隨機(jī)變量的期望、方差的計(jì)算-華北電力大學(xué)成人教育學(xué)院

1、精品 料推薦隨機(jī)變量的期望、方差的計(jì)算方法辛開(kāi)遠(yuǎn)，楊玉華與隨機(jī) 量有關(guān)的某些數(shù) ， 然不能完整的描述隨機(jī) 量，但能描述隨機(jī) 量在某些方面的重要特征。 些數(shù)學(xué)特征在理 與 踐上都具有重要的意 ， 本文介 一 隨機(jī) 量的常用數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差。一、數(shù)學(xué)期望1 離散型隨機(jī) 量x 的分布律 ：p x xkpk ，xk 1， 2，如果 數(shù)xkpk 收 ， 稱 數(shù)xk pk 的和 隨機(jī) 量 x 的數(shù)學(xué)期望，即k 1k1e( x)xk pkk 12 型隨機(jī) 量 x 的概率密度 f (x) ，若 分xf ( x) dx 收 ， 稱 分xf ( x)dx 的 隨機(jī) 量x 的數(shù)學(xué)期望，即e( x)xf (

2、x) dx3 數(shù)學(xué)期望的性 （ 1） e(c )c ，（ c 常數(shù)）（ 2） e(kx )ke ( x ) ，（ k 常數(shù)， x 是隨機(jī) 量）（ 3） e( xy) e( x )e(y) ，（ x ， y 是兩個(gè)隨機(jī) 量）（ 4）若 x ， y 是相互獨(dú)立的隨機(jī) 量， 有e( xy ) e(x ) e(y)二、隨機(jī) 量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè) y 是 x 的函數(shù)， y g( x ) 。1當(dāng) x 是離散型隨機(jī) 量 ，x 的分布律 p x xkpk ， k1， 2，若 數(shù)g(xk ) pk 收 ， 函數(shù) y 的數(shù)學(xué)期望 k1e(y ) e g( x )g( xk ) pkk 12當(dāng) x 是 型隨機(jī) 量

3、，x 的概率密度 f (x) ，若 分g( x) f ( x) dx 收 ， 函數(shù) y 的數(shù)學(xué)期望 e(y )e g( x )g (x) f ( x)dx三、方差設(shè) x 是一個(gè)隨機(jī) 量，若e x e( x ) 2存在， 稱它 x 的方差， 作d ( x ) ，1精品 料推薦即d ( x ) e x e( x ) 2 稱d( x ) 為 x 的均方差或者 準(zhǔn)差。1 若 x 是離散型隨機(jī) 量， d ( x ) xk e( x ) 2 pkk 12 若 x 是 型隨機(jī) 量， d ( x ) x e( x ) 2 f ( x)dx方差 d ( x )反映了隨機(jī) 量 x 取 分散的程度，d ( x )

4、越小， x 的取 越集中。3 方差的性 （ 1） d ( x ) 0 ；（ 2） d (c )0，（其中 c 是常數(shù)）；（ 3） d (kx )k2 d ( x ) ，其中 k 是常數(shù)，（ 4）若 x ， y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī) 量， 有d ( xy ) d ( x ) d (y )（ 5）d ( x ) 0的充分必要條件是， 里c e( x )；p x c 1（ 6） d ( x )e( x 2 ) e ( x ) 2常用公式（ 6） 算方差。四、矩1 x 離散型隨機(jī) 量（ 1）若 e( x k )xik pi ，k1，2，存在， 稱它 x 的 k 原點(diǎn)矩。i 1（ 2）若 e xe( x

5、 ) k xie( x )k pi 存在， 稱它 x 的 k 中心矩。i 12 x 型隨機(jī) 量（ 1） e( x k )x k f (x)dx 存在， 稱它 x 的 k 原點(diǎn)矩。（ 2）若 e xe( x ) k x e( x ) kf ( x)dx 存在， 稱它 x 的 k 中心矩，其中， f (x) 為 x 的概率密度。五、關(guān)于兩個(gè)隨機(jī) 量的函數(shù)zg( x , y) 的數(shù)學(xué)期望1 ( x ,y) 是二 離散型隨機(jī) 量， 若其分布律 p x xi,y yi pij ，（ i, j1，2，），則 e( z) e g( x ,y)g( xi , y j ) pijj 1 i1 里，等式右端的 數(shù)

6、 收 。2 ( x , y) 是二 型隨機(jī) 量，若其概率密度 f ( x, y)e( z) e g( x ,y)g(x, y) f ( x, y)dxdy則 里，等式右端的 數(shù)或 分 收 。六、 方差和相關(guān)系數(shù)1 ( x ,y) 是二 隨機(jī) 量， 若 e x e( x ) ye(y)存在， 稱它是 x 和 y 的2精品 料推薦協(xié)方差，記作cov ( x ,y) ，即cov( x , y)e xe( x ) ye(y)（ 1）當(dāng) (x , y) 為離散型隨機(jī)變量時(shí)，cov( x , y) xi e( x ) y j e(y) pijj 1i 1（ 2）當(dāng) (x , y) 是連續(xù)隨機(jī)變量時(shí)，cov

7、( x , y) x e( x ) y e(y ) f ( x, y)dxdy其中， f ( x, y) 是 ( x ,y) 的概率密度。2若 d ( x ) 0， d (y ) 0，則稱xycov( x , y)d( x )d (y)為 x 和 y 的相關(guān)系數(shù)。七、例題分析x-202例 1設(shè)隨機(jī)變量x 的分布律為，求 ： e( x ) ， e( x2 ) ，pk0.40.30.3d ( x ) 。解：e( x ) ( 2) 0.4 0 0.3 2e( x 2 ) ( 2) 20.4 020.3 220.3 2.8d ( x ) e( x 2 ) e( x ) 22.8 ( 0.2) 22.7

8、6例 2設(shè)隨機(jī)變量x 1 , x 2 的概率密度分別為2e 2 x , x 04e 4x , x 0f x1(x)，f x2(x)0,x00,x 0求： e( x 1x 2 ) ， d ( x 1 ) ， d ( x 2 ) 。解： e( x1 x 2 )e( x 1 )e( x 2 )0x2e 2x dxx 4e 4 x dx0113244d ( x 1 ) e( x12 ) e( x 1 ) 2x 22e 2 x dxx 2e 2 x dx21004d ( x 2 )e( x 22 ) e( x 2 ) 23精品 料推薦x 24e 4x dx210x4e 4x dx016( x ,y )

9、具有概率密度 f (x, y)1,x 2y 21例 3設(shè)二維隨機(jī)變量,0 ,其它求： cov ( x , y) ，xy 。解： u1e( x )xf ( x, y)dxdy121rdrd00r cos0u2e(y)yf (x, y)dxdy1r sinrdrd0cov( x ,y )( xu1 )( yu2 ) f ( x, y)dxdy1212 sin cosrdrd00r0xycov( x , y)0d(y)d( x )例 4設(shè)二維隨機(jī)變量( x ,y ) 的分布律為x-101pyy j y-11113888801012888111138888p x xi 3231888求： e( x ) ， e(y ) ， cov ( x , y) ，xy 。解： e(