最新版：三角形“四心”的向量表示ppt課件

1、三角形“四心”的向量表示,經(jīng)典原創(chuàng) 最新修改版 曾維勇,1,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三邊的中垂線交于一點，這一點為三角形外接圓的圓心，稱外心。,證明外心定理,證明: 設(shè)AB、BC的中垂線交于點O， 則有OA=OB=OC， 故O也在AC的中垂線上， 因為O到三頂點的距離相等， 故點O是ABC外接圓的圓心 因而稱為外心,O,O,2,點評：本題將平面向量模的定義與三角形外心 的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。,O是,的外心,B,3,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三邊上的高交于一點，這一點叫三角形的垂心。,D,E,F,證明:

2、AD、BE、CF為ABC三條高， 過點A、B、C分別作對邊的平行線 相交成ABC，AD為BC 的中垂線；同理BE、CF也分別為 AC、AB的中垂線， 由外心定理，它們交于一點， 命題得證,證明垂心定理,A,B,C,4,例1如圖，AD、BE、CF是ABC的三條高， 求證：AD、BE、CF相交于一點。,又點D在AH的延長線上，AD、BE、CF相交于一點,證：設(shè)BE、CF交于一點H，,5,證：設(shè),化簡：,同理：,從而,6,是ABC的邊BC的高AD 上的任意向量，過垂心.,7,例3 O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點， 動點 P 滿足,則P的軌跡一定通過ABC的 _,在ABC的邊BC的

3、高AD上.,P的軌跡一定通過ABC的垂心.,所以，,時，,解:,8,解:,例4.（2005全國）點O是ABC所在平面上一點， 若 ， 則點O是ABC的（ ） （A）三個內(nèi)角的角平分線的交點 （B）三條邊的垂直平分線的交點 （C）三條中線的交點 （D）三條高線的交點,則O在CA邊的高線上,同理可得O在CB邊的高線上.,D,9,5. (2005湖南) P是ABC所在平面上一點，若 則P是ABC的（ ） A外心B內(nèi)心C重心D垂心,D,解:,故P是ABC的垂心.,10,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三邊中線交于一點，這一點叫三角形的重心。,證明重心定理,E,F,D,G,11,是BC邊上的中

4、線AD上的任意向量，過重心.,5.,12,證明:,連結(jié)OE，則OD=DE， BD=DC，,作平行四邊形OBEC.,D是BC的中點， AD為BC邊上的中線.,故O為ABC的重心.,已知O為ABC內(nèi)的一點，且,求證：O為ABC的重心.,E,D,O,OE與OA共線.,13,例1 P是ABC所在平面內(nèi)任一點.G是ABC的重心,思考： 若O為ABC外心，G是ABC的重心，則,O為ABC的內(nèi)心、垂心呢？,14,例2證明：三角形重心與頂點的距離等于它到對邊中點距離的兩倍,證明:,想想看？,15,B,16,2009年海南、寧夏理數(shù)卷的第9題:,例4.,C,17,A,Q,也可特取正三角形！,18,B,19,A,

5、B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,A,B,C,三角形三內(nèi)角平分線交于一點，這一點為三角形內(nèi)切圓的圓心，稱內(nèi)心。,證明內(nèi)心定理,證明 : 設(shè)A、B的平分線相交于I, 過I作IDBC，IEAC， IFAB，則有IE=IF=ID 因此I也在C的平分線上， 即三角形三內(nèi)角平分線 交于一點,I,I,E,F,D,H,內(nèi)角平分線定理：,20,1.設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長，O是三角形ABC內(nèi)心的 充要條件是,21,2003天津理科高考題,B,是BAC的角平分線上的任意向量，過內(nèi)心；,2. O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點， 動點P滿足 則P的軌跡一定通過ABC的（ ） A外心

6、 B內(nèi)心 C重心 D垂心,22,2. O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點， 動點P滿足 則P的軌跡一定通過ABC的（ ） A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心,A,C,B,M,N,F,P,1,1,菱形AMFN,P,P,B,23,傳統(tǒng)解法：,例3.（2005全國I）ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，且 ，則實數(shù)m= .,1,也可特取直角三角形!,24,例3.（2005全國卷理科）第15題 ABC的外接圓圓心為O，兩條邊上的高的交 點為H， 則實數(shù)m = ,O,(H),1,分析：如果用一般的三角形解決本題較難，不妨設(shè)ABC是 以C為直角的直角三角形，則O為斜邊AB上的中點

7、， H與C重合， 于是得出m1.,點評：這種通過特殊值確定一般性結(jié)果的思路還有很多， 如歸納、猜想、證明的方法，過定點問題，定值 問題也可以用這樣的思路。,25,例3.（2005全國卷理科）第15題 ABC的外接圓圓心為O，兩條邊上的高的交點 為H， 則實數(shù)m = ,也可特取正三角形來思考!,1或mR,26,參考：若O、H分別是ABC的外心和垂心.,求證,證明 ： 若ABC的垂心為H，外心為O，如圖. 連BO并延長交外接圓于D，連結(jié)AD，CD. ,又垂心為H，,AHCD，CHAD， 四邊形AHCD為平行四邊形， ,故,想想看？,27,4.（2006陜西）已知非零向量 與 滿足 則ABC為（ ） A三邊均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等邊三角形 D等邊三角形,解法一：根據(jù)四個選擇項的特點，本題可采用驗證法來處理. 不妨先驗證等邊三角形，剛好適合題意，則可同時 排除其他三個選擇項，故答案必選 D.,