【高中數(shù)學(xué)課件】歐拉公式.ppt

1、歐拉公式,新授課,問題1：數(shù)出下列四個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E并填表,規(guī)律：,V+F-E=2,4,6,4,8,6,12,6,8,12,9,8,15,（歐拉公式）,簡(jiǎn)單多面體：,表面經(jīng)過連續(xù)變形能變成一個(gè)球面的多面體。,觀察下列幾何體是否滿足歐拉公式：,問題2：如何證明歐拉公式,問題2：如何證明歐拉公式,思考1：多面體的面數(shù)是F，頂點(diǎn)數(shù)是V，棱數(shù)是E，則平面圖形中的多邊形個(gè)數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)分別為,思考2：設(shè)多面體的F個(gè)面分別是n1,n2, nF邊形，各個(gè)面的內(nèi)角總和是多少？,(n1-2) 1800+ (n2-2) 1800+ (nF-2) 1800=(n1+n2+nF-2F） 1800,

2、思考3： n1+n2+nF和多面體的棱數(shù)E有什么關(guān)系,n1+n2+nF=2E,多邊形內(nèi)角和=（E-F）3600,問題2：如何證明歐拉公式,思考4：設(shè)平面圖形中最大多邊形（即多邊形ABCDE）是m邊形，則它和它內(nèi)部的全體多邊形的內(nèi)角總和是多少？,2（m-2) 1800+(V-m) 3600=(V-2) 3600,（E-F）3600= (V-2) 3600,即V+F-E=2,問題3:歐拉公式的應(yīng)用,1、1996年的諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)授予對(duì)發(fā)現(xiàn)C60有重大貢獻(xiàn)的三位科學(xué)家。C60是有60 個(gè)C原子組成的分子，它結(jié)構(gòu)為簡(jiǎn)單多面體形狀。這個(gè)多面體有60個(gè)頂點(diǎn)，從每個(gè)頂點(diǎn)都引出3條棱，各面的形狀分別為五邊星或六邊形兩種。計(jì)算C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有多少？,例2、有沒有棱數(shù)是7 的簡(jiǎn)單多面體？,解：假設(shè)有一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的棱數(shù)E=7。,根據(jù)歐拉公式得 V+F=E+2=9,因?yàn)槎嗝骟w的頂點(diǎn)數(shù)V4，面數(shù)F4，所以只有兩種情形：,V=4，F(xiàn)=5或V=5，F(xiàn)=4。,但是，有4 個(gè)頂點(diǎn)的多面體只有4個(gè)面，而四面體也只有四個(gè)頂點(diǎn)。所以假設(shè)不成立，沒有棱數(shù)是7 的簡(jiǎn)單多面體,例3、簡(jiǎn)單多面體的每個(gè)面都是五邊形，且每個(gè)頂點(diǎn)的一端都有三條棱，求這個(gè)多面體的面數(shù)和棱數(shù)。,例4、足球可以看成由12個(gè)五邊形和20個(gè)六邊形相間圍成