人教A高中數(shù)學(xué)必修四課件142正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)二4

1、1.4.2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(二),【知識(shí)提煉】 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),-1，1,-1，1,2k-，2k,2k，2k+,2k,2k+,【即時(shí)小測(cè)】 1.判斷 (1)存在角，使得cos=1.1.() (2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在定義域內(nèi)都是單調(diào)函數(shù).() (3)在區(qū)間0，2上，函數(shù)y=cosx僅當(dāng)x=0時(shí)取得最大值1.(),【解析】(1)錯(cuò)誤.因?yàn)?1cos1，所以不存在角使cos=1.1. (2)錯(cuò)誤.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在定義域內(nèi)都不具有單調(diào)性. (3)錯(cuò)誤.在區(qū)間0，2上，函數(shù)y=cosx當(dāng)x=0與x=2時(shí)取得最大值1. 答案：(1)(2)(3),2.在下列區(qū)間中，使函數(shù)y=

2、sinx為增函數(shù)的是() A.0， B. C. D.，2 【解析】選C.由正弦曲線知y=sinx在 上是增函數(shù).,3.函數(shù)y=3-2cosx的最大值為_，此時(shí)x=_. 【解析】因?yàn)?1cosx1， 所以當(dāng)cosx=-1時(shí)ymax=3-2(-1)=5. 此時(shí)x=2k+，kZ. 答案：52k+，kZ,4.函數(shù) 的值域?yàn)開. 【解析】畫出函數(shù) 的圖象，如圖： 由圖象可知，當(dāng)x= 時(shí)ymax=1，當(dāng)x= 時(shí)，ymin= 所以函數(shù) 的值域?yàn)?答案：,5.函數(shù)y=cosx在區(qū)間-，a上為增函數(shù)，則a的范圍是_. 【解析】y=cosx在區(qū)間-，0上為增函數(shù)，故由題意知-，a-，0，所以-a0. 答案：(-，

3、0,【知識(shí)探究】 知識(shí)點(diǎn)1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 觀察圖形，回答下列問題： 問題1：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間是唯一的嗎？ 問題2：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間之間有什么關(guān)系？,【總結(jié)提升】 對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性的四點(diǎn)說明 (1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在定義域R上均不是單調(diào)函數(shù)，但存在單調(diào)區(qū)間. (2)由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最小正周期為2，所以任給一個(gè)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，加上2k，(kZ)后，仍是單調(diào)區(qū)間，且單調(diào)性相同.,(3)求解(或判斷)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(或單調(diào)性)是求值域(或最值)的關(guān)鍵一步. (4)確定含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的較復(fù)雜的函數(shù)單調(diào)性時(shí)

4、，要注意使用復(fù)合函數(shù)的判斷方法來判斷.,知識(shí)點(diǎn)2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最值 觀察如圖所示內(nèi)容，回答下列問題： 問題1：對(duì)于xR，sinx和cosx的取值是否也是任意實(shí)數(shù)？ 問題2：函數(shù)y=sinx，xD的最大值必為1嗎？,【總結(jié)提升】 對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最值的三點(diǎn)說明 (1)明確正、余弦函數(shù)的有界性，即|sinx|1，|cosx|1. (2)函數(shù)y=sinx，xD，(y=cosx，xD)的最值不一定是1或-1，要依賴函數(shù)定義域D來決定. (3)形如y=Asin(x+)(A0，0)的函數(shù)的最值通常利用“整體代換”，即令x+=Z，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=AsinZ的形式求最值.,【題型探究】 類型一 正

5、弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性 【典例】(2015淮安高一檢測(cè))已知函數(shù)f(x)= sin( +2x)+1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 【解題探究】本例中函數(shù)與以下三個(gè)函數(shù)有什么關(guān)系？ u= +2x；t=sinu；y= t+1 提示：代入，代入可得本題中函數(shù).,【解析】令= +2x，函數(shù)y=sin 的單調(diào)遞增區(qū)間為- +2k， +2k，kZ， 由 得 所以函數(shù)f(x)= 的單調(diào)遞增區(qū)間是- +k， +k，kZ.,【延伸探究】 1.(變換條件)將本例函數(shù)改為“f(x)= ”，結(jié)果又如何？,【解析】f(x)= 令t=2x- ，函數(shù)y=cos t的單調(diào)遞增區(qū)間為-+2k，2k，kZ. 由-+2k2x-

6、 2k， 得 所以函數(shù)f(x)= 的單調(diào)遞增區(qū)間為 +k， +k，kZ.,2.(增加條件)本例函數(shù)后增加x0，其他條件不變，結(jié)果又如何？ 【解析】設(shè)A=0， 畫數(shù)軸可知 AB= 所以函數(shù)f(x)= (x0，)的單調(diào)遞增區(qū)間為 0， 和 ，.,3.(變換條件、改變問法)本例函數(shù)改為“y=log3sin(2x+ )”，求其單調(diào)遞減區(qū)間. 【解析】為使函數(shù)解析式有意義，須有sin(2x+ )0. 因?yàn)楹瘮?shù)y=log3x在(0，+)為增函數(shù)， 所以原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間就是y=sin(2x+ )的遞減區(qū)間，且要滿足sin(2x+ )0. 由 +2k2x+ +2k，kZ，,得 +kx +k，kZ， 所以函

7、數(shù)y=log3sin(2x+ )的單調(diào)遞減區(qū)間為 +k， +k)，kZ.,【方法技巧】 1.單調(diào)區(qū)間的求法 求形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，要先把化為正數(shù)， (1)當(dāng)A0時(shí)，把x+整體放入y=sin x或y=cos x的單調(diào)增區(qū)間內(nèi)，求得的x的范圍即函數(shù)的增區(qū)間；放入y=sin x或y=cos x的單調(diào)減區(qū)間內(nèi)，可求得函數(shù)的減區(qū)間.,(2)當(dāng)A0時(shí)，把x+整體放入y=sin x或y=cos x的單調(diào)增區(qū)間內(nèi)，求得的x的范圍即函數(shù)的減區(qū)間；放入y=sin x或y=cos x的單調(diào)減區(qū)間內(nèi)，可求得函數(shù)的增區(qū)間. 2.復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法 (1)先求定義域. (2

8、)分析內(nèi)層、外層函數(shù)的單調(diào)性 (3)根據(jù)“同增異減”的法則寫出單調(diào)區(qū)間.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】求函數(shù)y=3cos(2x+ )的單調(diào)遞減區(qū)間. 【解析】令t=2x+ ，函數(shù)y=cos t的單調(diào)遞減區(qū)間為2k，2k+，kZ. 由2k2x+ 2k+得 k- xk+ ，kZ. 所以函數(shù)y=3cos(2x+ )的單調(diào)遞減區(qū)間為k- ，k+ ，kZ.,【延伸探究】 1.(變換條件)本例函數(shù)改為“y=-3cos(2x+ )”，結(jié)果如何？ 【解析】要求函數(shù)y=-3cos(2x+ )的單調(diào)遞減區(qū)間，只要求函數(shù)y=cos(2x+ )的單調(diào)遞增區(qū)間. 由2k-2x+ 2k，得 k- xk- ，kZ. 所以函數(shù)y=-3cos

9、(2x+ )的單調(diào)遞減區(qū)間為k- ，k- ，kZ.,2.(增加條件、改變問法)求函數(shù)y= ，x0，的單調(diào)遞增區(qū)間. 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y= 在R上為減函數(shù). 所以要求函數(shù)y= ，x0，的單調(diào)遞增區(qū)間， 只要求y=cos(2x+ )，x0，的單調(diào)遞減區(qū)間， 由2k2x+ 2k+， 得k- xk+ ，kZ.,設(shè)A=0， 則AB= 所以函數(shù)y= ，x0，的單調(diào)遞增區(qū)間是0， 和 ，.,類型二 利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)單調(diào)性比較大小 【典例】1.已知，為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則以下結(jié)論正確的是() A.sincos 2.(2015天津高一檢測(cè))比較大小： _ .(填“”或“”),【解題探究】1.典例1中，

10、由，為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，可知+與 有什么關(guān)系？ 提示：+ . 2典例2中為比較兩個(gè)數(shù)的大小，首先要將這兩個(gè)數(shù)變?yōu)槭裁葱问剑坑檬裁垂阶冃危?提示：用誘導(dǎo)公式變形為都是正弦或都是余弦的形式.,【解析】1.選B. ，為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，+ ， -，(0， ) ， -(0， ) ， 所以cos ,【方法技巧】比較兩個(gè)三角函數(shù)值的大小的步驟 (1)依據(jù)誘導(dǎo)公式把幾個(gè)三角函數(shù)化為同名函數(shù). (2)依據(jù)誘導(dǎo)公式把角化到屬于同一個(gè)單調(diào)增(減)區(qū)間. (3)依據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小后寫出結(jié)論,【變式訓(xùn)練】比較大?。篶os(-508)_cos(-144).(填“”“cos 36，所以-cos 32-

11、cos 36， 即cos(-508)cos(-144). 答案：,【補(bǔ)償訓(xùn)練】用“”“”或“=”填空： 【解析】(1)因?yàn)閥=sin x在0， 上是增函數(shù)， 所以,(2) 因?yàn)閥=sin x在0， 上是增函數(shù)， 所以 即 (3)由誘導(dǎo)公式可得， 答案：(1) (2) (3)=,類型三 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最值問題 【典例】1.(2015延吉高一檢測(cè))函數(shù)y=cos2x+3cos x+2的最小值 為( ) A.2 B.0 C.1 D.6 2.(2015宿遷高一檢測(cè))已知函數(shù)y=a-bcos(2x+ )(b0)的最大值為 ，最小值為 (1)求a，b的值.(2)求函數(shù)g(x)=-4asin(bx-

12、)的最小值并求出對(duì)應(yīng)x的集合.,【解題探究】1.典例1中的函數(shù)是由哪兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的？ 提示：由t=cos x和y=t2+3t+2復(fù)合而成的. 2.典例2中，cos(2x+ )的最大值、最小值與y=a-bcos(2x+ )的最 大值、最小值有什么關(guān)系？ 提示：由于-b0，當(dāng)cos(2x+ )取得最大(小)值時(shí)，y=a-bcos(2x+ ) 取得最小(大)值.,【解析】1.選B.令cos x=t，則t-1，1， y=t2+3t+2，對(duì)稱軸為直線 所以y=t2+3t+2在-1，1上為增函數(shù)， 所以當(dāng)t=-1時(shí)，ymin=0. 2.(1)cos(2x+ )-1，1， 因?yàn)閎0， 所以-b0， 所以

13、a= ，b=1.,(2)由(1)知：g(x)=-2sin(x- )， 因?yàn)閟in(x- )-1，1， 所以g(x)-2，2，所以g(x)的最小值為-2， 對(duì)應(yīng)x的集合為x|x=2k+ ，kZ.,【延伸探究】將本例1中的函數(shù)改為f(x)=-cos2x-2asin x，(x0，aR)，求其最小值. 【解析】f(x)=-(1-sin2x)-2asin x =sin2x-2asin x-1 =(sin x-a)2-a2-1 由x0，知sin x0，1. 若a1，則當(dāng)sin x=1時(shí)，f(x)min=1-2a-1=-2a； 若0a1，則當(dāng)sin x=a時(shí)，f(x)min=-a2-1； 若a0，則當(dāng)sin

14、 x=0時(shí)，f(x)min=-1.,【方法技巧】求三角函數(shù)值域或最值的常用方法 (1)可化為單一函數(shù)y=Asin(x+)+k或y=Acos(x+)+k，其最大值為|A|+k，最小值為-|A|+k(其中A，k，為常數(shù)，A0，0). (2)可化為y=Asin2x+Bsin x+C或y=Acos2x+Bcos x+C(A0)，最大、最小值可利用二次函數(shù)在區(qū)間-1，1上的最大值、最小值的求法來求.(換元法),【變式訓(xùn)練】函數(shù)y=sin x在區(qū)間0，t上至少取得2個(gè)最大值，則正整數(shù)t的最小值是( ) A.10 B.9 C.8 D.7 【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)y=sin x的最小正周期為 ，所以 要使函數(shù)y

15、=sin x在區(qū)間0，t上至少取得2個(gè)最大值，則 t =7.5，故正整數(shù)t的最小值是8.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)= 的定義域是0， ， 值域是-5，1，求a，b的值. 【解析】因?yàn)? x ，所以 所以 當(dāng)a0時(shí)， 解得 當(dāng)a0時(shí)， 解得 因此a=2，b=-5或a=-2，b=1.,規(guī)范解答 y=Asin(x+)+b型函數(shù)的最大(小)值問題 【典例】(12分)(2015北京高一檢測(cè))函數(shù)f(x)=2sin(2x- )的部分圖象如圖所示. (1)寫出f(x)的最小正周期及圖中x0，y0的值. (2)求f(x)在區(qū)間 上的最大值和最小值.,【審題指導(dǎo)】(1)要求f(x)的最小正周期可直接利用公式

16、： 要求x0，y0，關(guān)鍵是確定函數(shù)f(x)何時(shí)取得最大值及最大值是多少. (2)要求f(x)在區(qū)間 上的最大(小)值，先要求出2x- 的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，求f(x)的最大(小)值.,【規(guī)范解答】(1)f(x)的最小正周期T= =，2分 當(dāng)2x- =2k+ ，kZ時(shí)，sin(2x- )=1. f(x)取得最大值2. 此時(shí)x=k+ ，kZ. 4分 結(jié)合圖象可知， 6分,(2)由x 得2x- - ，0，7分 所以當(dāng) sin(2x- )=-1， f(x)取得最小值-2.9分 當(dāng)2x- =0，即x= 時(shí)， sin(2x- )=0，f(x)取得最大值0.11分 綜上可知，f(x)在區(qū)間 上的最大值為0，最小值為-2.12分,【題后悟道】 1.