概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 編寫人：授課時間課時數(shù)授課方式理論課授課單元第三章：多維隨機變量及其分布要求與目的通過教學使學生了解二維隨機變量的概念、分布律及其表示、分布函數(shù)、邊緣分布，條件分布、獨立性。掌握二維隨機變量函數(shù)的分布。重點與難點(1) 重點是二維隨機變量的概念、分布律及其表示、分布函數(shù)、邊緣分布，條件分布、獨立性(2) 難點是二維隨機變量函數(shù)的分布主要內容一、基本概念聯(lián)合分布函數(shù)，聯(lián)合分布函數(shù)的性質、邊緣分布函數(shù)二、離散型二維隨機變量離散型二維隨機變量的分布律、分布函數(shù)、邊緣分布，條件分布、獨立性三、連續(xù)型二維隨機變量連續(xù)型二維隨機變量的分布律、分布函數(shù)、邊緣分布，條件分布、獨立性四、二

2、維隨機變量函數(shù)的分布1.離散型隨機變量函數(shù)的分布2.連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布教學方法講授式 講練結合參考資料概率論與數(shù)理統(tǒng)計余長安編，武漢大學出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計吳傳生編，高等教育出版社思考題 第三章：多維隨機變量及其分布一、基本概念1聯(lián)合分布函數(shù)設（）是二維離散型隨機變量，是任意實數(shù)，二維隨機變量（）的聯(lián)合分布函數(shù)。2.聯(lián)合分布函數(shù)的性質（1）單調性關于x(y)單調不減；（2）,；(3) 關于x(y)右連續(xù)；(4)3邊緣分布函數(shù)設（）是二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為，則，二維隨機變量（）的邊緣分布函數(shù)。二、離散型二維隨機變量1. 離散型二維隨機變量的分布律設是一個二維離散型隨機變量，它

3、們一切可能取的值為令 稱是二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布. 二維聯(lián)合分布的三個性質： 2. 離散型二維隨機變量的分布函數(shù) 3. 離散型二維隨機變量的邊緣分布設二維隨機變量（）的聯(lián)合概率分布=中對固定的關于求和而得到 4. 離散型二維隨機變量的條件對于固定的若，稱為在的條件下，隨機變量的條件概率. 同樣定義為在的條件下，隨機變量的條件概率. 條件概率符合概率的性質 5. 離散型二維隨機變量的獨立性設離散型隨機變量的聯(lián)合概率分布列與邊緣分布為：， 定理1：離散型隨機變量獨立的充分必要條件是對于任意的都有 例1 從1，2，3，4種任取一個記為，在從1種任取一個記為，(1)求二維隨機變量（）的聯(lián)合分布律

4、 XY123411/400021/81/80031/121/12/1/12041/161/161/161/16(2)求二維隨機變量（）的邊緣分布律。 (3)求的條件下，X的概率分布(4) 隨機變量獨立嗎？ 不獨立。例2 ，且，求隨機變量（）的聯(lián)合分布律及。X Y 0 101 0.3 0.2 0.1 0.40.50.5 0.4 0.6例3 已知X,Y獨立，完成下表： X Y 1 2 312 例4 已知（X,Y）的分布律為： X Y 0 112 0.4 a b 0.1已知獨立，求a,b三、連續(xù)型二維隨機變量1定義與性質如果聯(lián)是一個合分布函數(shù)，若存在函數(shù)，使對任意的，有 成立，則稱是一個連續(xù)型的聯(lián)合

5、分布函數(shù)，并且稱其中的是的聯(lián)合概率密度函數(shù)或簡稱為密度.如果二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)是連續(xù)型分布函數(shù)，就稱是二維的連續(xù)型隨機變量.密度函數(shù)的性質：由分布函數(shù)的性質可知，任一二元密度函數(shù)必具有下述性質：反過來，任意一個具有上述兩個性質的二元函數(shù)，必定可以作為某個二維隨機變量的密度函數(shù).此外，密度函數(shù)還具有性質：（3）若在點連續(xù)，是相應的分布函數(shù)，則有 （4）若是平面上的某一區(qū)域，則 2連續(xù)型隨機變量的邊緣分布若（）聯(lián)合分布函數(shù)已知，那么，它的兩個分量X與Y的分布函數(shù)稱為邊際分布函數(shù)可由聯(lián)合分布函數(shù)求得，概率密度 3. 連續(xù)型隨機變量條件分布 若（）概率密度為，邊緣概率密度，稱 為在的條件下，隨

6、機變量的條件概率密度.類似地，稱 為在的條件下，隨機變量的條件概率密度.設隨機變量的聯(lián)合分布為，如果對任意的都 則稱是獨立的4.隨機變量的獨立性設隨機變量的聯(lián)合分布為，如果對任意的都 則稱是獨立的定理2：如果是二維連續(xù)型隨機變量，則X與也都是連續(xù)型隨機變量，它們的Y密度函數(shù)分別為，這時容易驗證X與Y獨立的充要條件為： 幾乎處處成立。說明：(1)或點點成立，則X與Y獨立。 (2)X與Y獨立,則點點成立不一定點點成立。 (3)在個別點，則X與Y可能還獨立；在一點，則X與Y一定不獨立。例1：已知隨機變兩（X,Y）的概率密度為(1)求A (2)求分布函數(shù) 當時， 其他， （3）求 (4) 求邊緣概率密

7、度 (5) 求條件概率密度 當時，不存在； 當時，(6) 求 (7)獨立嗎？點點成立，則X與Y獨立。例2：已知隨機變量（X,Y）時區(qū)域D上的分布，D由圍成，問X,Y是否獨立？解： 同理： 所以X,Y不否獨立。例3：甲乙兩人到達同一地點的時間X,Y服從7,8上的均勻分布，X,Y獨立，求X，Y的差不超過小時的概率。 X,Y獨立例4若二維連續(xù)隨機變量的聯(lián)合概率密度為 （ ）則稱服從二維正態(tài)分布，記作 。說明：（1）二維正態(tài)分布的邊緣分布是一維正態(tài)分布，； （2）二維隨機變量的邊緣分布都是是一維正態(tài)分布，則不一定服從二維正態(tài)分布；（3）是相關系數(shù)，獨立的充分必要條件是； （4），且獨立，則 四、二維隨

8、機變量函數(shù)的分布1.離散型隨機變量函數(shù)的分布例1已知二維隨機變量的分布為X Y121 1/41/621/31/4求：(1) (2) (3) 解：(1) (2) (3) 2.連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布已知（）聯(lián)合概率密度，求的概率密度。這類問題主要通過分布函數(shù)法求解。具體過程如下：(1)劃出的區(qū)域D；(2)作等值線(3)平行移動等值線，尋找等值線與D相交的關鍵點。(4)當時，=0,當時，=1,當時 (5) 例2設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為 求： 的概率密度解：令，當時，；當時， =; 3) 當時，即分布函數(shù)為： 故所求的概率密度為：例3X,Y獨立且都服從0,1上的均勻分布，求的概率密度。 解： X,Y獨立，所以當時，；當時，；當時， =;當時， 例4練習冊 10