從高考-競(jìng)賽復(fù)習(xí)資料8―牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用

1、牛頓運(yùn)動(dòng)定律題型講解北京市第八十中學(xué)何德強(qiáng)圖1例1：光滑水平桌面上靜置三只小球，m1=1kg、m2=2kg、m3=3kg，兩球間有不可伸長(zhǎng)的輕繩相連，且組成直角三角形，=37.若在m1上突然施加一垂直于m2、m3連線的力F=10N，求此瞬時(shí)m1受到的合力，如圖1所示.解析：要求m1在此瞬時(shí)受到的合力，應(yīng)算出m1在此瞬時(shí)的加速度a.由于在F作用的瞬時(shí)，m2、m3間的繩將松馳，于是可將F沿m1、m2及m1、m3兩繩的方向進(jìn)行分解，然后列式即可求解.由于m2、m3間的繩將松馳，可將F沿兩繩方向分解，有F1=Fcos，F(xiàn)2=Fsin.于是所以a=2.33m/s2.由此可得m1在此瞬時(shí)受到的合力 F=m

2、1a=2.33N.點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是判定m2、m3間繩的張力為零，并將F沿另外兩強(qiáng)的方向分解.例2：如圖2所示，質(zhì)量為m的物體C用兩根繩子系住，兩繩分別跨過(guò)同一高度的滑輪O1和O2后與滑塊A、B相連.滑塊A的質(zhì)量為m，滑塊B的質(zhì)量為2m，分別放在傾角為60和30的固定光滑斜面上.當(dāng)系統(tǒng)平衡時(shí)，在物體C上無(wú)初速地放上另一質(zhì)量也為m的物體D，并且C、D立刻粘在一起.試求剛放上D的瞬時(shí)物體A和B的加速度.解析：先由力的平衡條件求出平衡時(shí)C的位置，然后分析失去平衡瞬時(shí)的情況.由于各力的方向顯而易見(jiàn)，但物體C的加速度方向不清，所幸的是A、B、C三者的初速度均為零，故C、A、B三者沿向不清，所幸的是A、B

3、、C三者的初速度均為零，故C、A、B三者沿繩方向的加速度分量相等，于是可由牛頓第二定律解之.圖2圖3 先求初始平衡態(tài)的情況.而Tc=mg，故三者互成120角.放上D的瞬時(shí)，各繩的張力必發(fā)生變化.對(duì)C的加速度進(jìn)行分解，如圖3所示.由于該瞬時(shí)A、B、C的速度均為零，故三者沿繩方向的加速度分量相等，有 由牛頓第二定律對(duì)A、B、C分別列式，得對(duì)A有：FAmAg sin60=mAaA，且mA=m.對(duì)B有：FB=mBg sin30=mBaB，mB=2m.對(duì)C 有：聯(lián)解以上四式可得 aA=g，aB=g， ac=g=0.155g.點(diǎn)評(píng)：連接體的速度關(guān)系是：沿繩或桿方向的速度分量相等，但加速度卻不一定相等.只有

4、初速度為零時(shí)加速度之間才保持這種關(guān)系，在解題時(shí)應(yīng)引起注意.圖4例3：圖4所示。為斜面重合的兩楔塊ABC及ADC，質(zhì)量均為M，AD、BC兩面成水平，E為質(zhì)量等于m的小滑塊，楔塊的傾角為a，各面均光滑，系統(tǒng)放在水平平臺(tái)角上從靜止開(kāi)始釋放，求兩斜面未分離前E的加速度。解析：系統(tǒng)由靜止釋放后，ABC沿水平面向左加速，ADC相對(duì)ABC沿AC方向加速，E相對(duì)ADC沿AD方向加速，本題求解的關(guān)鍵是找到各物體加速度之間的關(guān)系。設(shè)兩斜面之間的彈力為N1，方向與AC面垂直，E與ADC間有彈力N2方向與AD面垂直，設(shè)ABC楔塊、E物的加速度分別為aB、aE，由于受桌面限制，aB必水平向左。另外由于在水平方向不受力，

5、aE必豎直向下。再設(shè)楔塊ADC相對(duì)于楔塊ABC的加速度為aD，方向必沿AC向下。由于系統(tǒng)在水平方向不受力作用，故有： aB=aDcos-aB。E物緊貼ACD面，所以： aE=aDsin。對(duì)ABC楔塊，在水平方向上有： N1sin=MaB。對(duì)E物根據(jù)牛頓第二定律有： mg-N2=maE。對(duì)ADC楔塊在豎直方向上有： N2+Mg-N1cos=MaDsin。解這幾個(gè)聯(lián)立方程得： aE=g。圖5例4：定滑輪一方掛有m1=5kg的物體，另一方掛有輕滑輪B，滑輪B兩方掛著m2=3kg與m3=2kg的物體(圖5)，求每個(gè)物體的加速度。解析：取地面為參考系。隔離物體，進(jìn)行受力分析(圖6)。物體m1所受的力計(jì)有

6、：重力m1g豎直向下，繩中張力T1指向上。物體m2受的力為重力m2g與繩中張力也不同，分別以T1與T2表示。物體m3所受的力為重力m3g和繩中張力T3，m2和m3是系在同一根輕繩的兩端，又略去繩重及滑輪與繩之間的摩擦，設(shè)它們是光滑的，所以m2與m3所受的繩中張力相同，T2=T3，均設(shè)為T2。因三個(gè)物體均在豎直方向運(yùn)動(dòng)，所以只選一個(gè)坐標(biāo)即可，選x軸向下為正。現(xiàn)假定m1向下運(yùn)動(dòng)，m2相對(duì)滑輪B也向下運(yùn)動(dòng)。在這假定下設(shè)m1的加速度為a1，滑輪B也以a1向上運(yùn)動(dòng)。m2相對(duì)地面的加速度為a2，m3的為a3，即有以上三個(gè)方程中有五個(gè)未知量，所以我們必須另外再列出兩個(gè)方程。圖6 圖7隔離滑輪B，因?yàn)槭禽p滑輪

7、，所以它的質(zhì)量可以略去不計(jì)，即有(圖7) 2T2-T1=0 (4)圖8又物體m2和m3均是隨著滑輪B向上以加速度a1上升，又相對(duì)滑輪B以加速度a運(yùn)動(dòng)。所以m2和m3相對(duì)地面的加速度應(yīng)為這二者的代數(shù)和(圖8)，即 a2=a=a1 (5) a3=-(a1+a) (6)以(4)、(5)及(6)式代入(1)、(2)、(3)中可行 m1g-T1=m1a1 (7) m2g-T1/2=m2(a-a1) (8) m3g-t1/2=m3(-a-a1)(9)現(xiàn)在三個(gè)方程中有三個(gè)待求量T1、a1、a，可以完全解出它們的值。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)將m1=5kg，m2=3kg，m3=2kg的值代入(7)、(8)、(9)中得 5g-

8、T1=5a1 (10) 3g-T1/2=3(a-a1) (11) 2g-T1/2=2(-a1-a) (12)解出 a1= a=g T1=5g=g=4g再回到我們要求的a2及a3，由(5)式與(6)式可得上式中的負(fù)號(hào)表示a3的方向與我們的假定相反，它相對(duì)地面以g的大小向上加速運(yùn)動(dòng)。 圖9例5：如圖9所示，兩個(gè)木塊A和B間的接觸面垂直于圖中紙面且與小平成角.A、B間的接觸面是光滑的，但它們與水平桌面間有摩擦，靜摩擦因數(shù)和動(dòng)摩擦因數(shù)均為.開(kāi)始時(shí)A、B都靜止，現(xiàn)施一水平推力F于A，要使A、B向右加速運(yùn)動(dòng)且A、B之間不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則：(1)的數(shù)值應(yīng)滿足什么條件？(2)推力F的最大值不能超過(guò)多少？(只考

9、慮平動(dòng)，不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題)解析：弄清A、B共同向右加速，且相互之間又不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的力學(xué)條件是求解本題的基本出發(fā)點(diǎn).(1)令N表示A、B之間的相互作用力(垂直于接觸面如圖10所示)，若A相對(duì)于B發(fā)生滑動(dòng)，則A在豎直方向必有加速度，現(xiàn)要使A相對(duì)于B不滑動(dòng)，則A受的力N在豎直方向的分力必須小于或等于A的重力.所以要使B向右加速運(yùn)動(dòng)而同時(shí)A相對(duì)于B不滑動(dòng)，必須同時(shí)滿足下列兩式 Nsin-(mBg+Ncos)=mBa0， NcosmAg. 圖10由兩式可解得 tan. (2)在已滿足式時(shí)，又由于A的水平方向的加速度和B相同，即 =. 由兩式可解得 F(mA+mB)g(tan-). 圖11例6：如圖11所

10、示，C為一放在固定的粗糙水平桌面上的雙斜面，其質(zhì)量mc=6.5kg，頂端有一定滑輪，滑輪的質(zhì)量及軸處的摩擦皆可不計(jì).A和B是兩個(gè)滑塊，質(zhì)量分別為mA=3.0kg，mB=0.50kg，由跨過(guò)定滑輪的不可伸長(zhǎng)的輕繩相連.開(kāi)始時(shí)，設(shè)法抓住A、B和C，使它們都處于靜止?fàn)顟B(tài)，且滑輪兩邊的輕繩恰好伸直.今用一大小等于26.5N的水平推力F作用于C，并同時(shí)釋放A、B和C.沿桌面向左滑行，其加速度a=3.0m/s2，B相對(duì)于桌面無(wú)水平方向的位移(繩子一直是繃緊的).試求C與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù).(圖中=37，=53，已知sin37=0.6，重力加速度g=10m/s2)解析：1.本題若分別取A、B、C為研究對(duì)象，

11、則將大大增加未知量的個(gè)數(shù)，從而使求解陷入繁雜的運(yùn)算中.下面的解法提供了一個(gè)各物體雖無(wú)共同加速度，但仍可用整體法求解的很好的例子.2通過(guò)C的加速度和B在水平方向上沒(méi)有位移尋找到A、B的絕對(duì)加速度和相對(duì)加速度是求解的能力前提.設(shè)aA、aB與aAaB分別為A、B相對(duì)于桌面的加速度的大小和相對(duì)于C的加速度的大小，設(shè)水平向右為x軸的正方向，豎直向上為y軸的正方向.因?yàn)锽開(kāi)始時(shí)相對(duì)于桌面靜止，以后相對(duì)于桌面無(wú)水平方向的位移，可知aB沿水平方向的分量為0，即 aBx=aBx-a=0由此得 aBx=a=3m/s2.因?yàn)槔K不可伸長(zhǎng)，又是繃緊的，故有 aA=aB.圖12它們的方向分別沿所在的斜面，方向如圖12所示

12、.各分量的大小為 aBx=aBcos53， aBy=aBsin53， aAx=aAcos37， aAy=-aAsin37.由此得aB=aA=5m/s2，aBy=4m/s2，aAx=4m/s2，aAy=-3m/s2.相對(duì)于地面各加速度的分量的大小為 aAx=aAx-a=1m/s2， aAy=aAy=-3m/s2， aBy=aBy=4m/s2.對(duì)于由A、B和C組成的系統(tǒng)，在水平方向受到的外力是桌面對(duì)C的摩擦力-f，方向向右；推力F，方向向左.根據(jù)動(dòng)量定理 (f-F)t=mAvAx+mBvBx-mCv，或 f-F=mA+mB-mC.即 f-F=mAaAx+mBaBx-mCa.將有關(guān)數(shù)值代入得 f=1

13、0N.系統(tǒng)在豎直方向上受到的外力是：桌面作用于C的彈力N，方向豎直向上，各物體的重力，方向豎直向下.因此有 N-(mA+mB+mC)gt=mCvCy+mAvAy+mBvBy.代入有關(guān)數(shù)值，得 N=93N.故動(dòng)摩擦因數(shù) =0.11.4 非慣性參照系三、牛頓運(yùn)動(dòng)定律的適用范圍和適用條件對(duì)于宏觀低速的運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速的運(yùn)動(dòng))，牛頓運(yùn)動(dòng)定律是成立的，但對(duì)于物體的高速運(yùn)動(dòng)(運(yùn)動(dòng)速度接近光速)和微觀粒子的運(yùn)動(dòng)，牛頓運(yùn)動(dòng)定律就不適用了，要用相對(duì)論觀點(diǎn)、量子力學(xué)理論處理.牛頓運(yùn)動(dòng)定律的適用條件：(1)質(zhì)點(diǎn)，(2)慣性系.題型講解圖1例1：在火車車廂內(nèi)有一長(zhǎng)l，傾角為的斜面，當(dāng)車廂以恒定加速度a0從靜止

14、開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體自傾角為的斜面頂部A點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，已知斜面的靜摩擦因數(shù)為.求物體滑至斜面底部B點(diǎn)時(shí)，物體相對(duì)于車廂的速度，并討論當(dāng)a0與一定時(shí)，傾角為多少時(shí)，物體可靜止于A點(diǎn)？解析：此題若以地面為參照系計(jì)算比較復(fù)雜，現(xiàn)以車廂為參照系，在非慣性系中解題，則物體受到的慣性力f慣=-ma0，取如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)物體相對(duì)于斜面的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律 mgsin-N-ma0cos=ma N-mgcos-ma0sin=0由以上兩式解得a=(g-a0)sin-(a0+g)cos由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式v2=2al可得物體相對(duì)車廂的速度v=方向沿著斜面向下.討論：物體靜止于A點(diǎn)的條件，先假設(shè)物體有下滑趨勢(shì)，

15、則摩擦力方向向上，由a0，有tan.再假設(shè)物體有上滑趨勢(shì)，則摩擦力方向向下，有 ma0cos-mgsin-(mgcos+ma0sin)0 tan因此，當(dāng)a0與一定時(shí)，要命名物體靜止于斜面，應(yīng)滿足的關(guān)系式tan圖2例2：如圖2所示，在一根沒(méi)有重力的長(zhǎng)度l的棒的中點(diǎn)與端點(diǎn)上分別固定了兩個(gè)質(zhì)量分別為m和M的小球，棒沿豎直軸用鉸鏈連接，棒以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試求棒與豎直軸線間的夾角。解析：如果以桿為參照系以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的參照系，引入慣性離心力后，本題即可化簡(jiǎn)為靜力學(xué)問(wèn)題了。不過(guò)這里可看成兩個(gè)物體分別在所在處受到慣性力的作用。以桿為參照系，引入慣性離心力后，桿子受力相當(dāng)于圖3所示(軸處作用力未畫出)，其中：

16、圖3 F1=lsin， F2=M2lsin。以O(shè)為軸，根據(jù)固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸物體平衡條件有：mgsin+Mglsin=F1cos+F2lcos。解得： =arccos。圖4例3：長(zhǎng)分別為l1和l2的不可伸長(zhǎng)的輕繩懸掛質(zhì)量都是m的兩個(gè)小球，如圖4所示，它們處于平衡狀態(tài)。突然連接兩繩的中間小球受水平向右的沖擊(如另一球的碰撞)，瞬間內(nèi)獲得水平向右的速度v0，求這瞬間連接m2的繩的拉力為多少？解析：沖擊使m1具有速度v0，由于它受上端固定在O點(diǎn)的繩l1的牽制，因而作圓周運(yùn)動(dòng)，此刻的加速度豎直向上，指向O點(diǎn)，大小為a1=v02/l1。下面的小球m2此刻相對(duì)于地面速度為零，但相對(duì)于m1以向左的大小為v0速度運(yùn)動(dòng)

17、，它相對(duì)于m1也作圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)于m1來(lái)說(shuō)，它的加速度a21亦豎直向上，大小為a21= v02/l2。 對(duì)m2，根據(jù)牛頓第二定律有： T2-m2g=m2a2。其中m2相對(duì)于地(慣性系的加速度)，a2=a21+a1=。這樣得： T2=m2(g+)。 圖5例4：一個(gè)質(zhì)量為m的小物體，放在半徑為R的半球頂上，設(shè)半球面光滑，初始時(shí)它們之間相對(duì)靜止.求在下列情況中物體m離開(kāi)球面時(shí)，它距半球底面的距離，如圖所示.(1)半球以10m/s的速度勻速上升；(2)半球以a=g/4的加速度勻加速向右運(yùn)動(dòng).解析：物體脫離球面的臨界條件是支持力為零，取半球?yàn)閰⒄障?，則(1)屬慣性系；(2)屬非慣性系，需加慣性力.(1)

18、取半球?yàn)閰⒄障?，屬慣性系.脫離時(shí)，物體與球的相互作用力為零，有 mgcos=m.由支能定理得 mg(R-h)=mv2，且cos=，聯(lián)解方程可得 h=R.圖6(2)當(dāng)半球面勻加速向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，取半球?yàn)閰⒄障?此參照系為一非慣性參照系，小球除受重力外還受一慣性力F=ma的作用，方向如圖所示.根據(jù)動(dòng)能定理，有mgcos-F慣sin=m， mg(R-h)+F慣Rsin=mv2， cos=，sin=.聯(lián)立求解以上四個(gè)方程可得 h1=0.81R，h2=0.44R.由物理不定期程可知，當(dāng)m位于h=0.44R時(shí)，物體早已脫離半球面，故此答案應(yīng)舍去.所以h=0.81R,點(diǎn)評(píng)：讀者還可思考，若物體在豎直方向以加速度

19、a運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體離開(kāi)球面的高度仍為R，其原因何在？ 圖7例5：長(zhǎng)為2b的輕繩，兩端正各系一個(gè)質(zhì)量為m的小球，中央系一個(gè)質(zhì)量為M的小球，三球均靜止于光滑的水平桌面上，繩處于拉直狀態(tài)，三球在一直線上(圖7).今給小球M以一個(gè)沖擊，使它獲得水平速度v，v 的方向與繩垂直.求(1)M 剛受沖擊時(shí)繩上的張力；(2)在兩端的小球發(fā)生碰撞前的瞬間繩中的張力.解析：(1)M剛受沖擊時(shí)，m在M參照系中做圓周運(yùn)動(dòng)，而M此瞬間的加速度為零所以對(duì)m不需加慣性力，因此此時(shí)繩上的張力 T1=m(2)由于桌面是水平光滑的，所以由三個(gè)球組成的系統(tǒng)動(dòng)量和能量都守恒.設(shè)兩個(gè)m球在碰前的瞬間M和m相對(duì)桌面的加速度分別為aM和am，其中aM與原來(lái)的v反向；am與原來(lái)的v同向，繩的張力為T2，那么 2T2=MaM， aM=圖8相對(duì)于M，m做圓周運(yùn)動(dòng)，在碰撞前的瞬間，m相對(duì)M