應(yīng)用問題(教師版)

1、應(yīng)用問題 (教師版 )熱點(diǎn)問題 9應(yīng)用問題一、填空題1某公司 300 名員工 2014 年年薪情況的頻率分布直方圖如圖所示，由圖可知，員工年薪在1.4 1.6 萬元的共有 _人答案72解析由頻率分布直方圖知年薪低于1 4 萬元或者高于1 6萬元的頻率為(0 20 80 81 0 1 0) 02 0.76，因此，年薪在1.4 到 1.6 萬元間的頻率為 1 0.76 0.24，所以 300 名員工中年薪在1.4 到 1.6 萬元間的員工人數(shù)為3000.24 722在某條件下的汽車測試中，駕駛員在一次加滿油后的連續(xù)行駛過程中從汽車儀表盤得到如下信息：注：油耗 =加滿油后已用油量，加滿油后已行駛距離

2、汽車剩余油量可繼續(xù)行駛距離=；當(dāng)前油耗平均油耗指定時間內(nèi)的用油量=指定時間內(nèi)行駛的距離從以上信息可以推斷在10:00-11:00 這一小時內(nèi)( 填上所有正確判斷的序號 )行駛了 80 千米；行駛不足 80 千米；平均油耗超過9.6 升 /100 千米；平均油耗恰為 9.6 升 /100 千米；平均車速超過80 千米 /小時答案解析實(shí)際用油為7.38 升設(shè) L 為 10:00 前已用油量， L為這一個小時內(nèi)的用油量，s 為 10:00 前已行駛距離，s為這一個L小時內(nèi)已行駛的距離s9.5,得 L+L=9 .6s+9.6s，即 9.5s+L=9.6s+9.6s， L=0.1s+9.6s，LL9.6

3、.ssL0.1s+9.69.6 所以正確，錯誤ss7.38這一小時內(nèi)行駛距離小于100=76.875( 千米 )，所以錯誤，正確9.6由知錯誤應(yīng)用問題 (教師版 )3某駕駛員喝了 1000mL某種酒后，血液中的酒精含量f ( x) (mg/mL) 隨時間 x(h) 變化的規(guī)律近似5x 2，x ，01滿足表達(dá)式f ( x) 31x酒后駕車與醉酒駕車的標(biāo)準(zhǔn)及相應(yīng)的處罰規(guī)定為駕駛員血53， x1.液中酒精含量不得超過0.02mg/mL，據(jù)此可知，此駕駛員至少要過_h 后才能開車 ( 精確到 1h)答案 4解析當(dāng) 0x1時，1 5x 2 1 ，此時不宜開車；255由 3x1 0.02 ，得 x4.53

4、4如圖， 一塊曲線部分是拋物線形的鋼板，其底邊長為2，高為 1，將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，記CD 2x，梯形面積為 S，則 S的最大值是 _答案3227解析建立坐標(biāo)系， B 點(diǎn)坐標(biāo)為 (1， 1) ，求出拋物線方程為 x2 y，得 D 點(diǎn)坐標(biāo) (x， x2)，等腰梯形的高為 1 x2，S 2x 22)， 0 x 1，求導(dǎo)可以得到1時 S 取最大值 322(1 xx 3275某公司一年購買某種貨物600 噸，每次都購買 x 噸，運(yùn)費(fèi)為 3 萬元 /次，一年中的總倉儲費(fèi)用為2x 萬元，若要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總倉儲費(fèi)用之和最小，則每次需購買噸答案30解析根據(jù)題意總費(fèi)用 y60032x 260060

5、032x ，3 2x 120 ，當(dāng)且僅當(dāng)xxx即 x30時等號成立 .6一個大型噴水池的中央有一個強(qiáng)力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn) A 測得水柱頂端的仰角為45，沿點(diǎn) A 向北偏東 30前進(jìn) 100 m 到達(dá)點(diǎn) B，在 B 點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為 30，則水柱的高度是 _答案50解析設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為 C，則在 ABC 中， A 60， AC h，AB 100，BC3h，根據(jù)余弦定理得，(3h) 2 h2 10022h100cos 60，即h2 50h 5000 0，即 (h 50)(h 100) 0，即h 50，故水柱的高度是50 m 7某企業(yè)

6、投入100 萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5 萬元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2 萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2 萬應(yīng)用問題 (教師版 )元為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為_答案10解析設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為x，設(shè)備年平均費(fèi)用為y，則 x 年后的設(shè)備維護(hù)費(fèi)用為24 2xx(x 1)，所以 x 年的平均費(fèi)用為y100 0.5xx(x1) x 100 1.5，xx由基本不等式得y x100 1.5 2100x100，即 x 10時取等號xx 15 21.5，當(dāng)且僅當(dāng)xx8將一個長寬分別是a， b(0 ba)的鐵皮的四

7、角切去相同的正方形，然后折成一個無蓋的長方體a的盒子，若這個長方體的外接球的體積存在最小值，則b的取值范圍是 _答案51，4解析設(shè)切去正方形的邊長為x，x 0，b，則該長方體外接球的半徑為12 (b 2x)22r 2 ( a 2x)4 x219x2 4(a b) x a2 b2 ，在 x0，b 存在最小值時，必有02(a b)b，解得 a5，又4292b4aa的取值范圍是5 0b1 ，故 b1， 4二、解答題9某汽車廠有一條價值為 a 萬元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高該生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值經(jīng)過市場調(diào)查，產(chǎn)品的增加值y 萬元與技術(shù)改造投入的x 萬元之間滿足： y 與 (a

8、x)和 x2 的乘積成正比；x 0， 2am，其中 m 是常數(shù)若xa時， y a32m 12(1) 求產(chǎn)品增加值 y 關(guān)于 x 的表達(dá)式；(2) 求產(chǎn)品增加值 y 的最大值及相應(yīng)的 x 的值解析(1)設(shè) y f ( x) k(a x)x2，因?yàn)楫?dāng) x a時， y a3，所以 k 8，22am所以 f ( x) 8(a x)x2 ，x 0， 2m 1 (2) 因?yàn)?f( x) 24x 2 16ax，令 f( x) 0，則 x 0(舍 )， x 2a32am2a2a2a 當(dāng)2m 1 3 ，即 m1時，當(dāng) x0， 3 時， f ( x) 0，所以 f ( x) 在0， 3上是增函數(shù)，2a2am2a2

9、am當(dāng) x3 ， 2m 1時， f(x) 0，所以 f (x) 在 3， 2m 1 上是減函數(shù)，所以 ymax f ( 2a) 32a3；327應(yīng)用問題 (教師版 )2am2a2am 當(dāng) 2m 1 3 ，即 0 m 1 時，當(dāng) x0，2m1 時， f(x) 0，所以 f ( x) 在 0， 2am1上是增函數(shù)，2m所以 ymax f (2am32m23a3)（ 2m 1）2m 1綜上，當(dāng) m 1 時，投入 2a萬元，最大增加值32a3；327當(dāng) 0 m 1 時，投入2am萬元，最大增加值32m23a3（ 2m 1）2m 110某工廠引入一條生產(chǎn)線，投入資金250 萬元，每生產(chǎn) x 千件，需另投

10、入成本w(x) ，當(dāng)年產(chǎn)量不足 80 千件時， w( x)=1x210x（萬元），當(dāng)年產(chǎn)量不小于80 千件時， w( x)=51 x+100001450（萬3x元），當(dāng)每件商品售價為500 元時，該廠產(chǎn)品全部售完(1) 試寫出年利潤 L ( x) （萬元）與年產(chǎn)量 x （千件）的函數(shù)關(guān)系式；(2) 年產(chǎn)量為多少千件時該廠的利潤最大解析 (1)當(dāng)每件商品售價為0.05 萬元時， x 千件銷售額0.05 1000x=50 x（萬元）當(dāng) 0 x 80 時， L ( x)50x( 1 x210x)2501 x240 x250 ；33當(dāng) x80時， L( x) 50x (51x+10000250 120

11、0 ( x10000x1450)x240x250,0x801 x故 L (x)3100001200( x), x 80x(2) 當(dāng) 0x 80 時， L( x)1240x250；3x當(dāng) x=60 時， L (x) 有最大值為 950；當(dāng) x80 時， L( x)1200 ( x10000) ；x當(dāng)且僅當(dāng) x10000，即 x=100 時，xL (x) 有最大值為1000；年產(chǎn)量為100 千件時該廠的利潤最大11如圖，攝影愛好者S 在某公園應(yīng)用問題 (教師版A 處，發(fā)現(xiàn)正前方B)處有一立柱，測得立柱頂端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均為 6設(shè)S 的眼睛距地面的距離為3 m(1) 求攝影者到立柱的

12、水平距離和立柱的高度；(2) 立柱的頂端有一長 2m 的彩桿 MN 繞其中點(diǎn) O 在 S 與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)攝影者有一視角范圍為的鏡頭，在彩桿轉(zhuǎn)動的任意時刻，攝影者是否都可以將彩桿全部 3攝入畫面？說明理由解析(1) 作 SC 垂直 OB 于 C，則 CSB 30， ASB 60又 SA 3，故在 Rt SAB 中，可求得BA 3，即攝影者到立柱的水平距離為3 m由 SC3， CSO 30，在 Rt SCO 中，可求得 OC 3因?yàn)?BC SA 3，故 OB 2 3，即立柱高為 2 3 m(2) 連結(jié) SM 、 SN，設(shè) SN a， SM b（2 3） 2 1 b2（2 3） 21 a2在

13、 SON 和 SOM 中，22 31，得 a2 b22622 312221111，當(dāng)且僅當(dāng)cosMSN a b 222ab 時取等號，2ababa2 b213又 11 1又 MSN (0， )， 則 MSN 1323故攝影者可以將彩桿全部攝入畫面應(yīng)用問題 (教師版 )12如圖， 花園一角兩小路l1 、l2垂直相交于A 直徑緊貼 l1 的半圓形水塘半徑為m，圓心為 O ，且 OA =40m現(xiàn)準(zhǔn)備鋪設(shè)一條鵝卵石直路MN (點(diǎn) M 、 N 分別在 l1 、l 2 上 )，與 l1 、l2 共同圍著水塘，且要求半圓上任意一點(diǎn)到直線MN 的距離不小于4 m若所有道路的寬度忽略不計，且度無限制，則如何選擇

14、M 、 N 時，可使鋪設(shè)的鵝卵石路最短？l1 、 l2 的長解析解法一作 OPMN 于 P ，為使鵝卵石路MN 最短，則 OP6410m設(shè)POM x, 0 x，則ANMx210AM4010(4cos x 1)又 OM1010， MNcosx， AM40sin x=cos xcos xsin xsin x cos x令 f ( x)4cos x 1x，sin x, 0cos x2則 f ( x)4cos3 x2cos 2 x1(12cos x)(2cos 2 x2cos x 1)(sin xcos x)2=(sin xcosx)2由 f ( x)0 得， x，且 2cos2 x2cos x1=2(cos x1) 210322故當(dāng) 0x時， f ( x)0， f ( x) 遞減；3當(dāng)x時， f (x)0 ， f ( x) 遞增；32所以 x=時， f ( x) 最小，即當(dāng)POM3，即 AM60m， AN20 3m 時，