點估計的優(yōu)良性2.ppt

1、點估計的評價標準,對于同一個未知參數(shù),不同的方法得到的估計量可能不同,于是提出問題,(1) 無偏性,(3) 相合性（一致性）,(2) 有效性,若,定義,我們不可能要求每一次由樣本得到的,估計值與真值都相等，但可以要求這些估,計值的期望與真值相等.,是總體X 的樣本,證明: 不論 X 服從什么分布(但期望存在),證,因而,由于,則,特別地,是總體期望 E( X ) 的,樣本均值,無偏估計量,例2 設總體 X 的期望 與方差存在, X 的,樣本為 (n 1) .,(1) 不是 D( X )的無偏估量;,(2) 是 D( X ) 的無偏估計量.,證,前已證,證明,因而,故 證畢.,XB(n , p)

2、 n 1 , 求 p 2 的無偏估計量.,解 由于樣本矩是總體矩的無偏估計量以及數(shù)學期望的線性性質(zhì), 只要將未知參數(shù)表示成總體矩的線性函數(shù), 然后用樣本矩作為總體矩的估計量, 這樣得到的未知參數(shù)的估計量即為無偏估計量.,令,因此, p 2 的無偏估計量為,故,例4 設總體 X 的密度函數(shù)為,為常數(shù),為 X 的一個樣本,證,故,是 的無偏估計量.,令,即,故 n Z 是 的無偏估計量.,都是總體參數(shù) 的無偏估計量, 且,則稱 比 更有效.,是 的無偏估計量,問哪個估計量更有效？,由例4可知, 與 都,為常數(shù),例5 設總體 X 的密度函數(shù)為,解 ，,例6 設總體 X，且 E( X )= , D(

3、X )= 2,為總體 X 的一個樣本,證 (1),(1) 設常數(shù),(2),而,例如 X N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一樣本.,都是 的無偏估計量,定義 設 是總體參數(shù),的估計量. 若對于任意的 , 當n 時,依概率收斂于 , 即,一致性估計量僅在樣本容量 n 足夠大時,才顯示其優(yōu)越性.,關(guān)于一致性的兩個常用結(jié)論,1. 樣本 k 階矩是總體 k 階矩的一致性估計量.,是 的一致估計量.,矩法得到的估計量一般為一致估計量,在一定條件下, 極大似然估計具有一致性,2. 設 是 的無偏估計 量, 且 , 則,例8,為常數(shù),則 是 的無偏、有效、一致估計量.,證 由例7 知 是 的

4、無偏、有效估計量.,所以 是 的一致估計量, 證畢.,第十四周 問 題,母親嗜酒是否影響下一代的健康,美國的Jones醫(yī)生于1974年觀察了母親在妊娠時曾患慢性酒精中毒的6名七歲兒童（稱為甲組）.以母親的年齡，文化程度及婚姻狀況與前6名兒童的母親相同或相近，但不飲酒的46名七歲兒童為對照租(稱為乙組). 測定兩組兒童的智商，結(jié)果如下：,每周一題14,由此結(jié)果推斷母親嗜酒是否影響下一 代的智力？若有影響，推斷其影響程度有 多大?,提示,前一問題屬假設檢驗問題 后一問題屬區(qū)間估計問題,智商一般受諸多因素的影響.從而可以,本問題實際是檢驗甲組總體的均值是 否比乙組總體的均值偏小?,若是，這個差異范圍

5、有多大? 前一問 題屬假設檢驗，后一問題屬區(qū)間估計.,解,假定兩組兒童的智商服從正態(tài)分布.,由于兩個總體的方差未知，而甲組 的樣本容量較小，因此采用大樣本下兩 總體均值比較的U檢驗法似乎不妥. 故,當 為真時，統(tǒng)計量,采用方差相等 (但未知) 時，兩正態(tài)總體 均值比較的t檢驗法對第一個問題作出 回答.,為此 , 利用樣本先檢驗兩總體方差 是否相等，即檢驗假設,拒絕域為,未落在拒絕域內(nèi)，故接受 . 即可認為,兩總體方差相等. 下面用 t 檢驗法檢,驗 是否比 顯著偏??？ 即檢驗假設,當 為真時，檢驗統(tǒng)計量,其中,嗜酒會對兒童智力發(fā)育產(chǎn)生不良影響.,落在拒絕域內(nèi)，故拒絕 . 即認為母親,下面繼續(xù)考

6、察這種不良影響的程度. 為此要對兩總體均值差進行區(qū)間估計.,取,于是置信度為 99% 的置信區(qū)間為,由此可斷言：在99%的置信度下，嗜酒,母親所生孩子在七歲時的智商比不飲酒,的母親所生孩子在七歲時的智商平均要,低 2.09 到 39.91.,故限制顯著性水平的原則體現(xiàn)了“保護零假設”的原則.,注,大家是否注意到，在解決問題時， 兩次假設檢驗所取的顯著性水平不同.,前者遠,在檢驗方差相等時，取 ; 在,檢驗均值是否相等時取 .,比后者大. 為何這樣取呢?因為檢驗的結(jié)果與檢驗的顯著性水平 有關(guān).,小，則拒絕域也會小，產(chǎn)生的后果使零假設難以被拒絕.,在 較大時,若能接受 , 說明 為真的依據(jù)很充足; 同樣，在 很小時， 我們?nèi)匀痪芙^ . 說明 不真的理由就 更充足.,說明在所給數(shù)據(jù)下，得出相應的,本例中, 對 , 仍得出,可被接受,及對 ,可被拒絕,的結(jié)論.,結(jié)論有很充足的理由.,另外在區(qū)間估計中，取較小的置信,若反之 , 取較大的置信水平，則可,水平 (即較大的置信度), 從而使,得區(qū)