金融經(jīng)濟學(xué)課件：第4章之二投資的可行集

1、第4章 均值方差分析,4.3 證券組合前沿,4.3.1 投資的可行集,由上一小節(jié)知道，不論投資者可以用于投資的W0 有多少，只需要關(guān)心投資的期望回報率和回報率方差（標準差也一樣）即可。那么，個體（投資者）如何做最優(yōu)的選擇呢？ 先給出選擇的環(huán)境。 假定： 在一個經(jīng)濟中有只風(fēng)險證券（也就是說這N個證券的回報率都分別是取多個可能值，而且是隨機取值，而不是一個常數(shù)）。 所有證券的未來回報率都具有彼此差異的期望回報率和有限的方差。 投資者可以向其他投資者借證券賣，即允許賣空（被賣空的證券在投資者的證券組合中的權(quán)重為負數(shù)）。,定義4.1 N個證券可以形成無窮多個組合，由N種證券所形成的所有期望回報率和方差

2、（或者標準差）的組合的集合就是可行集。 它包括了現(xiàn)實中所有可能的組合，也就是說，所有可能的證券組合將位于可行集中，顯示投資者可能獲得的所有可能的期望回報率和方差（或者標準差）。,兩個證券形成的組合的可行集,例如有兩個證券， 注：標準差等于方差的開方，它們都可以做為風(fēng)險的衡量。,當回報率的相關(guān)系數(shù)分別為-1，0 ，1時，組合的期望回報率與回報率的標準差分別是多少？,允許賣空，則投資比例可以大于1、小于零。,在期望回報率標準差平面表示證券組合,注：一個證券組合對應(yīng)于期望回報率標準差平面上唯一的一個點。所以一個證券組合既可以一個用權(quán)重向量，可以用一個點表示。如點(0.116,0.183)和向量(0.

3、75,0.25) 都可以表示一個證券組合?？尚屑谄谕貓舐蕵藴什钇矫嫔希褪且恍c的集合。,可見，兩個證券的可行集是一條有端點的曲線。兩端點分別代表證券A和證券B 。 允許賣空的話，可行集是上述曲線及向兩端點外延伸，上延伸是賣空證券A買更多的證券B ，下延伸是賣空證券B 買更多的證券 A 。,A,B,回報率標準差,期望回報率,三種證券的可行集,期望回報率,回報率標準差,A,C,B,三種證券的可行集是一個區(qū)域。如何理解？ 若允許賣空，則各曲線可以向端點外延伸。,D,N種證券的可行集,期望回報率,標準差,1,2,N,N-1,可以推出，N種證券的可行集是一個區(qū)域。 若允許賣空，則區(qū)域可以向端點外延

4、伸。,4.3.2 不具有無風(fēng)險資產(chǎn)的有效證券組合前沿,本小節(jié)有三個重要概念： 前沿證券組合、證券組合前沿、有效證券組合,期望回報率,標準差,1,2,N,N-1,定義4.2 前沿證券組合：如果在所有具有相同期望回報率的證券組合中，有一只證券組合具有最小的方差值，則這只證券組合就定義為前沿證券組合。 不論哪個個體，都不會選擇非前沿的證券組合去投資。看圖，可行集中，哪些是前沿證券組合？,由定義，證券組合p是一只前沿證券組合的充分必要條件是它的證券組合權(quán)重向量wp 是下面問題的解 約束條件為 其中： 表示N只風(fēng)險證券的期望回報率組成的列向量， 表示證券組合的期望回報率，1表示各元素為1的N維列向量。,

5、構(gòu)造一個拉格朗日函數(shù)，是以下函數(shù)式的解： （其中，和是兩個正值的常數(shù)。） 求解可得 其中,變換一下，可以得出期望回報率為的前沿證券組合的權(quán)重 其中 明顯有期望回報率取某一個值對應(yīng)有一個前沿證券組合. 從（4.13）式可以看出 性質(zhì)4.1：是期望回報率為0的前沿證券組合的權(quán)重向量；是期望回報率為1的前沿證券組合的權(quán)重向量。,例4.3.2.1：3個證券形成的前沿證券組合,如何求3個證券形成的前沿證券組合，已知條件是這3個證券有如下特征： 方法：先求出V-1 ，再求出A、B、C、D、g、h，然后代入,定義,，其中A*為伴隨矩陣。,稱為A的伴隨矩陣. 注：矩陣有逆要求原矩陣的行列式不為零。,余子式，矩

6、陣,設(shè) 是矩陣中元素 的代數(shù),矩陣V的逆怎么求？,一般地，有,例1 已知 求A1 。 解 ： |A|adbc 0，故A可逆。 且易得,例2 求方陣 的逆矩陣.,解,同理可得,故,求逆- A-1(EXCEL方法）,Microsoft Excel在矩陣運算方面的使用方法：,啟動Excel，點擊工具欄上的“粘貼函數(shù)”如下圖,選擇“數(shù)學(xué)與三角函數(shù)”,例 求矩陣A的逆。,1、選定A1：D4區(qū)域輸入矩陣的數(shù)據(jù)；,2、選取某一區(qū)域如C6：F9存放逆矩陣，保持該區(qū)域為選中狀態(tài)在公式輸入欄輸入公式 =MINVERSE（A1：D4），按下Ctrl + Shift + Enter 即可 ，注意，不能直接回車鍵；,如

7、何手算或者用EXCEL于本小節(jié)的例題？,概念二：證券組合前沿 證券組合前沿：經(jīng)濟中所有的前沿證券組合的集合，我們稱之為證券組合前沿。 證券組合前沿有下面兩個性質(zhì)： 性質(zhì)4.2 全部證券組合前沿上的證券組合都可以由兩個前沿證券組合 和 組合得出。（對證明有興趣的同學(xué)可看書） 性質(zhì)4.3 整個證券組合前沿可以由任意兩個期望回報率不同的前沿證券組合得出。（對證明有興趣的同學(xué)可看書）,性質(zhì)4.4 前沿證券組合p的期望回報率與標準差的關(guān)系式： 下面是證明： 先來看任意兩個證券組合p與q的回報率的協(xié)方差。 其中，證券組合p、q的權(quán)重向量分別為,因為p、q是前沿證券組合，所以p的權(quán)重向量滿足 則前沿證券組合

8、p、q的回報率的協(xié)方差,代入（4.14）式到下式有： 容易看到，期望回報率與回報率的標準差形成的是一條雙曲線（下頁蘭色的線）。,（注：橙色的是漸進線。） 有一個特殊的前沿證券組合，它具有最小的方差，稱為最小方差組合（mvp），對應(yīng)坐標如圖。,投資者如何做選擇投到哪個證券組合呢？我們在期望回報率與標準差坐標軸平面上，引入一個投資者的無差異曲線族如下，無差異曲線族這樣彎曲的理由是回報率的期望越大越好，標準差越小越好。 無差異曲線位置越高，得到的期望效用越大。,E(rp ),(rP ),概念三：有效證券組合 定義4.3 有效證券組合：在整個證券組合前沿曲線中，所有那些期望回報率嚴格大于最小方差證券組

9、合期望回報率A/C的證券組合稱之為有效證券組合。 不論哪個個體，都只會在有效的證券組合中做選擇。 無效證券組合：那些既不是有效證券組合，又不是最小方差組合的證券組合稱之為無效證券組合。 對于每一個無效證券組合，存在一個具有相同方差但更高期望回報率的有效證券組合。,有效證券組合形成的集合稱為有效證券組合前沿，也稱有效集。 個體會選擇無差異曲線族和有效集的切點位置對應(yīng)的證券組合。 不同的個體由于無差異曲線族不同，所以切點位置不同，相應(yīng)最優(yōu)的證券組合也就不同，但肯定都在有效集上面。,性質(zhì)4.6 有效證券組合的組合仍然是一支有效證券組合。,例4.3.2.2 :求3個證券形成的有效證券組合前沿,這是以

10、為中心， 為漸進線的雙曲線，最小方差組合為 。 有效集為雙曲線 開始以上的一段。,方法：先求出A、B、C、D，然后代入,4.3.4 具有無風(fēng)險資產(chǎn)的有效證券組合前沿,引入一個無風(fēng)險證券情況下(現(xiàn)在有N+1個證券)進行討論。 現(xiàn)假定組合是一支由所有N1種證券組合而成的前沿證券組合，表示這支前沿證券組合中的風(fēng)險證券權(quán)重的N 維向量。這樣， 是以下問題的解 其中仍然表示N個風(fēng)險證券的期望回報率的N 維向量，表示無風(fēng)險證券的回報率?？梢赃@樣寫的原因是，無風(fēng)險證券不影響組合的風(fēng)險。,構(gòu)造一個拉格朗日函數(shù)，是以下函數(shù)式的解： （其中，是正值的常數(shù)。） 求解可得 其中 p回報率的方差為,即 也即是，在 坐標

11、平面上，包括無風(fēng)險證券在內(nèi)的所有證券的證券組合前沿是以為頂點，斜率分別為 和 的兩條射線。分三種情形。,情形1：,藍色的實線是不包括無風(fēng)險證券的證券的證券組合前沿； 橙色的線是包括無風(fēng)險證券在內(nèi)的所有證券的證券組合前沿。,這是圖46表示的圖形。（圖見上頁） 在圖中點是射線與風(fēng)險證券的組合前沿相切的切點。 線段上任意一支證券組合都是風(fēng)險證券組合和無風(fēng)險證券的組合。 在線段之外的射線上證券組合都涉及賣空無風(fēng)險證券并運用回報買入風(fēng)險證券組合的投資行為。 在射線上的證券組合涉及賣空風(fēng)險證券組合，同時以其回報買入無風(fēng)險證券的投資行為。 如果經(jīng)濟行為主體是風(fēng)險厭惡者，證券投資組合的有效集位于射線。,投資者

12、會選擇無差異曲線族和有效集的切點位置對應(yīng)的證券組合。,不同的個體由于無差異曲線族不同，所以切點位置不同，相應(yīng)最優(yōu)的證券組合也就不同，但肯定都在有效集上面。,情形2：,情形2： 這是圖47表示的圖形。 （圖見上頁） 射線 上證券組合是通過賣空風(fēng)險證券并運用賣空的資金買入無風(fēng)險證券從而組合而得。 在射線 上的證券組合涉及正值地購買風(fēng)險證券組合。 如果經(jīng)濟行為主體是風(fēng)險厭惡者，證券投資組合的有效集位于射線 。,情形3：,情形3（特殊）： 這是圖48表示的圖形。 （圖見上頁） 包括無風(fēng)險證券在內(nèi)的所有證券的證券組合前沿的期望回報率方程為（因為可以證明H=(D/C) ） 前沿證券組合的有效集應(yīng)當是位于 射線上的前沿組合。 在此情形下，連接無風(fēng)險證券和風(fēng)險證券組合的切線的“切點”不存在，這時的證券前沿為點(0,rf )。,例4.3.4.1