用MATLAB實現(xiàn)共軛梯度法求解實例

1、用MATLAB實現(xiàn)共軛梯度法求解實例康福 11 無約束優(yōu)化方法1.1 無約束優(yōu)化方法的必要性一般機械優(yōu)化設計問題，都是在一定的限制條件下追求某一指標為最小，它們都屬于約束優(yōu)化問題。但是為什么要研究無約束優(yōu)化問題? （1）有些實際問題，其數(shù)學模型本身就是一個無約束優(yōu)化問題。 （2）通過熟悉它的解法可以為研究約束優(yōu)化問題打下良好的基礎。 （3）約束優(yōu)化問題的求解可以通過一系列無約束優(yōu)化方法來達到。所以無約束優(yōu)化問題的解法是優(yōu)化設計方法的基本組成部分，也是優(yōu)化方法的基礎。（4）對于多維無約束問題來說，古典極值理論中令一階導數(shù)為零，但要求二階可微，且要判斷海賽矩陣為正定才能求得極小點，這種方法有理論意

2、義，但無實用價值。和一維問題一樣，若多元函數(shù)F(X)不可微，亦無法求解。但古典極值理論是無約束優(yōu)化方法發(fā)展的基礎。 1.2共軛梯度法目前已研究出很多種無約束優(yōu)化方法，它們的主要不同點在于構造搜索方向上的差別。 （1）間接法要使用導數(shù)，如梯度法、（阻尼）牛頓法、變尺度法、共軛梯度法等。（2）直接法不使用導數(shù)信息，如坐標輪換法、鮑威爾法單純形法等。用直接法尋找極小點時，不必求函數(shù)的導數(shù)，只要計算目標函數(shù)值。這類方法較適用于解決變量個數(shù)較少的（n 20）問題，一般情況下比間接法效率低。間接法除要計算目標函數(shù)值外，還要計算目標函數(shù)的梯度，有的還要計算其海賽矩陣。 搜索方向的構成問題乃是無約束優(yōu)化方法的

3、關鍵。共軛梯度法是沿著共軛方向進行搜索，屬于共軛方向法中的一種，該方法中每一個共軛向量都是依賴于迭代點處的負梯度而構造出來。共軛梯度法作為一種實用的迭代法，它主要有下面的優(yōu)點：（1）算法中，系數(shù)矩陣的作用僅僅是用來由已知向量P產(chǎn)生向量W=AP，這不僅可充分利用的稀疏性，而且對某些提供矩陣較為困難而由已知向量P產(chǎn)生向量W=AP又十分方便的應用問題是很有益的。（2）不需要預先估計任何參數(shù)就可以計算，這一點不像SOR等；（3）每次迭代所需的計算，主要是向量之間的運算，便于并行化。共軛梯度法原理的知識較多，請詳見機械優(yōu)化設計第四章的第四、五節(jié)。圖1為共軛梯度法的程度框圖圖1為共軛梯度法的程度框圖2 設

4、計題目及要求2.1設計題目用共軛梯度法求二次函數(shù) 的極小點及極小值。2.2設計要求（1） 使用matlab編寫程序，熟練撐握matlab編程方法。（2） 學習并撐握共軛梯度法的原理、方法及應用，并了解不同無約束優(yōu)化方法的區(qū)別、優(yōu)缺點及特殊要求。（3） 編寫程序，計算出二次函數(shù)的極小點及極小值，并適當選取不同的初始點及迭代精度精度，分析比較結果。三計算步驟3.1計算求解解：已知初始點1,1T 迭代精度 1）第一次沿負梯度方向搜尋計算初始點處的梯度：為一維搜索最佳步長，應滿足得： 2）第二次迭代 代入目標函數(shù)由 得從而有：因收斂。3.2運行與程序運行：打開matlab,確定conjugate_gr

5、ad_2d.m文件夾為當前目錄。 在命令窗中輸入：f=conjugate_grad_2d(1,1,0.001) 選擇不同的初始點坐標0,0,0,1,1,0,和迭代精度0.01，0.0001,進行運行時，需要多次調用conjugate_grad_2d函數(shù)。程序及說明：function f=conjugate_grad_2d(x0,t)%用共軛梯度法求已知函數(shù)f(x1,x2)=x12+2*x22-4*x1-2*x1*x2的極值點%已知初始點坐標：x0%已知收斂精度：t%求得已知函數(shù)的極值：fx=x0;syms xi yi a; %定義自變量，步長為符號變量f=xi2+2*yi2-4*xi-2*xi

6、*yi; %創(chuàng)建符號表達式ffx=diff(f,xi); %求表達式f對xi的一階求導fy=diff(f,yi); %求表達式f對yi的一階求導fx=subs(fx,xi,yi,x0); %代入初始點坐標計算對xi的一階求導實值fy=subs(fy,xi,yi,x0); %代入初始點坐標計算對yi的一階求導實值fi=fx,fy; %初始點梯度向量count=0; %搜索次數(shù)初始為0while double(sqrt(fx2+fy2)t %搜索精度不滿足已知條件 s=-fi; %第一次搜索的方向為負梯度方向 if countToo many input arguments。查閱了些書籍，上網(wǎng)求助，最后查明原因是自定義的M文件名稱與Matlab內部函數(shù)名相似，導致無法運行。浪費了大量的時間與精力，慶幸的是，經(jīng)過自己的努力，糾正錯誤，按時完成了作業(yè)。研究生培養(yǎng)過程中