.浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章知識(shí)點(diǎn)+注意點(diǎn)+經(jīng)典例題

1、八年級(jí)上冊(cè)第二章特殊三角形2.1圖形的軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形 1. 如果一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸毛2. 有的軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不止一條，如圓就有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸3. 折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)。軸對(duì)稱 有一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱也叫做軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。 軸對(duì)稱圖形

2、的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。 如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別線段的垂直平分線 （1）經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（2）線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過(guò)來(lái)，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上因此線段的垂直平分線可以看成與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合2.2 等腰三角形+2.3等腰三角形性質(zhì)定理+2.4等腰三角形判定定理等腰三角形1. 有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。 2. 在等腰三角形中，相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底

3、邊兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角等腰三角形的性質(zhì) 性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一）特別的：（1）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形. （2）等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對(duì)應(yīng)相等.等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”）特別的：（1）有一邊上的角平分線、中線、高線互相重合的三角形是等腰三角形（2）有兩邊上的角平分線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（3）有兩邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（4）有兩邊上的高線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等

4、腰三角形 等邊三角形 三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60等邊三角形的判定方法（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形2.5 逆命題和逆定理逆命題和逆定理命題：一般地，對(duì)某一件事情作出正確或不正確的判斷的句子叫做命題。 1. 命題一般由條件和結(jié)論組成，可以改為“如果”，“那么”的形式。 2. 正確的命題叫真命題，不正確的命題叫假命題。3. 基本事實(shí)：人們?cè)陂L(zhǎng)期反復(fù)實(shí)踐中證明是正確的，不需要再加證明的命題。4定理：用邏輯的方法判斷為

5、正確并作為推理的根據(jù)的真命題。注意：基本事實(shí)和定理一定是真命題?；ツ婷}：一般來(lái)說(shuō)，在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)就叫做它的逆命題?；ツ娑ɡ恚喝绻粋€(gè)定理的逆命題也是真命題，那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理。其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的互逆定理。注意：1.逆命題、互逆命題不一定是真命題，但逆定理、互逆定理一定是真命題。 2.所有的命題都有逆命題，但不是所有的定理都有逆定理。2.6 直角三角形直角三角形有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形。直角三角的性質(zhì) 1.直角三角形的兩個(gè)銳角

6、互余. 2. 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 3. 在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半. 直角三角的判定 1. 有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形 2. 有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形3. 補(bǔ)充：如果三角形中一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是一個(gè)直角三角形。2.7 勾股定理 勾股定理定理：一、 知識(shí)結(jié)構(gòu)直角三角形的性質(zhì):勾股定理 勾股定理 應(yīng)用:主要用于計(jì)算直角三角形的判別方法:若三角形的三邊滿足 則它是一個(gè)直角三角形.勾股定理的逆定理如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。1、 勾股定理的應(yīng)用 勾股定理反映了直角三角形三邊之間

7、的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用有：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊 （2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系。求直角三角形的另兩邊 （3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問(wèn)題2、 如何判定一個(gè)三角形是直角三角形（1） 先確定最大邊（如c）（2） 驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系（3） 若=，則ABC是以C為直角的直角三角形；若， 則ABC不是直角三角形。3、 勾股數(shù) 滿足=的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17； （5）7，24，25 （6）9, 40, 412.8 直角三角形全等的判定直角三角形的判定方法HL

8、兩Rt三角形一條斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)相等 則兩三角形全等角平分線的性質(zhì)定理的逆定理角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。補(bǔ)充知識(shí)：1、三角形中的中位線連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形。（2）要會(huì)區(qū)別三角形中線與中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半。結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成

9、四個(gè)全等的三角形。結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等。（3）攝影定理在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項(xiàng)，每條直角邊是它們?cè)谛边吷系臄z影和斜邊的比例中項(xiàng)ACB=90 CDAB （4）常用關(guān)系式由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC三、重點(diǎn)解讀1學(xué)習(xí)特殊三角形，應(yīng)重點(diǎn)分清性質(zhì)與判定的區(qū)別，兩者不能混淆。一般而言，根據(jù)邊角關(guān)系判斷一個(gè)圖形形狀通常用的是判定，而根據(jù)圖形形狀得到邊角關(guān)系那就是性質(zhì)；2等腰三角形的腰是在已知一個(gè)三角形是

10、等腰三角形的情況下才給出的名稱，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一個(gè)三角形是等腰三角形時(shí)千萬(wàn)不能將理由說(shuō)成是“有兩腰相等的三角形是等腰三角形”；3直角三角形斜邊上的中線不僅可以用來(lái)證明線段之間的相等關(guān)系，而且它也是今后研究直角三角形問(wèn)題較為常用的輔助線，熟練掌握可以為解題帶來(lái)不少方便；4勾股定理反映的是直角三角形兩直角邊和斜邊之間的平方關(guān)系，解題時(shí)應(yīng)注意分清哪條是斜邊，哪條是直角邊，不要一看到字母“”就認(rèn)定是斜邊。不要一看到直角三角形兩邊長(zhǎng)為3和4，就認(rèn)為另一邊一定是5；5“HL”是僅適用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知兩個(gè)三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，當(dāng)然，以前學(xué)

11、過(guò)的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等的方法對(duì)于直角三角形全等的判定同樣有效。切記! 兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，也就是邊邊角，沒(méi)有邊邊角定理。因此在證明全等時(shí)千萬(wàn)不要這樣做。本章解題時(shí)用到的主要數(shù)學(xué)思想方法： 分類討論思想（特別是在語(yǔ)言模糊的等腰三角形中）（留意后面的例題） 方程思想：主要用在折疊之后產(chǎn)生直角三角形時(shí)，運(yùn)用勾股定理列方程；還有就是在等腰三角形中求角度，求邊長(zhǎng)（留意后面的例題） 等面積法四、典型例題（一）、角平分線+平行線1、在ABC中，三內(nèi)角互不相等，BO平分ABC，CO平分ACB。過(guò)O點(diǎn)作EF, 使EFBC。（1）圖中

12、有幾個(gè)等腰三角形？（2）猜測(cè)線段BE、CF、EF有什么數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。 2、在ABC中，ABC=ACB，BO平分ABC， CO平分ACB,過(guò)O點(diǎn)作EF，使EFBC，且EBO=30。若BE=5，ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)。（二）、角平分線+垂線3、如圖：AB=AC，1=2，AECD于F交BC于點(diǎn)E，求證：AB=CE。4、如圖，ABC是等腰直角三角形，其中A=90，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，CEBD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：BD=2CE (三)、直角三角形的一個(gè)銳角平分線+斜邊上的高線F5、如圖，在ABC中，ACB=90，AE平分CAB，CDAB于D，它們交于點(diǎn)F，CFE是等腰三角形嗎？試說(shuō)明理由

13、.（四）、等邊三角形的幾個(gè)基本圖形：6、等邊三角形ABC中，BD=CE，連接AD、BE交于點(diǎn)F。AFE=_。7、如圖點(diǎn)A、C、E在同一直線上，ABC和CDE都是等邊三角形，M、N分別是AD、BE的中點(diǎn)。說(shuō)明： CMN是等邊三角形。8、已知等邊ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到ABC三邊AB、AC、BC的距離分別是h1，h2，h3，ABC的高為h，若點(diǎn)P在一邊BC上（圖1），此時(shí)h3=0，可得結(jié)論h1+h2+h3=h，請(qǐng)你探索以下問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)P在ABC內(nèi)（圖2）和點(diǎn)P在ABC外（圖3）這兩種情況時(shí)，h1、h2、h3與h之間有怎樣的關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由（五）、等腰直角三角形的幾個(gè)基本應(yīng)用9、在A

14、BC中，ACB=90，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且ADMN于D，BEM于E。(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1位置時(shí)，說(shuō)明ADCCEB的理由；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，說(shuō)明DE=ADBE的理由；ABCDEMN圖2ABCDMN圖3(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，試問(wèn)DE、 AD、BE有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并說(shuō)明理由.ABCDEMN圖110、如圖，在直角ABC中，C=90，AC=BC，D，E分別在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中點(diǎn)。求證：MDE是等腰直角三角形。（六）、勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理與方程11、觀察下面表格中所給出的三個(gè)數(shù)a，b

15、，c，其中a，b，c為正整數(shù)，且abc （1）：試找出他們的共同點(diǎn)，并證明你的結(jié)論,3,4,53+4=55,12,135+12=137,24,257+24=259,40,419+40=41.21,b,c21+b=c （2）：當(dāng)a=21時(shí)，求b，c的值 12、如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作PBQ=60，且BQ=BP，連結(jié)CQ。（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）若PA：PB：PC=3：4：5，連結(jié)PQ，試判斷PQC的形狀，并說(shuō)明理由ABCD13、等腰三角形底邊上的高為8，周長(zhǎng)為32，求這個(gè)三角形的面積分析：對(duì)于沒(méi)有圖形的大題（指需

16、要過(guò)程的題目），最好自己畫(huà)圖，與人方便，與己方便。解：設(shè)這個(gè)等腰三角形為ABC，高為AD，設(shè)BD為x，則AB為（16-x）， 由勾股定理得：x2+82=(16-x)2即x2+64=256-32x+x2 x=6 SABC=BCAD/2=2 6 8/2=4814、矩形紙片ABCD的邊AB=10cm,BC=6cm,E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在DC邊上的點(diǎn)G處，求BE的長(zhǎng)。EGCDBA（七）、需要分類討論的（主要是由語(yǔ)言的模糊造成要討論）有一個(gè)角等于50，另一個(gè)角等于_的三角形是等腰三角形。有一個(gè)直角三角形的兩條直角邊為3，4，則第三條邊長(zhǎng)為_(kāi) 如圖，等腰三角形ABC中，AB=A

17、C，一腰上的中線BD將這個(gè)等腰三角形周長(zhǎng)分成15和6兩部分，求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)及底邊長(zhǎng)。（八）作圖題如圖，求作一點(diǎn)P，使PC=PD,并且使點(diǎn)P到AOB兩邊的距離相等，并說(shuō)明你的理由作圖題的基本要求：結(jié)論不能丟。格式：什么什么即為所求?！究键c(diǎn)精練】一、基礎(chǔ)訓(xùn)練1如圖1，在ABC中，AB=AC，A=50，BD為ABC的平分線，則BDC=_ （1） （2） （3）2如圖2，是由9個(gè)等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長(zhǎng)是a，則六邊形的周長(zhǎng)是_3如圖3，一個(gè)頂角為40的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個(gè)四邊形，則1+2=_度4如圖4，在等腰直角ABC中，B=90，將ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)

18、針?lè)较蛐D(zhuǎn)60后得到ABC，則BAC等于_ （4） （5） 5如圖5，沿AC方向開(kāi)山修渠，為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊同時(shí)施工從AC上的一點(diǎn)B取ABD=135，BD=520米，D=45，如果要使A、C、E成一直線，那么開(kāi)挖點(diǎn)E離D的距離約為_(kāi)米（精確到1米）6等腰ABC的底邊BC=8cm，腰長(zhǎng)AB=5cm，一動(dòng)點(diǎn)P在底邊上從點(diǎn)B開(kāi)始向點(diǎn)C以0.25cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到PA與腰垂直的位置時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間應(yīng)為_(kāi)7如圖7，在ABC中，AB=AC，BAD=20，且AE=AD，則CDE=_ （7） （8） （9）8如圖8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，A=44，CDAB于D，則DCB等于（ ）A44 B68 C46 D229如圖9，要在離地面5m處引拉線固定電線桿，使拉線和地面成60角，若考慮既要符合設(shè)計(jì)要求，又要節(jié)省材料，則在庫(kù)存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四種備用拉線材料中，拉線AC最好選用（ ）AL1 BL2 CL3 DL410如圖10，在ABC中，AB=AC，D為AC邊上一點(diǎn)，且BD=BC=AD則A等于（