基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則

1、1.2.2 基本初等函數(shù)的導數(shù)及導數(shù)的運算法則備課人：王宏偉 年級組：高二教材分析 本節(jié)內(nèi)容是導數(shù)的計算這一節(jié)的關(guān)鍵部分，對后面更深刻地研究導數(shù)起著至關(guān)重要的作用在導數(shù)的定義中，我們不僅闡明了導數(shù)概念的實質(zhì)，也給出了利用定義求導數(shù)的方法但是，如果對每一個函數(shù)都直接按定義去求它的導數(shù)，往往是極為復雜和困難的，甚至是不可能的因此，我們希望找到一些簡單函數(shù)的導數(shù)(作為我們的基本公式)與運算法則，借助它們來簡化導數(shù)的計算過程因此教材直接給出了基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則，使得用定義求導數(shù)比較麻煩問題得以解決，為以后導數(shù)的研究帶來了方便，同時也將所學的導數(shù)和實際應(yīng)用問題結(jié)合起來，使得導數(shù)的

2、優(yōu)越性發(fā)揮得淋漓盡致復合函數(shù)的求導法則是導數(shù)的計算這一節(jié)的最后一小節(jié)內(nèi)容教材在基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則的基礎(chǔ)上將導數(shù)的計算研究得更深入，雖然基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則解決了不少導數(shù)問題，但對于由函數(shù)和函數(shù)復合而成的函數(shù)還沒有涉及，我們平時研究的函數(shù)不會僅限于基本初等函數(shù)，因此我們要想將問題研究得更加透徹，就得繼續(xù)研究導數(shù)教材層層深入，給我們展示了什么是復合函數(shù)，同時將復合函數(shù)的構(gòu)成和復合函數(shù)的求導法則也展示給了學生因此，使很多較難的問題層層分解以后顯得簡單易懂課時分配 2課時第1課時(基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則)；第2課時(復合函數(shù)的求導法則)第1

3、課時教學目標1知識與技能目標(1)熟練掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式；(2)掌握導數(shù)的四則運算法則2過程與方法目標能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)3情感、態(tài)度與價值觀通過學習本節(jié)課，培養(yǎng)學生對問題的認知能力由于利用定義求函數(shù)的導數(shù)非常復雜，本節(jié)課直接給出了八個基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表和導數(shù)的運算法則學生不用推導而直接去求一些簡單函數(shù)的導數(shù)，認識事物之間的普遍聯(lián)系，達到學有所用在訓練中也加深了學生對學習數(shù)學的興趣，激發(fā)學生將所學知識應(yīng)用于實際的求知欲，培養(yǎng)濃厚的學習興趣教學重點：應(yīng)用八個函數(shù)導數(shù)求復雜函數(shù)的導數(shù).教學難點：商求導法則的理解與應(yīng)用.教學過程：一、復

4、習回顧復習五種常見函數(shù)、的導數(shù)公式填寫下表函數(shù)導數(shù) 二、提出問題，展示目標 我們知道,函數(shù)的導數(shù)為，以后看見這種函數(shù)就可以直接按公式去做，而不必用導數(shù)的定義了。那么其它基本初等函數(shù)的導數(shù)怎么呢？又如何解決兩個函數(shù)加。減。乘。除的導數(shù)呢？這一節(jié)我們就來解決這個問題。三、合作探究 1（1）分四組對比記憶基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表函數(shù)導數(shù)（2）根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，求下列函數(shù)的導數(shù)（1）與（2）與2導數(shù)運算法則：（1）和（或差）的導數(shù)法則1 兩個函數(shù)的和（或差）的導數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和（或差），即(uv)uv例1 求yx3sinx的導數(shù)解：y(x3) (sinx) 3x2cosx 例2

5、求yx4x2x3的導數(shù)解：y4x3 2x1（2）積的導數(shù)法則2 兩個函數(shù)的積的導數(shù)，等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù)，即 (uv)uvuv由此可以得出 (Cu)C uCu0CuCu 也就是說，常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導數(shù)，即 (Cu)Cu 例3 求y2x33x25x4的導數(shù)解：y6x26x5例4 求y(2x23) (3x2) 的導數(shù)解：y(2x23) (3x2)(2x23)(3x2) 4x(3x2)(2x23)318x28x9或：，（3）商的導數(shù) vu=vu-vuv2例5求下列函數(shù)的導數(shù) （1） （2） （3）提示：積法則,商法則, 都是前導后不

6、導, 前不導后導, 但積法則中間是加號, 商法則中間是減號.四、當堂檢測 1填空： (3x21)(4x23) ( )(4x23) (3x21)( )； (x3sinx) ( )x2sinxx3 ( )2判斷下列求導是否正確，如果不正確，加以改正：(3x2)(2x3) 2x(2x3)3x2(3x2)(3x2)(2x3) 2x(2x3)3x2(3x2)3求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）y2x33x25x4； （2） yax3bxc； （3） ysinxx1； （4）y(3x21)(2x)； 4求函數(shù)的導數(shù)5思考：設(shè) f(x)x(x1) (x2) (xn)，求f (0) 6函數(shù)f(x)x(x1) (x2)(

7、x3) (x100)在x0處的導數(shù)值為( )A. 0 B. 1002 C. 200 D. 100!五、課堂總結(jié)（1）分四組寫出基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表：（2）導數(shù)的運算法則：1和（或差）的導數(shù) (uv)uv2積的導數(shù) (uv)uvuv3商的導數(shù) vu=vu-vuv2六課后作業(yè)1課本第18頁習題1.1A組:42求下列函數(shù)的導數(shù)：（1） y(1x2)cosx； （2）（3） （4）七、板書設(shè)計 1.2.2 基本初等函數(shù)的導數(shù)及導數(shù)的運算法則（1）一、復習回顧復習五種常見函數(shù)、y=1x、的導數(shù)公式二、提出問題，展示目標 三、合作探究 1分四組對比記憶基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表2導數(shù)運算法則：（1）和（

8、或差）的導數(shù)（2）積的導數(shù)（3）商的導數(shù)四、當堂檢測 五課堂總結(jié)六課后作業(yè)八課后反思第2課時課程內(nèi)容：復合函數(shù)的導數(shù)內(nèi)容分析：復合函數(shù)的導數(shù)是導數(shù)的重點，也是導數(shù)的難點. 要弄清每一步的求導是哪個變量對哪個變量的求導.求導時對哪個變量求導要寫明，可以通過具體的例子，讓學生對求導法則有一個直觀的了解.教學目標：1知識與技能 （1）理解復合函數(shù)的概念（2）能正確分解簡單的復合函數(shù)，記住復合函數(shù)的求導公式（3）理解并掌握復合函數(shù)的求導法則2過程與方法（1）記基本初等函數(shù)求導公式，會利用基本初等函數(shù)求導公式求函數(shù)的導數(shù)（2）通過分析復合層次確定函數(shù)的復合順序，為正確求導奠定基礎(chǔ)3情感態(tài)度與價值觀通過正

9、確分解復合函數(shù)的復合過程，做到不漏，不重，熟練，正確培養(yǎng)學生嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度，做事的條理性和處理問題大局觀，進而影響到學生的一生。教學目的：理解 ，善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，認識規(guī)律，掌握規(guī)律，利用規(guī)律教學重點：復合函數(shù)的求導法則的概念與應(yīng)用教學難點：復合函數(shù)的求導法則的導入與理解授課類型：新授課課時安排：1課時教學過程：一、復習引入 1.常見函數(shù)的導數(shù)公式：；2.法則1 法則2 , 法則3 二、講解新課 1.舉出例子、，讓學生感覺到這既不是基本初等函數(shù)，也不是初等函數(shù)，然后引入如何函數(shù)的概念。2.復合函數(shù): 由幾個函數(shù)復合而成的函數(shù)，叫復合函數(shù)由函數(shù)與復合而成的函數(shù)一般形式是，其中u稱為中間變量.3.求函

10、數(shù)的導數(shù)的兩種方法與思路：方法一：；方法二：將函數(shù)看作是函數(shù)和函數(shù)復合函數(shù)，并分別求對應(yīng)變量的導數(shù)如下：，兩個導數(shù)相乘，得 ， 從而有 對于一般的復合函數(shù)，結(jié)論也成立，以后我們求yx時，就可以轉(zhuǎn)化為求yu和ux的乘積，關(guān)鍵是找中間變量，隨著中間變量的不同，難易程度不同.4.復合函數(shù)的導數(shù)：設(shè)函數(shù)u=(x)在點x處有導數(shù)ux=(x)，函數(shù)y=f(u)在點x的對應(yīng)點u處有導數(shù)yu=f(u)，則復合函數(shù)y=f( (x)在點x處也有導數(shù)，且 或fx( (x)=f(u) (x).證明：（教師參考不需要給學生講）設(shè)x有增量x，則對應(yīng)的u，y分別有增量u，y，因為u=(x)在點x可導，所以u= (x)在點x

11、處連續(xù).因此當x0時，u0.當u0時，由. 且.即 (當u0時，也成立)5.復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)對自變量的導數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)，乘以中間變量對自變量的導數(shù).6.復合函數(shù)求導的基本步驟是：分解求導相乘回代. 注意： 間變量的選擇應(yīng)是基本初等函數(shù)結(jié)構(gòu) 鍵是正確分清函數(shù)的復合層次 般是從最外層開始，由外及里，一層一層地求導 善于把一部分表達式作為一個整體最后要把中間變量換成自變量的函數(shù)（即代回）三、講解范例 例1 試說明下列函數(shù)是怎樣復合而成的？（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）函數(shù)由函數(shù)和復合而成；（2）函數(shù)由函數(shù)和復合而成；（3）函數(shù)由函數(shù)和復合而成；（4）函數(shù)由函

12、數(shù)、和復合而成.說明：討論復合函數(shù)的構(gòu)成時，“內(nèi)層”、“外層”函數(shù)一般應(yīng)是基本初等函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等.例2 寫出由下列函數(shù)復合而成的函數(shù)：（1），；（2），.解：（1）； （2）.例3 求的導數(shù)解： 設(shè)，則 .注意：在利用復合函數(shù)的求導法則求導數(shù)后，要把中間變量換成自變量的函數(shù).有時復合函數(shù)可以由幾個基本初等函數(shù)組成，所以在求復合函數(shù)的導數(shù)時，先要弄清復合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的，特別要注意將哪一部分看作一個整體，然后按照復合次序從外向內(nèi)逐層求導.例4 求f(x)=sinx2的導數(shù).解：令y=f(x)=sinu; u=x2=(sinu)u(x2

13、)x=cosu2x=cosx22x=2xcosx2f(x)=2xcosx2例5 求y=sin2(2x+)的導數(shù).分析: 設(shè)u=sin(2x+)時，求ux，但此時u仍是復合函數(shù)，所以可再設(shè)v=2x+.解：令y=u2，u=sin(2x+)，再令u=sinv，v=2x+=yu(uvvx)yx=yuuvvx=(u2)u(sinv)v(2x+)x=2ucosv2=2sin(2x+)cos(2x+)2=4sin(2x+)cos(2x+)=2sin(4x+)即yx=2sin(4x+)例6 求函數(shù)y=(2x23)的導數(shù).分析: y可看成兩個函數(shù)的乘積，2x23可求導，是復合函數(shù)，可以先算出對x的導數(shù).解：令y

14、=uv，u=2x23，v=, 令v=，=1+x2 = (1+x2)x=yx=(uv)x=uxv+uvx=(2x23)x+(2x23)=4x即yx= 四、課堂練習 1求下列函數(shù)的導數(shù)(先設(shè)中間變量，再求導).(1)y=(5x3)4 (2)y=(2+3x)5 (3)y=(2x2)3 (4)y=(2x3+x)22.求下列函數(shù)的導數(shù)(先設(shè)中間變量，再求導)(nN*)(1)y=sinnx (2)y=cosnx (3)y=tannx (4)y=cotnx解：(1)令y=sinu，u=nx=(sinu)u(nx)x=cosun=ncosnx(2)令y=cosu，u=nx=(cosu)u(nx)x=sinun

15、=nsinnx(3)令y=tanu，u=nx=(tanu)u(nx)x=()un=n=nsec2nx(4)令y=cotu，u=nx=(cotu)u(nx)x=()un=n=n=ncsc2nx.五、課堂小結(jié) 這節(jié)課你學到了什么?把它寫下來?。?）明確了什么是復合函數(shù)（2）學會了分解復合函數(shù)（3）復合函數(shù)的求導法則：（4）開闊思路，恰當選用求導數(shù)方法（5）計算要認真，要學會循序漸進。（6）復合函數(shù)的求導，要注意分析復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，引入中間變量，將復合函數(shù)分解成為較簡單的函數(shù)，然后再用復合函數(shù)的求導法則求導；（7）復合函數(shù)求導的基本步驟是：分解求導相乘回代.六、課后作業(yè)1. 課本第18頁習題1.1A組:4、62. 求的導數(shù).解：令y=，u=ax2+bx+c=()u(ax2+bx+c)x=(2ax+b)=(ax2+bx+c)(2ax+b)=即yx=3. 求y=sin2的導數(shù).解：令y=u2，u=sin，再令u=sinv，v=vx=(u2)u(sinv)v()x