第1節(jié)導數(shù)的概念及運算

1、2021新亮劍高考總復習導數(shù)及其應(yīng)用第三章第1節(jié)導數(shù)的概念及運算1磨劍課前自學目錄CONTENTS2悟劍課堂精講3目 錄 磨劍課前自學高考動態(tài)拓展知識知識查缺補漏磨劍課前自學悟劍課堂精講目 錄 4最新考綱考向分析1. 了解導數(shù)概念的實際背景.2. 通過函數(shù)圖象直觀理解導數(shù)的幾何意義.3. 能根據(jù)導數(shù)定義求函數(shù) y=c(c 為常數(shù)),y=x,y=x2,y=x3,y=1,y= 的導數(shù).4. 能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù).1. 導數(shù)的概念和運算是高考的必考內(nèi)容,一般滲透在導數(shù)的應(yīng)用中考查;導數(shù)的幾何意義常與解析幾何中的直線交匯考查;常以選擇題或解答題的第(1)問出

2、現(xiàn),難度較低.2. 重點考查數(shù)算、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄一、導數(shù)的概念1.函數(shù) y=f(x)在 x=x0 處的導數(shù)一般地,稱函數(shù) y=f(x)在 x=x0 處的瞬時變化率(+)-()= 為函 (+)-()= 數(shù) y=f(x)在 x=x0 處的導數(shù),記作 f(x0)或 y|x=x0,即 f(x0)=.5高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄2.導數(shù)的幾何意義函數(shù) f(x)在 x=x0 處的導數(shù) f(x0)的幾何意義是曲線 y=f(x)在點 P(x0,y0)處切線的斜率的(瞬時速度就是位移函數(shù) s(t)對時間 t 的導數(shù)).相應(yīng)地,切線y-y0=f(x0)(x-

3、x0)方程.3.函數(shù) f(x)的導函數(shù)(+ )-() 稱函數(shù) f(x)=為 f(x)的導函數(shù) .6高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄二、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式7 原函數(shù)導函數(shù)f(x)=c(c 為常數(shù))f(x)= 0f(x)=xn(nQ)f(x)=nxn-1f(x)=sin xf(x)=cos xf(x)=cos xf(x)= -sin xf(x)=ax(a0 且 a1)f(x)=axln af(x)=exf(x)=exf(x)=logax(x0,a0 且 a1) f(x)=f(x)=ln x(x0) f(x)=高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄三、導數(shù)的運算法則1.f(x)g(x)= f(x)

4、g(x).2.f(x)g(x)= f(x)g(x)+f(x)g(x).()()-()() ()()3. = (g(x)0). ()8高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄一、注意兩種區(qū)別 1. f(x)與 f(x0)的區(qū)別:f(x)是一個函數(shù),f(x0)是函數(shù) f(x)在 x0 處的函數(shù)值(常數(shù)),所以f(x0)=0.2. 曲線 y=f(x)在點 P(x0,y0)處的切線與過點 P(x0,y0)的切線的區(qū)別:前者 P(x0,y0)為切點,而后者 P(x0,y0)不一定為切點.9高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄二、關(guān)注兩個易錯點三、記住兩個常用結(jié)論1.奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù),周

5、期函數(shù)的導數(shù)還是周期函數(shù).2.af(x)+bg(x)=af(x)+bg(x).10高考動態(tài)知識拓展知識查缺補漏目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識【概念辨析】判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“”,錯誤的打“”) (1)f(x0)是函數(shù) y=f(x)在 x=x0 附近的平均變化率. (2)求 f(x0)時,可先求 f(x0),再求 f(x0).(3) 曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點.(4) 與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線.(5) 曲線 y=f(x)在點 P(x0,y0)處的切線與過點 P(x0,y0)的切線相同.()答案解析11目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識解析(1)錯誤.f(

6、x0)是函數(shù) y=f(x)在 x=x0 處的瞬時變化率.(2) 錯誤.f(x0)與函數(shù) y=f(x)在 x=x0 處的函數(shù)值 f(x0)無關(guān).(3) 正確.曲線的切線與曲線除切點外還可能有其他公共點. (4)錯誤.與曲線只有一個公共點的直線不一定與曲線相切. (5)錯誤.對于曲線 y=f(x)在點 P(x0,y0)處的切線,P(x0,y0)為切點;而對于過點 P(x0,y0)的切線,P(x0,y0)不一定為切點.12目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識【基礎(chǔ)自測】1.若 f(x)是函數(shù) f(x)=1x3+2x+1 的導函數(shù),則 f(-1)的值為(D).D.33B.1A.-3C.2解析f(x)=1

7、x3+2x+1,f(x)=x2+2.3f(-1)=3.答案解析13目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識2.若曲線 y=ex+ax+b 在點(0,2)處的切線 l 與直線 x+3y+1=0 垂直,則 a+bA=().A.3B.-1C.1D.-3因為直線 x+3y+1=0 的斜率為-1,解析3所以切線 l 的斜率為 3,即 y|x=0=e0+a=1+a=3,所以 a=2.又曲線過點(0,2),所以 e0+b=2,解得 b=1.所以 a+b=3,故選 A.答案解析14目 錄拓展知識查缺補漏高考動態(tài)知識3.如圖所示的是函數(shù) y=f(x),y=g(x)的導函數(shù)的圖象,那么 y=f(x),y=g(x)的圖象

8、可能是(D).解析由 y=f(x)的圖象知,y=f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減,說明函數(shù) y=f(x)圖象的切線的斜率在(0,+)上也單調(diào)遞減,故可排除 A,C.又 f(x)0,說明 f(x)在(0,+)上是增函數(shù),故可排除 B,故選 D.答案解析1516目 錄悟劍課堂精講考點探究素養(yǎng)達成高考真題磨劍課前自學悟劍課堂精講目 錄考點1導數(shù)的計算考向 1:根據(jù)求導法則求函數(shù)的導數(shù)例 1求下列函數(shù)的導數(shù):2) 1 + 1;(2) y=+2+1. (1)y=(1- 3 分析先對函數(shù)進行化簡,再求導.分析解析17考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄-1111解析(1)y=(1- ) 1 + =- = 2-2,

9、 -11-3-111211y=( 2)-(2)=-2 - 2=-.2 322 (2)原式化為 y=1+ 2 + 1 , 2 3121則 y=+ 23=(x-1)+(2x-2)+(x-3)=-x-2-4x-3-3x-4=- 1 - 4 - 3. 2 3 418考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結(jié)：求導之前,應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡,然后求導,這樣可以減少運算量,提高運算速度,減少差錯;遇到函數(shù)的商的形式時,如能化簡則化簡,這樣可避免使用商的求導法則,減少運算量.19考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考向 2:抽象函數(shù)的導數(shù)計算例 2 9(1)已知函數(shù) f(x)的導數(shù)為 f(x),

10、且滿足關(guān)系式 f(x)=x2+3xf(2)+ln x,則- 4f(2)=.B(2)若函數(shù) f(x)=ax4+bx2+c 滿足 f(1)=2,則 f(-1)等于().A.-1解析B.-2C.2D.0(1)因為 f(x)=x2+3xf(2)+ln x,所以 f(x)=2x+3f(2)+1,所以 f(2)=4+3f(2)+1=3f(2)+9,所以 f(2)=-9.224(2)f(x)=4ax3+2bx,因為 f(x)為奇函數(shù)且 f(1)=2,所以 f(-1)=-2.方法總結(jié)：一方面從形式上把握其結(jié)構(gòu)特征,另一方面要充分利用復合關(guān)系求導.答案解析20考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓練1】1.求下

11、列函數(shù)的導數(shù):(1)y=x2sin x;(2)y=ln x+1;(3)y=cos .e解析(1)y=(x2)sin x+x2(sin x)=2xsin x+x2cos x.(2)y= ln + 1 =(ln x)+1=1- 1 . 2(3)y= cos =(cos )e-cos (e)=-sin +cos .(e )2ee解析21考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2.已知 f(x)=x(2019+ln x),若 f(x0)=2020,則 x0=(B).A.e2B.1C.ln 2D.e解析因為 f(x)=x(2019+ln x),所以 f(x)=2019+ln x+1=2020+ln x,又 f(x

12、0)=2020,所以 2020+ln x0=2020,所以 x0=1.答案解析22考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄23.設(shè)函數(shù) f(x)在(0,+)內(nèi)可導,且 f(ex)=x+ex,則 f(1)=.解析令 t=ex,則 x=ln t(t0),所以函數(shù) f(t)=ln t+t,即 f(x)=ln x+x,所以 f(x)=1+1,于是 f(1)=1+1=2.1答案解析23考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考點2導數(shù)的幾何意義考向 1:求曲線的切線方程例 3(1)曲線 y=sin x+ex 在點(0,1)處的切線方程是(C).A.x-3y+3=0C.2x-y+1=0B.x-2y+2=0D.3x-y+1=0

13、(2)已知函數(shù) f(x)=xln x,若直線 l 過點(0,-1),并且與曲線 y=f(x)相切,則直線 l 的方程為 x-y-1=0.解析(1)y=sin x+ex,y=cos x+ex,y|x=0=cos 0+e0=2,曲線 y=sin x+ex 在點(0,1)處的切線方程為 y-1=2(x-0),即 2x-y+1=0.答案解析24考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄(2)點(0,-1)不在曲線 f(x)=xln x 上,設(shè)切點為(x0,y0).又f(x)=1+ln x,切線斜率為 f(x0)=1+ln x0,直線 l 的方程為 y+1=(1+ln x0)x.= 0 ln 0, 由 0解 得 x

14、 =1,y =0.000 + 1 = (1 + ln 0)0,直線 l 的方程為 y=x-1,即 x-y-1=0.25考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結(jié)：切線方程的求法:(1)已知切點 A(x0,f(x0)求切線方程,可先求該點處的導數(shù)值 f(x0),再根據(jù) y-f(x0)=f(x0)(x-x0)求解.1 = (1),(2)若求過點 P(x ,y )的切線方程,可設(shè)切點為(x ,y ),由 00110 -1= (1 )(0-1 )求解即可.26考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考向 2:求切點坐標例 4(1)曲線 f(x)=x3-x+3 在點 P 處的切線平行于直線 y=2x-1,則點 P 的

15、坐標為(C).A.(1,3)C.(1,3)或(-1,3)B.(-1,3)D.(1,-3)(2)(2019 年江蘇卷)在平面直角坐標系 xOy 中,點 A 在曲線 y=ln x 上,且該曲線在點 A 處的切線經(jīng)過點(-e,-1)(e 為自然對數(shù)的底數(shù)),則點 A 的坐標是 (e,1).答案解析27考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析(1)f(x)=3x2-1,令 f(x)=2,則 3x2-1=2,解得 x=1 或 x=-1,點 P 的坐標為(1,3)或(-1,3),經(jīng)檢驗,點(1,3),(-1,3)均不在直線 y=2x-1 上,故選 C.(2)設(shè) A(x ,ln x ),又 y=1,則曲線 y=l

16、n x 在點 A 處的切線方程為 y-ln x = 1 (x-x ),00000將(-e,-1)代入,得-1-ln x = 1 (-e-x ),化簡得 ln x = e ,解得 x =e,則點 A 的坐標是(e,1).000000方法總結(jié)：求切點坐標,其思路是先求函數(shù)的導數(shù),然后讓導數(shù)值等于切線的斜率,從而得出切線方程或求出切點坐標.28考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考向 3:求與切線有關(guān)的參數(shù)的取值范圍例 5(1)已知函數(shù) f(x)=ex-mx+1 的圖象為曲線 C,若曲線 C 存在與直線 y=1x 垂2A直的切線,則實數(shù) m 的取值范圍是().C.m-1D.m-1A.m2B.m222(2)

17、已知 f(x)=3x2-x+m(xR),g(x)=ln x.若曲線 y=f(x)與 y=g(x)有公共切線,則實數(shù)m 的取值范圍為 - 4 -ln2, + . 1分析求與切線有關(guān)的參數(shù)的取值范圍,可先求導數(shù),然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題,注意借助“任意”“存在”等量詞的含義建立不等式,從而使得問題簡便、巧妙獲解.答案解析29考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析(1)f(x)=ex-mx+1,f(x)=ex-m,曲線 C 存在與直線 y=1x 垂直的切線,2f(x)=ex-m=-2 成立,m=2+ex2,故選 A.(2)f(x)=6x-1,g(x)=1(x0),若曲線 y=f(x)與 y=g(x)相切

18、且在交點處有公共切線,則 6x -1= 1 (x 0),即 62-x -1=0(x 0),解得 x =1 = - 1 舍 去 ,0000000023即切點的橫坐標為1,f11,3-1+m=ln 1,即 m=-1-ln 2.=g 2224 224數(shù)形結(jié)合可知,當 m-1-ln 2 時,f(x)與 g(x)有公共切線,4故 m 的取值范圍是 - 1 -ln2, + .430考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結(jié)：導數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用問題的解答關(guān)鍵是對函數(shù)進行求導,利用題目所提供的諸如直線的位置關(guān)系、斜率的取值范圍等求解相關(guān)問題時常與函數(shù)、方程、不等式等知識相結(jié)合.31考點探究素養(yǎng)達成高考真題目

19、錄考向 4:導數(shù)與函數(shù)的圖象例 6已知 y=f(x)是可導函數(shù),如圖,直線 y=kx+2 是曲線y=f(x)在 x=3 處的切線,令 g(x)=xf(x),g(x)是 g(x)的導函數(shù),則g(3)= 0.解析由題圖可知曲線 y=f(x)在 x=3 處切線的斜率等于-1,所以 f(3)=-1.3因為 g(x)=xf(x),所以 g(x)=f(x)+xf(x),所以 g(3)=f(3)+3f(3).3- 1又由題圖可知 f(3)=1,所以 g(3)=1+3=0. 3方法總結(jié)：函數(shù)圖象在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點處的變化情況,由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降的快慢.答案解

20、析32考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓練2】1.曲線 f(x)=2x-ex 與 y 軸的交點為 P,則曲線在點 P 處的切線方程為(C).A.x-y+1=0C.x-y-1=0B.x+y+1=0D.x+y-1=0解析曲線 f(x)=2x-ex 與 y 軸的交點為(0,-1).因為 f(x)=2-ex,所以 f(0)=1.所以所求切線方程為 y+1=x,即 x-y-1=0.答案解析33考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2.已知曲線 y=ln x 的切線過原點,則此切線的斜率為(C).C.1D.-1A.eB.-eee= 1 ,y=ln x 的定義域為(0,+),設(shè)切點為(x ,y ),則切線斜率

21、k=y|解析00=00所以切線方程為 y-y = 1 (x-x ).000又因為切線過點(0,0),所以將點(0,0)代入切線方程得 y =1,則 x =e,所以 k=1.00e答案解析34考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄23.已知曲線 y=-3ln x 的一條切線的斜率為1,則切點的橫坐標為(A).4212A.3B.2C.1D.由題意知,y= -3,令-3=1,解得 x=3(x=-2 舍去),即切點的橫坐標為 3.解析2 2 2答案解析35考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄4.已知 f(x)=1x2+sin + ,f(x)為 f(x)的導數(shù),則 f(x)的圖象是(A).42解析f(x)=1x2+s

22、in + =1x2+cos x,f(x)=1x-sin x,f(x)是奇函數(shù),其圖象4242關(guān)于原點對稱,故排除 B,D.令 g(x)=f(x),則 g(x)=1-cos x,當-x1,當 x2332 - , 時,g(x)0,故函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 - , 上單調(diào)遞減,故排除 C,選 A.3333答案解析36考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄數(shù)算分類討論已知點是否為切點求曲線的切線問題時,要明確所運算的對象(切線)涉及的點是否在曲線上,然后利用求切線方程的方法進行求解.(1)對曲線在某點處的切線問題,先對函數(shù)求導,代入點的橫坐標得到切線斜率. (2)對過某點作曲線的切線問題,此時該點未必是切點

23、,故應(yīng)先設(shè)切點,求出切點坐標.例12x-3y-16=0或3x-3y+2=0已知曲線 y=1x3 上一點 P 2, 8 ,則過點 P 的切線方程為 .33答案解析37考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄當 P 點為切點時,由 y= 1 3 =x2,得 y|解析=4,x=23即過點 P 的切線方程的斜率為 4.則所求的切線方程是 y-8=4(x-2),即 12x-3y-16=0.3當 P 點不是切點時,設(shè)切點為 Q(x ,y ),則切線方程為 y-1 3=2(x-x ).000003因為切線過點 P 2, 8 ,把 P 點的坐標代入切線方程,3求得 x0=-1 或 x0=2(舍去),所以切點為 Q -1

24、,- 1 ,3即所求切線方程為 3x-3y+2=0.綜上所述,過點 P 的切線方程為 12x-3y-16=0 或 3x-3y+2=0.38考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【突破訓練】若存在過點(1,0)的直線與曲線 y=x3 和 y=ax2+15x-9 都相切,則 a 等于(A).4A.-1 或-25B.-1 或21644C.-7或-25D.-7或 74644答案解析39考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析因為 y=x3,所以 y=3x2.設(shè)過點(1,0)的直線與曲線 y=x3 相切于點(x0,3),0則曲線 y=x3 在該點處的切線斜率 k=32,0所以切線方程為 y-3=32(x-x0),即

25、y=32x-23.0000又點(1,0)在切線上,所以 x =0 或 x =3.002當 x =0 時,切線方程為 y=0.由直線 y=0 與曲線 y=ax2+15x-9 相切,可得 a=-25;0464當 x =3時,切線方程為 y=27x-27,由直線 y=27x-27與曲線 y=ax2+15x-9 相切,可0244444得 a=-1.綜上,a 的值為-1 或-25.6440考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄1.(2019 年全國卷)已知曲線 y=aex+xln x 在點(1,ae)處的切線方程為 y=2x+b,則().DA.a=e,b=-1C.a=e-1,b=1B.a=e,b=1D.a=e-1,b=-1解