高考圓錐曲線經(jīng)典真題

1、高考圓錐曲線經(jīng)典真題知識(shí)整合： 直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問題、最值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計(jì)算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能.1.（江西卷15）過拋物線的焦點(diǎn)作傾角為的直線，與拋物線分別交于、兩點(diǎn)（在軸左側(cè)），則 2 (2008年安徽卷)若過點(diǎn)A(4,0)的直線與曲線有公共點(diǎn),則直線的斜率的取值范圍為 ( )A. B. C. D. 3(2008年海南-寧夏卷)設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F平行雙

2、曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B,則三角形AFB的面積為_.熱點(diǎn)考點(diǎn)探究：考點(diǎn)一：直線與曲線交點(diǎn)問題例1.已知雙曲線C：2x2y2=2與點(diǎn)P(1，2)(1)求過P(1，2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒有交點(diǎn).解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1,與曲線C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (*)()當(dāng)2k2=0,即k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)()當(dāng)2k20,即k時(shí)=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)當(dāng)

3、=0,即32k=0,k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)實(shí)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0,即k,又k,故當(dāng)k或k或k時(shí)，方程(*)有兩不等實(shí)根，l與C有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0，即k時(shí)，方程(*)無解，l與C無交點(diǎn).綜上知：當(dāng)k=,或k=，或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k,或k,或k時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l與C沒有交點(diǎn).(2)假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y1即kAB=2但漸近線斜率為,結(jié)合圖形知直線AB與

4、C無交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn)的弦不存在.(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在.考點(diǎn)二：圓錐曲線中的最值問題對(duì)于圓錐曲線問題上一些動(dòng)點(diǎn)，在變化過程中會(huì)引入一些相互聯(lián)系、相互制約的變量，從而使變量與其中的參變量之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，此時(shí)，用函數(shù)思想與函數(shù)方法處理起來十分方便。例2 直線：和雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，直線過P（）和AB線段的中點(diǎn)M，求在軸上的截距的取值范圍。解：由消去得，由題意，有：設(shè)M（），則由P（）、M（）、Q（）三點(diǎn)共線，可求得設(shè)，則在上為減函數(shù)。所以，且所以 所以或考點(diǎn)三：弦長(zhǎng)問題涉及弦長(zhǎng)問題，應(yīng)熟練地利用韋達(dá)定理設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)，涉及垂直關(guān)系往往也是利

5、用韋達(dá)定理，設(shè)而不求簡(jiǎn)化運(yùn)算.例3.如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求AMN面積最大時(shí)直線l的方程，并求AMN的最大面積.解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,5m0.由方程組,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，方程的判別式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范圍為(5，0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4.點(diǎn)A到直線l的距離為d=.S=2(5+m),從而S2=4(1m)

6、(5+m)2=2(22m)(5+m)(5+m)2()3=128.S8,當(dāng)且僅當(dāng)22m=5+m,即m=1時(shí)取等號(hào).故直線l的方程為y=x1，AMN的最大面積為8.考點(diǎn)4：圓錐曲線關(guān)于直線對(duì)稱問題例4. 已知橢圓的中心在圓點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)是F(2,0),且兩條準(zhǔn)線間的距離為,(I)求橢圓的方程;(II)若存在過點(diǎn)A(1,0)的直線,使點(diǎn)F關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上,求的取值范圍.【解析】(I)設(shè)橢圓的方程為由條件知,故橢圓的方程是(II)依題意,直線的斜率存在且不為0,記為,則直線的方程是,設(shè)點(diǎn)F(2,0)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,則因?yàn)樵跈E圓上,所以即故,則因?yàn)橛谑?當(dāng)且僅當(dāng)(*)上述方程存在正實(shí)根,即直線

7、存在.解(*)得即的取值范圍是規(guī)律總結(jié)1. 判定直線與圓錐曲線位置關(guān)系時(shí),應(yīng)將直線方程與圓錐曲線C的方程聯(lián)立,消去(也可消去)得一個(gè)關(guān)于變量的一元方程當(dāng)時(shí),若有,則與C相交;若,則與C相切;若,則與C相離. 當(dāng)時(shí),得到一個(gè)一元一次方程,若方程有解,則有直線與C相交,此時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn);若C為雙曲線,則平行于雙曲線的漸近線;若C為拋物線,則平行于拋物線的軸.所以只有當(dāng)直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直線與雙曲線、拋物線可能相切,也可能相交.2. “設(shè)而不求”的方法若直線與圓錐曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A和B時(shí),一般地,首先設(shè)出交點(diǎn)A()、B(),它們是過渡性參數(shù),不須求出,有時(shí)運(yùn)用韋達(dá)定理解決問題,

8、有時(shí)利用點(diǎn)在曲線上代入曲線方程整體運(yùn)算求解.3. 韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式斜率為的直線被圓錐曲線截得弦AB,若A(),B()則 ,然后再結(jié)合韋達(dá)定理可求出弦長(zhǎng)等.專題能力訓(xùn)練：一、選擇題1.斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為( )A.2B. C.D. 2.拋物線y=ax2與直線y=kx+b(k0)交于A、B兩點(diǎn)，且此兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3,則恒有( )A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=01.解析：弦長(zhǎng)|AB|=.答案：C2.解析：解方程組,得ax2kxb

9、=0,可知x1+x2=,x1x2=,x3=,代入驗(yàn)證即可.答案：B3.斜率為2的直線過雙曲線的右焦點(diǎn),且與雙曲線的左、右兩支分別相交,則雙曲線的離心率的取值范圍是 ( D )A. B. C. D. 4.過點(diǎn)A(4,0)的直線與拋物線交于另外兩點(diǎn)B、C,O是坐標(biāo)原點(diǎn),則三角形BOC是 ( C )A.銳角三角形B.鈍角三角形C. 直角三角形D.形狀不確定二、填空題5.已知兩點(diǎn)M(1，)、N(4，)，給出下列曲線方程：4x+2y1=0,x2+y2=3,+y2=1,y2=1,在曲線上存在點(diǎn)P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是_.解析：點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線上，判斷MN的垂直平分線于所給曲線是否

10、存在交點(diǎn).答案：6.正方形ABCD的邊AB在直線y=x+4上，C、D兩點(diǎn)在拋物線y2=x上，則正方形ABCD的面積為_.7.在拋物線y2=16x內(nèi)，通過點(diǎn)(2，1)且在此點(diǎn)被平分的弦所在直線的方程是_.6解析：設(shè)C、D所在直線方程為y=x+b,代入y2=x,利用弦長(zhǎng)公式可求出|CD|的長(zhǎng)，利用|CD|的長(zhǎng)等于兩平行直線y=x+4與y=x+b間的距離，求出b的值，再代入求出|CD|的長(zhǎng).答案：18或507.解析：設(shè)所求直線與y2=16x相交于點(diǎn)A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得，(y1+y2）(y1y2)=16(x1x2)

11、.即kAB=8.故所求直線方程為y=8x15.答案：8xy15=0三、解答題8.已知拋物線y2=2px(p0),過動(dòng)點(diǎn)M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，且|AB|2p.(1)求a的取值范圍.(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求NAB面積的最大值.9.知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點(diǎn)P(6，6).(1)求雙曲線方程.(2)動(dòng)直線l經(jīng)過A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M、N，問：是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論.10.已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點(diǎn)，且都以點(diǎn)A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)

12、A1與A點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱.(1)求雙曲線C的方程.(2)設(shè)直線l過點(diǎn)A，斜率為k,當(dāng)0k1時(shí)，雙曲線C的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線l的距離為，試求k的值及此時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo).11. 已知過雙曲線方程(1)過M(1,1)的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn),若M為弦AB的中點(diǎn),求直線AB的方程;(2)是否存在直線,使為被雙曲線所截得弦的中點(diǎn),若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.8解：(1)設(shè)直線l的方程為：y=xa,代入拋物線方程得(xa)2=2px,即x22(a+p)x+a2=0|AB|=2p.4ap+2p2p2,即4app2又p0,a.(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點(diǎn)

13、C(x,y),由(1)知，y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p,則有x=p.線段AB的垂直平分線的方程為yp=(xap),從而N點(diǎn)坐標(biāo)為(a+2p,0）點(diǎn)N到AB的距離為從而SNAB=當(dāng)a有最大值時(shí)，S有最大值為p2.9.解：(1)如圖，設(shè)雙曲線方程為=1.由已知得,解得a2=9,b2=12.所以所求雙曲線方程為=1.(2)P、A1、A2的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐標(biāo)為(2，2）假設(shè)存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2).則有，kl=l的方程為y= (x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0.=164280,所求直線l不存在.10.解：(1)設(shè)雙曲線的漸近線為y=kx,由d=1,解得k=1.即漸近線為y=x,又點(diǎn)A關(guān)于y=x對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，).a=b,所求雙曲線C的方程為x2y2=2.(2)設(shè)直線l：y=k(x)(0k1,依題意B點(diǎn)在平行的直線l上，且l與l間的距離為.設(shè)直線l：y=kx+m,應(yīng)有,化簡(jiǎn)得m2+2km=2.把l代入雙曲線方程得(k21)x2+2mkx+m22=0,由=4m2k24(k21)(m22)=0.可得m2+2k2=2、兩式相減得k=m,代入得m2=,