柱體最優(yōu)。但考慮到碳酸飲料的壓力等因素，罐底與罐蓋要考慮牢固性，根據(jù)橫梁受力的原理：當(dāng)梁的支座從兩端往中間移時(shí)，其載荷將會(huì)提高。 根據(jù)此原理，我們?cè)谝桌薜牡撞吭O(shè)計(jì)了一個(gè)底軌（環(huán)形），并使其向量移動(dòng)0.2R，這樣既可以提高易拉罐底的載荷，

11、也可以使其擺放平衡。底軌的厚度為兩個(gè)底厚加上它們之間的空隙，約為6b。因此在罐底的底軌與正圓柱的連接處就形成了一個(gè)正圓臺(tái)，與此對(duì)應(yīng)，我們?cè)谡龍A柱的上面也設(shè)計(jì)了一個(gè)正圓臺(tái)，進(jìn)而從美學(xué)的角度考慮，根據(jù)黃金分割點(diǎn)將將直徑與高的比設(shè)為0.618，同時(shí)在罐口設(shè)計(jì)了一個(gè)圓槽，使其內(nèi)徑略大于底軌外徑，當(dāng)兩罐飲料疊放時(shí)，上面一罐飲料的底部可以嵌入下面一罐飲料的罐蓋的圓槽，便于放置。在罐底部分，根據(jù)拱橋的原理：橋面設(shè)計(jì)成一定的拱形時(shí)，它的受力比一般平面橋要大得多。因此我們把罐底底軌內(nèi)的部分設(shè)計(jì)成具有一定弧度的拱面，使其能夠更好的承受罐內(nèi)液體的壓力。綜上所述，可將易拉罐罐體設(shè)計(jì)成三部分：上部為正圓臺(tái)，高為，上圓臺(tái)

12、罐口內(nèi)半徑為；中部為正圓柱，高為，罐體正圓柱內(nèi)半徑為；下部為正圓臺(tái)，高為，罐底內(nèi)半徑為，罐底拱高為（如圖5所示）。又設(shè)罐體壁厚為，罐底、罐蓋厚為，對(duì)各部分進(jìn)行材料體積計(jì)算。易拉罐上正圓臺(tái)部分的材料體積： 圖5 因?yàn)?，故可以忽略，則易拉罐正圓臺(tái)部分的材料為： 易拉罐正圓柱部分的材料體積：因?yàn)?，故可以忽略，則易拉罐正圓柱部分的材料體積：易拉罐下正圓臺(tái)側(cè)面部分的材料： = 易拉罐底部材料的體積：所以，易拉罐所用的總材料體積為： 當(dāng)易拉罐所需的總材料最少，則生產(chǎn)該易拉罐的費(fèi)用最省，建立優(yōu)化模型如下： s.t當(dāng)，時(shí)，利用LINGO（附錄三）解得：，=11.23，這樣設(shè)計(jì)出來(lái)的易拉罐取材省，外觀美麗。 五

13、、模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)此模型通過(guò)實(shí)際數(shù)據(jù),將理論分析和實(shí)際狀況進(jìn)行比較，有較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。能兼顧安全、實(shí)用、方便、美觀、經(jīng)濟(jì)，理論引用可信度較高。但在模型中沒(méi)有考慮接口處的材料，由于時(shí)間關(guān)系，對(duì)罐底、罐蓋與罐壁的厚度等對(duì)比沒(méi)有作深入的研究。期望能在此方面加以改革，以達(dá)到最經(jīng)濟(jì)的效果。六、建模體會(huì)數(shù)學(xué)建模是一項(xiàng)以培養(yǎng)青年學(xué)生創(chuàng)新思維、團(tuán)結(jié)協(xié)作、綜合應(yīng)用能力、提高學(xué)生素質(zhì)為目的的活動(dòng)、深受青年學(xué)生的青睞，我們是這項(xiàng)活動(dòng)的喜愛(ài)者、參與者、受益者。通過(guò)數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)與實(shí)踐，我們懂得了數(shù)學(xué)建模就是把現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題加以提煉。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)描述問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，然后用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而用數(shù)

14、學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)軟件等求出模型的解，并驗(yàn)證模型的合理性。用該數(shù)學(xué)模型解釋現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，甚至解決一些當(dāng)前生產(chǎn)、生活中的技術(shù)難關(guān)，并將部分模型應(yīng)用于實(shí)際生產(chǎn)中，給社會(huì)帶來(lái)巨大的經(jīng)濟(jì)效益。數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵步驟可以歸納為：模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型檢驗(yàn)及模型應(yīng)用等。對(duì)于我們來(lái)說(shuō)，如何解讀實(shí)際問(wèn)題，掌握各種信息與數(shù)據(jù)，抓住其本質(zhì)，再用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)建立模型是難點(diǎn)。就易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)而言，考慮了易拉罐罐底為何設(shè)計(jì)成呈弧形的拱面，這樣設(shè)計(jì)對(duì)易拉罐有何作用，如何設(shè)計(jì)易拉罐各部分材料的厚度以及形狀，并證明所需要的材料是最省的，即對(duì)產(chǎn)家而言所需的費(fèi)用是最省的，然而在此基礎(chǔ)上還需考慮到罐內(nèi)氣體對(duì)

15、易拉罐各部分的應(yīng)力以及易拉罐的承受能力，并用數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行表達(dá)和證明，說(shuō)明我們所設(shè)計(jì)的易拉罐是合理的，這是問(wèn)題的關(guān)鍵所在，也是本模型的最大難點(diǎn)，而數(shù)學(xué)建模的最大難點(diǎn)也在于如何建立數(shù)學(xué)模型將理論轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)使我們真正懂得了數(shù)學(xué)的魅力，它的應(yīng)用十分廣泛，可以滲透到工程、生物、經(jīng)濟(jì)、環(huán)境、能源等各個(gè)鄰域，也使我們學(xué)會(huì)了學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)了合作，學(xué)會(huì)了利用網(wǎng)絡(luò)及我們所學(xué)的知識(shí)去解決問(wèn)題的思想。這對(duì)我們今后的學(xué)生時(shí)代及走上崗位后的職業(yè)生涯會(huì)終身受益。參考文獻(xiàn)1 劉鴻文，材料力學(xué)，人民教育出版社，1979.2. （第154頁(yè)）2 吳建國(guó)，數(shù)學(xué)建模案例精編，北京市三里河路6號(hào)：中國(guó)水利水電出版社

16、， 2005.1(第89頁(yè))3 數(shù)學(xué)手冊(cè)編寫(xiě)組，數(shù)學(xué)手冊(cè)，北京印刷二廠：人民教育出版社，1979 (第81頁(yè))4 姜啟源 謝金星 葉俊，數(shù)學(xué)模型第三版，北京市西城區(qū)德外大街4號(hào)：高等教育出版社， 2004.25admin，鋁制易拉罐成形工藝及模具， /mjsj/wjm/lsm/474.html，20069156劉代祥，飲料包裝研究，/yjxxx/2005/38/webpage/index.htm，2006915附錄附錄一model:b=0.135;v=;min=3.14*b*h1*(R+r1+b)+2*3.14*b2*(R+

17、r1)+2*3.14*b*(R2+R*r1+r12)/3+2*3.14*b*R2+3.14*b*2*R*h2+3.14*b2*(4*R+h2);3.14*R2*(h2+h1/3)+3.14*h1*r12/3.0+3.14*h1*R*r1/3.0=v;R=r1;end Local optimal solution found at iteration: 130 Objective value: 4785.179 Variable Value Reduced Cost B 0. 0. V .0 0. H1 118.9332 0. R 30.60349 0. R1 30.60349 -0.E-07

18、H2 3. -0.E-06 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0. -35601.72 2 0. -0.E-02 3 4785.179 -1. 4 0. -0.E-02 5 0. -24.57812附錄二model:b=0.135;v=;min=3.14*b*h1*(R+r1+b)+2*3.14*b2*(R+r1)+2*3.14*b*(R2+R*r1+r12)/3+2*3.14*b*R2+3.14*b*2*R*h2+3.14*b2*(4*R+h2);3.14*R2*(h2+h1/3)+3.14*h1*r12/3.0+3.14*h1*R*r1/3.0=v;Rr1

19、;r1=0.95*R;h1=0.08*h2; Local optimal solution found at iteration: 131 Objective value: 4751.322 Variable Value Reduced Cost B 0. 0. V .0 0. H1 8. 0. R 30.87646 -0.E-06 R1 29.33264 0. H2 111.7580 0. Row Slack or Surplus Dual Price 1 0. -35349.82 2 0. -0.E-02 3 4751.322 -1. 4 0. -0.E-02 5 1. 0. 6 0. -21.85243 7 0. -0.附錄三model:b=0.135;v=;d=7;min=3.14*b*h1*(R+r1+b)+2*3.14*b2*(R+r1